même triangle CFE, on formera les triangles CDE, CFG, qui feront égaux entr'eux. 2°. Que la ligne DE, eft couppée en même raison aux points M, 0, que la ligne FG l'eft aux points A, O. Car menant par les points touchans la droite MA, il eft clair qu'elle fera parallele aux deux droites DG, FE; puifqu'elle couppe par le milieu les droites DE, FG, renfermées entre ces paralleles. PROPOSITION IX. Theorême. 47. 121. .SI I par un point quelconque M d'une Hyperbole, F16. 46. & l'on mene une ordonnée MP à tel de fes diametres A a que P'on voudra, & une tangente MT qui le rencontre en T; je dis que CP. CA:: CA. CT. en obfervant que les points P, T, tombent du même côté du centre C, lorfque la ligne Aa eft un premier diametre ; & au contraire qu'ils tombent de part & d'autre du centre, lorfque c'est un fecond diametre. Premier cas. Lorfque la ligne Aa eft un premier dia- FIG. 46. metre. On prolongera la tangente MT jufqu'à ce qu'elle rencontre les afymptotes CD, CG, aux points D, E ; & l'ordonnée PM, jufqu'à ce qu'elle rencontre l'afymptote CD au point N, on menera enfuite par le point Ala ligne AK, parallele à DE, qui rencontre l'afymptote CG au point K, & la tangente FG terminée par les afymptotes, qui fera parallele * à PM, & qui rencontre ▾ * Def. 14. au point o l'autre tangente DE. Čela pofé, A Peft à AC, ou FN à FC, en raison com pofée de FNà FD, ou de OM à OD, ou* de OA à OG, ou * Art. 120. de EKà EG, & de FD à FC, ou* de EG à EC. Or AT est à * Art. 120. TC, ou KE à EC, en raifon compofée de EK à EG, & de EG à EC. Donc AP. AC :: AŤ. TC. puifque les raisons compofantes de ces deux raisons font les mêmes; & par confequent APAC ou CP. CA: AT-TC ou CA. CT. Ce qui étoit propofé en premier lieu. K FIG. 47. Second cas. Lorfque la ligne Aa est un second diametre. Ayant mené par le centre C la ligne CK parallele à l'ordonnée PM, qui rencontre l'Hyperbole au point B, & la tangente MT au point R, & par le point touchant M la ligne MK parallele à Aa, il eft clair que CB fera le premier demi-diametre conjugué au fecond Aa, & qu'ainfi MK fera ordonnée à ce diame tre. Cela pofé, fi l'on nomme les données CA ou Ca, t; CB, c; & les indéterminées CP ou MK, x; PM ou CK, y; on aura felon ce qu'on vient de démontrer cc dans le premier cas, CR= ==;& partant RK ou CK -CR. Or les triangles femblables KRM, CT= * Art. 80. ccxx & 118. tt tirée de ce que yy= FIG. 48. & 49. que CP. CA: CA. CT. Ce qui reftoit à démontrer. PROPOSITION X. Theorême. 122. St par un point quelconque M d'une Hyperbole qui a pour centre le point C, ou même une ordonnée MP à l'un ou à l'autre axe Aa, & une perpendiculaire MG à la tangente MT, laquelle palle par M: Je dis que CP fera toùjours à PG en la raifon donnée de l'axe Aa à fon Para metre. Car nommant le demi-axe CA ou Ca, t; & les indė*Art. 127. terminées CP, x; PM, y; on aura * CT; Et par x tt tant PT****, felon que Aa eft le premier ou le fecond axe. Or les triangles réctangles femblables TPM ̧MPG ̧donnent TP (**). PM(y) ::PM (y). PG= xyy D'où l'on tire cette proportion CP (x). PG() :: CPCA (xx—tt).PM* (yy). puisqu'en multipliant les moyens & les extrêmes, on trouve le même produit xyy. Mais CPCA eft à * PM, comme l'axe Aa eft à fon parametre. Donc * Art. 81. CP eft auffi à PG en cette même raison. Ce qu'il falloit démontrer. PROPOSITION XI. I Theorême. 123. Si d'un point quelconque M d'une Hyperbole, l'on Fic.so. tire à fes deux foyers F, f, les droites MF, Mf, je dis que la tangente MT, qui paffe par ce point M, divife en deux également l'angle FMf. tt Car ayant mené les perpendiculaires FD, fd, fur la tangente MT; le premier axe Aa, qui passe par les foyers F, f, & qui rencontre la tangente en T; & l'ordonnée MP, à cet axe: on nommera les données CA ou Ca, t; CF ou Cf, m; & l'indéterminée CP, x. L'on aura MF * (*—t). Mf(→→t) :: TF ou CF * Art.78. (m)—CT * (—). Tfou Cf(m)→CT (#). puifqu'en Art. 121. multipliant les extrêmes & les moyens, ou forme le même produit. Or les triangles réctangles femblables TFD, Tfd, donnent TF. Tf:: FD. fd. L'hypothenufe MF du triangle rectangle MDF, fera donc à l'hypothenufe Mf du triangle réctangle Mdf, comme le côté DF eft au côté df; & par confequent ces deux triangles feront femblables. Donc les angles FMD, fMd, qui font oppofés aux côtés homologues DF, df, feront égaux entr'eux. Ce qu'il falloit démontrer. *Def. 11. & 13. *Def. 11. & COROLLAIRE. 124. DE-LA il est évident, que la tangente MT, étant prolongée indéfiniment de part & d'autre du point touchant M, laiffe l'Hyperbole AM, toute entiere du côté de fon foyer interieur F. Et comme cela arrive toûjours en quelque endroit de cette Hyperbole qu'on prenne le point M, il eft vifible qu'elle fera concave dans toute son étenduë autour de son foyer interieur F. PROPOSITION XIL Theorême. 125. La difference des quarrés de deux diametres conju- Il faut prouver que CS'-CM'CB-CA', ou que Si l'on mene les droites MS, AB, elles feront* paralleles à l'afymptote Cg, & de plus couppées en deux également par l'autre afymptote CG, aux points H, G; puisque * les lignes Ms, Ab, font paralleles à cette afymp13. tote, & que les feconds diametres Ss, Bb, font coup*Art. 113. pés * en deux également au centre C: C'eft pourquoi fi l'on mene fur l'afymptote CG, les perpendiculaires AF, BE, ML, SK, on formera les triangles GAF, GBE, & HML, HSK, qui feront femblables & égaux. Cela *Art. 88. pofé, foient nommées les données CG ou* GA, m; GE ou GF, a; AF ou BE, b; & les indéterminées CH, x; HM, y: ce qui donne CE=ma,CF= -2 CEE 2 2 m—a; CE EB ou CB mm+ram+aa- |