moitié BC du fecond axe Bb. D'où l'on voit que RM. KN:: Nk. Mr.

PROPOSITION IV.

Theorême.

93. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofees, deux droites Hh, LI, paralleles entr'elles, & terminées par les afymptotes 5 je dis que les rectangles HM-Mh, LÑ× N1, feront égaux entr'Il faut prouver que HMxMhLN-NI.

eux.

Ayant mené les droites Rr, Kk, perpendiculaires au premier axe Aa, il eft clair que les triangles MRH, NKL,& Mrh, Nkl, font femblables; puifqu'ils font formés par des paralleles. On aura donc RM. KN :: HM. LN. Et Nk. Mr:: Nl. Mh. Or * RM. KN :: * Art. 92. Nk. Mr. Donc HM. LN:: NI. Mh. Et par confé quent HM-Mh—LN×Nl. Ce qu'il falloit &c.

94.Si l'on fuppofe que la ligne NZ parallele à MH, paffe par le centre C, c'est à dire, qu'elle devienne CE: il eft clair que les deux points L,, fe réuniront au centre C; & partant que le réctangle LN-NI, deviendra le quarré EC. D'où l'on voit que fi l'on mene d'un point quelconque E, de l'une des Hyperboles oppofées au centre C, la droite CE, & par un autre point quelconque M de l'une ou de l'autre de ces Hyperboles, une ligne M Hh, parallele à CE, & qui rencontre les afymptotes en H & h; le quarré de CE fera égal au rectangle de HM par Mh.

COROLLAIRE II.

95. Si l'on mene par un point quelconque N, de l'une des Hyperboles oppofées, une ligne droite Z 1, terminées par les afymptotes, & qui rencontre l'une ou

l'autre de ces Hyperboles en un autre point n; les parties LN, In, de cette droite prifes entre les points des Hyperboles & la rencontre des afymptotes, feront égales entr'elles. Car nommant LN, a; Nn, b; nl, c; on aura LN×Nl (ab=ac)=HM×Mh=Lnxn l. (bcac), d'où l'on tire LN (a)=ln (c).

COROLLAIRE III.

que

96. Si l'on suppose dans le Corollaire précedent la ligne Nn, terminée par les Hyperboles oppofées, paffe par le centre C, c'eft à dire, qu'elle devienne le premier diametre E D: il eft évident que les deux points I, I, fe réuniront au centre C; & qu'ainfi NL deviendra EC, & nl, CD. D'où l'on voit que tout premier diametre DE, eft divifé en deux également par le centre C.

COROLLAIRE IV.

97. Si deux lignes droites Mm, Nn, paralleles entr'elles, font terminées par une Hyperbole ou par les Hyperboles oppofées, & rencontrent une asymptote aux points H, Li je dis que les rectangles MĤ× Hm NLX Ln, feront égaux entr'eux. Car prolongeant, s'il eft neceffaire, ces deux lignes, jufqu'à ce qu'elles rencontrent l'autre afymptote aux points h,l; les parties * Art. 95. MH, mh, & NL,nl, feront égales * entr'elles : & partant, puifque HM× Mh LÑxNI, il s'enfuit que

FIG. 41.

MH× Hm=NL×Ln.

PROPOSITION V.

Theorême.

98. Si l'on mene par deux points quelconques M, N, d'une Hyperbole ou des Hyperboles oppofees, deux droites MH, NL, paralleles entr'elles & terminées par un afymptote; & deux autres droites Mh, N1, aussi paralleles entr'elles, & terminées par l'autre afymptote je dis que les rectangles

HMxMh, NL-NI, font égaux entr'eux.

Cette Propofition fe prouve de la même maniere que la précedente, & il n'y a rien à changer dans la démonftration.

COROLLAIRE I.

99. Si les droites MH, Mh, & NL, NI, font pa- F16, 42ralleles aux deux afymptotes; il eft clair que les parallelogrammes MHCh, NLCI, auffi-bien que les triangles CHM, CLN, qui en font les moitiés, font égaux entr'eux; puisque les côtés de ces parallelogrammes autour des angles égaux H Mh, LN1, font réciproquement proportionnels.

ES

COROLLA IR E. II.

100. Les mêmes chofes étant pofées que dans le Corollaire précedent, il est visible que CH-HM= CLXLN; puifque dans cette fuppofition Mh=CH, & NI CL: c'est à dire, que fi l'on mene par deux points quelconques M, N, de l'une, ou des Hyperboles oppofées, deux droites MH, NL, paralleles à l'une des afymptotes, & terminées par l'autre ; les réctangles CH HM, CLXLN, feront toûjours égaux entr'eux; & qu'ainfi CH. CL :: LN. MH.

COROLLAIRE III.

*

101. PUISQUE l'extremité A du premier axe, cft un des points de l'Hyperbole, & que la ligne AB, qui coupe en G, l'afymptote CG, eft parallele à l'autre afymp tote Cg; il s'enfuit * que le rectangle CHHM fera * Art. 100, toûjours égal au même rectangle Co×GA, ou au quar- *Art. 88. ré CG', c'està dire, felon la définition 12o, à la puiffance de l'Hyperbole. Si donc l'on nomme la donnée CG, m; & les indéterminées CH, x5 HM, y; on aura toûjours CH× HM (xy)=CG (mm). Or comme cette pro prieté convient également à tous les points des Hyperboles oppofées, & qu'elle en détermine la position par

2

rapport à ses asymptotes; il s'enfuit que l'équation xymm en exprime parfaitement la nature par rapport à fes afymptotes.

COROLLAIRE IV.

102. It fuit de ce que HM (y)=, que plus CH (x) augmente, plus au contraire HM (y) diminuë; de forte que CH (x) étant infiniment grande, HMy) fera alors infiniment petite, c'eft à dire, nulle ou zero. D'où l'on voit que l'Hyperbole AM, & fon afymptote CH (étant prolongées) s'approchent de plus en plus, de forte qu'enfin leur distance devient moindre qu'aucune donnée ; & que cependant elles ne fe peuvent jamais rencontrer, puifqu'elles ne fe joignent que dans l'infini où l'on ne peut jamais arriver. Il en eft de même pour l'autre afymptote Cg.

103. ENTRE toutes les lignes qui paffent par le centre C 1o. Celles qui, comme da, tombent dans les angles faits par les afymptotes du côté des Hyperboles, rencontrent chacune des Hyperboles oppofées en un feul point A, ou a; & étant prolongées, elles paffent au dedans de ces Hyperboles. Car à caufe des angles GCA, gCA, & de leurs oppofés au fommet, il eft clair que la ligne Aa, s'éloigne de plus en plus de l'un & de l'autre afymptote; au lieu que * Art. 102. les Hyperboles oppofées s'en approchent toûjours * de plus en plus. 2°. Celles qui, comme Bb, tombent dans les angles d'à côté, faits auffi par les afymptotes, ne peu vent jamais rencontrer les Hyperboles oppofées, quoiqu'on les prolonge à l'infini, puifqu'aucun des points des Hyperboles* ne peut tomber dans ces angles.

*Art. 9. Def. 9.

D'où l'on voit que tous les premiers diametres, tombent dans les angles faits par les Afymptotes du côté des Hyperboles, & que les feconds tombent dans les angles

d'à côté.

COROLLAIRE VI.

104. Si l'on mene par un point quelconque H, de FIG. 43. l'une des afymptotes CE, une parallele HM, à l'autre Ce; elle ne rencontrera l'Hyperbole qu'en un feul point Mi & étant continuée, elle paffera au dedans. Car fa distance de Ce, demeure par tout la même, au lieu que l'Hyperbole s'en approche * toûjours de plus en plus.

* Art. 102.

105. DE-LA il est évident que fi par un point quelconque M, d'une Hyperbole, l'on mene deux droites indéfinies MH, Mh, paralleles à fes afymptotes Ce, CE. 1o. Tous les points de l'Hyperbole qui lui eft oppofée, tomberont dans l'angle H Mb; puifqu'ils tombent tous dans l'angle fait par fes afymptotes, lequel eft * Art. 91. renfermé dans l'angle HMh.

*

2o. Les deux portions de l'Hyperbole, tomberont dans les deux angles à côté de celui-ci, ainfi aucun de fes points ne tombera dans l'angle oppofé au fommet à l'angle HMh.

3°.Toutes les lignes qui, comme MF, tombent dans l'angle HMb, rencontrent ( étant prolongées du côté de F) Hyperbole oppofée en un point N, & paffent au dedans; puifqu'elles s'écartent de plus en plus des droites MH, Mb, &par confequent de fes deux afymptotes qui leur font paralleles: mais étant prolongées de l'autre côté du point M, elles entrent au dedans de l'Hyperbole qui paffe par ce point, & ne la rencontrent jamais ailleurs.

4°. Toutes les lignes qui, comme Ee, tombent dans les angles à côté de l'angle HMh, rencontrent les deux afymptotes de l'Hyperbole qui paffe par le point M; ainsi lorfqu'elles paffent au dedans de l'une de fes portions, elles la rencontrent neceffairement en quelque point N, puifqu'elles vont rencontrer l'asymptote qui tombe au dehors de cette portion.