COROLLAIRE I. I. IL fuit de la définition de la Parabole, que fi l'on tire par un de fes points quelconques M au foyer Fune ligne droite MF, & fur la directrice BC une perpendiculaire MD; les droites MF, MD, feront toûjours égales entre elles. Car fi l'on retranche du côté OD de l'équerre & du fil OMF qui lui eft égal, la partie commune O M, * Déf. 1. il eft vifible que les parties reftantes MD, MF, feront toûjours égales entre elles. * 2. DE-LA il est évident, que fi l'on mène une ligne droite quelconque K K parallèle à la directrice BC, & que d'un point quelconque M de la parabole, on tire fur cette ligne la perpendiculaire MK, & au foyer la droite MF; la difference ou la fomme KD des deux droites MF, MK, fera toûjours la même : favoir la difference lorfque le point M tombe au dessous de KK, & la fomme lorfqu'il tombe au deffus. les COROLLAIRE III. 3.I1 eft évident que FE eft divifée en deux parties éga L par la parabole au point A. Car fuppofant que le point M tombe au point A, la ligne MF tombe fur AF, & la ligne MD fur AE, qui feront par conféquent égales entre elles, puifque MF eft toûjours égale à MD, * Art. 1. en quelque endroit de la parabole que tombe le point M. COROLLAIRE IV. 4. DE-LA E-LA on voit comment on peut décrire une parabole XAZ, l'axe AP dont le point A eft l'origine étant donné, avec fon parametre p. Car ayant pris fur l'axe AP de part & d'autre du point A les parties AF, AE égales chacune au quart de fon parametre p, & mené par le point E la perpendiculaire indéfinie BC fur FE; si l'on couche le bord inferieur d'une régle fur cette ligne Def. 1. * Art. 3. FIG. I. * Art. S. BC qui fert de directrice, & que par le moyen d'une équerre O DG, & d'un fil FMO égal au côté OD, & attaché par l'un de fes bouts au foyer F. & par l'autre bout à l'extrémité O de ce même côté, l'on décrive une Parabole XAZ comme l'on a enfeigné dans la définition premiére, il eft vifible qu'elle fera celle qu'on demande. Il n'est pas moins vifible que plus le côté OD de l'équerre & le fil OMF (qui* lui doit être égal) fera long, plus auffi la portion de la parabole qu'on décrira fera grande; de forte qu'on la peut augmenter autant que l'on voudra, en augmentant également le côté OD'de l'équerre & le fil OMF. COROLLAIRE V. 5. Si d'un point quelconque M de la Parabole l’on méne une ordonnée MP à l'axe, & au foyer F la droite MF; il eft clair que cette ligne MFAPAF, puifque MFMD=AP¬AE, & que *AF—AE. 6. LE PROPOSITION I. Theorême. E quarré d'une ordonnée quelconque MP à l'axe AP, eft égal au réctangle du parametre P, par la partie AP de l'axe prife entre fon origine A & la rencontre P de l'ordonnée. Il faut prouver que MP=p×AP. 2 Ayant nommé la donnée AF, m; & les indéterminées AP, x; PM,y; on aura MF=*m→x, & PF=x—m ou m-x, felon que le point p fe trouve au deffous ou au deffus du foyer F. Or le triangle rectangle MPF donne en l'un & l'autre cas MF (mm-2mxxx) =MP. (yy)→PF (mm-2mxxx); d'où l'on tire 4mx=yy. Donc puifque felon la se définition p=4m, on aura auffi yy=px. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE PREMIER ET FONDAMENTAL. 7.IL eft donc évident que fi l'on nomme p le parametre de l'axe AP; chacune de fes parties AP, x; & FIG. 2. chacune de fes ordonnées correfpondantes PM, y; on aura toûjours yy=px. Or comme cette proprieté convient à tous les points de la parabole, & en determine la pofition par rapport à fon axe AP; il s'enfuit que l'équation yy=px exprime parfaitement la nature de la parabole par rapport à fon axe. COROLLAIRE II. 8. Si l'on méne deux ordonnées quelconques MP, FIG. 2. No à l'axe AP, leurs quarrés feront entr'eux comme les parties AP & AQ de l'axe, prifes entre fon origine A & les rencontres P&Q de ces mêmes ordonnées. Car** Art. 6. PM.QNpx AP.p× AQ :: AP. AQ. 2 COROLLAIRE III. 7. 9. Si l'on méne par un point quelconque P de l'axe A Pune parallele MPM à fes ordonnées; elle rencontrera la parabole en deux points M & M également éloignés de part & d'autre du point P, & non en davantage. Car afin que les points M & M foient à la parabole, il faut * que les quarrés de chaque PM (y) prise de part * Art. 7. & d'autre du point P, foient égaux chacun au même rectangle px. COROLLAIRE IV. 10. IL fuit de ce que *yy=px, que plus AP (x) est ⋆ Art. 7. grande, plus auffi l'ordonnée PM (y) prife de part & d'autre de l'axe AP augmente, & cela à l'infini, & qu'au contraire plus AP (x) diminuë, plus auffi l'ordonnée PM (y) devient petite: de forte que AP(x) étant nulle ou zero, chaque PM(y) prife de part & d'autre de l'axe AP devient auffi nulle; c'eft-à-dire que le point P tombant en A, les deux points de rencontre M & M se réu niffent en ce point. D'où il eft clair. 1o. Que fi l'on méne par l'origine A de l'axe une ligne LL parallele à fes ordonnées, elle fera tangente en A. 20°. Que la Parabole s'éloigne de part & d'autre de plus en plus à l'infini de fon axe AP à commencer par fon origine A; & qu'ainfi toute parallele comme LM à l'axe AP, ne rencontre la Parabole qu'en un feul point M, & paffe au dedans, puifque fa distance de l'axe demeure partout la même. II. SI d'un point quelconque M de la Parabole l’on tire une parallele ML à l'axe AP, laquelle rencontre en Z la parallele AL à fes ordonnées; il eft clair en ménant l'ordonnée MP, que AL=PM (y), & que ML AP * Art. 7. (x)=2, puisque * px=yy. D'où il suit que les droites * Art. 9. ML(), ML (2) prifes de part & d'autre de l'axe à LL. COROLLAIRE V I. 12. IL fuit de ce que toutes les perpendiculaires MPM à l'axe AP, terminées de part & d'autre par la parabole, font* coupées par le milieu en P; que l'axe divife la parabole en deux portions entierement égales & femblablement pofées de part & d'autre. Car fi le plan fur lequel elle eft tracée, étoit plié le long de l'axe enforte que les deux parties fe joigniffent, il eft vifible que les deux portions de la parabole tomberoient exactement l'une fur l'autre. PROPOSITION II Theorême. 13. Si l'on mene par l'origine A de l'axe AP une ligne droite quelconque AM dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe AP & par la ligne LL parallele à fes ordon. nées ; je dis qu'elle ira rencontrer la parabole MAM en un autre point M. Ayant pris fur AL de part ou d'autre du point A la partie égale au parametre p de l'axe, & tire GF parallele à l'axe AP, & qui rencontre la ligne AM (prolongée s'il eft neceffaire) au point F; on prendra fur la ligne AL du même côté où tombe la ligne AM par rapport à l'axe AP, la partie AL égale GF; & ayant tiré LM parallele à l'axe, je dis que le point M où cette ligne rencontre la droite AM, fera à la parabole MAM. 2 FIG. 3. Car menant MP parallele à AL, les triangles femblables FGA, APM, donneront FG ou AL ou PM. GA:: AP. PM. Et partant PM GA (p) × PA. La ligne PM fera donc une ordonnée à l'axe AP. Ce qu'il fal- * Art. 7. loit démontrer. E COROLLAIRE I. 14. De là on voit comment l'axe AP d'une parabole MAM étant donné avec fon parametre p, & ayant mené par l'origine A de l'axe dans l'un ou l'autre des angles PAL, PAL, faits par l'axe AP & par la ligne LL parallele à fes ordonnées, une ligne droite quelconque AM; on voit, dis-je, ce qu'il faut faire pour trouver fur cette ligne le point M où elle rencontre la parabole MAM. |