deux valeurs analytiques fe trouvent égales, les lignes geo metriques qu'elles reprefentent le font auffi; les deux in clinaifons du mortier fe réduifent à celle de 45 degrés, qui donne la plus grande étendue de tous les jets de bom. be par une même force de poudre ; & les deux endroits du pendule où il faut mettre la lentille fe réuniffent au point, où arrêtant la lentille, on rend les vibrations du pendule les plus promptes qu'il eft poffible. Quand l'Analyfe découvre que les deux valeurs font impoffibles, on trouve une contradiction dans la réfolution geometrique l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe, fe trouve hors de la portée de la poudre; & l'on trouve auffi qu'il y a une contradiction dans les fuppofitions que l'on a fai tes fur le pendule compofé, &c. Tout le refte du huitiême Livre est employé à faire voir les ufages de l'Ana lyfe dans la Geometrie compofée, c'est à dire, dans la fcience des lignes courbes, & dans la réfolution des Problêmes Phyfico-Mathematiques qui en dépendent.

On explique dans la troifiéme Section la maniere de reduire les courbes à des équations qui en expriment les principales proprietés : la voici. On fuppofe fur le plan où est chaque courbe une ligne droite dont la pofition eft donnée fur le plan, & un point fixe d'où elle part, qu'on nomme fon origine, qui eft auffi donné. Cette droite fe nomme la ligne des coupées on fuppofe une infinité d'autres droites toutes paralleles entr'elles qui partent de tous les points de la courbe, & vont toutes couper la ligne des coupées, on les appelle les ordonnées; la partie de la ligne des coupées depuis l'origine jufqu'à l'ordonnée qui la termine eft la coupée de cette ordonnée; &, pour abreger, on nomme chaque coupée & fon ordonnée correfpondante, les coordonnées. Or dans toutes les courbes regulieres il y a un rapport commun qui regne entre les coordonnées, qu'on peut regar der comme le rapport commun à tous les points de la courbe d'où partent les ordonnées. Ainfi en nommant chaque coufée par une même lettre, qu'on appelle changeante, parcequ'elle reprefente fucceffivement toutes les coupées; reprefentant de même chaque ordonnée par une autre lettre qu'on nomme changeante par la même raifon; marquant auffi par des lettres differentes les lignes connues qui fervent à déter

miner le rapport commun aux coordonnées : l'Analyse exprime ce rapport commun à tous les points de la courbe par une équation; les changeantes des coordonnées y tiennent lieu de deux inconnues. On a fait voir dans la premiere Section, que l'on peut de même exprimer par une équation le raport commun de tous les points d'une ligne droite, en concevant de tous fes points des droites paralleles tirées à la ligne des coupées fur le même plan où eft la ligne droite.

C'eft de ces équations, qui expriment la nature des courbes, que l'Analyfe deduit leurs proprietés, & la refolution des Problêmes qui les regardent. C'eft de ces mêmes équations qu'elle prend la diftinction des courbes en geometriques & en mechaniques: les équations des premieres ne contiennent que des expreffions ordinaires de l'Algebre, `le nombre des dimenfions des changeantes eft déterminé, & les coordonnées font toujours de fimples lignes droites : Parmi les courbes mechaniques, les unes ont des courbes pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux; d'autres ont des lignes droites égales à des arcs de courbe pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux. Il y en a dont le nombre des dimensions des coordonnées n'eft pas déterminé; la plufpart ne peuvent s'exprimer que par des équations qui contiennent des differentielles. Enfin les équations des courbes geometriques servent à les ranger en differens ordres qu'on appelle genres, felon le nombre des degrés où font élevées les puiffances feparées des changeantes, ou felon le nombre des dimensions du produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, quand ce produit eft le feul terme qui contient des changeantes, ou quand il a plus de dimenfions que la puiffance la plus élevée de l'une ou de l'autre des changeantes feparées.

Les courbes geometriques les plus fimples, ou du premier genre, font celles qui s'expriment par des équations où la plus haute puiffance des changeantes feparées ne monte qu'au fecond degré, ou bien dans lesquelles le produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, n'eft que de deux dimenfions; on les appelle Sections coniques, parcequ'elles peuvent fe former par la fection commune d'un plan & d'un cône. Les Geometres anciens & nouveaux fe font appliqués à décrire ces courbes, à en découvrir les proprietés, à en

refoudre les Problêmes, & à les faire fervir à la refolution de beaucoup d'autres Problêmes; cela les a rendues de grand ufage. On enfeigne dans cette troifiéme Section leur formation, c'eft à dire, la maniere de les décrire fur un plan, 1°, par le mouvement continu du point d'interfection de deux regles mobiles; 2°, en trouvant fucceffivement les points. par où elles doivent paffer. On tire de leur formation les équations qui en expriment la nature, & l'on déduit de ces équations les principales proprietés de ces courbes. On a eu foin de n'oublier aucune de celles qui font neceffaires à l'intelligence de ce huitiéme Livre, afin que les Lecteurs qui fçavent au moins mediocrement les Elements d'Eucli de, n'euffent befoin d'aucun autre Ouvrage pour entendre celui-ci.

Dans les Sections coniques, ( & c'est à peu près la même chofe dans les courbes geometriques des genres plus élevés, ) il y a une ligne déterminée des coupées pour chacun des angles que les ordonnées, paralleles entr'elles, peuvent faire avec leurs coupées : cette ligne déterminée s'appelle le diametre de la courbe. L'équation de la courbe par rapport à ce diametre est la plus fimple de toutes, c'est à dire, qu'elle a le moins de termes: mais quand on prend fur le plan de chacune de ces courbes une ligne des coupées differente du diametre, & qui ne lui eft pas parallele; l'équation de la courbe, par rapport à cette ligne des coupées, a un plus grand nombre de termes que l'équation la plus fimple. Dans la refolution des Problêmes qui fe reduifent aux Sections coniques, on trouve rarement l'équation la plus fimple, laquelle feroit diftinguer d'abord celle des Sections coniques à laquelle le Problême se rapporte mais il fe prefente ordinairement une équation qui a plus de termes que celle de la courbe par rapport au diametre; & cependant les changeantes de l'équation n'ayant que deux dimenfions, la courbe qu'elle exprime eft l'une des Sections coniques. Il faut donc avoir des marques certaines pour diftinguer à laquelle des Sections coniques appartient l'équation qu'on a trouvée, & des moyens pour trouver le diametre de cette Section conique, & les autres lignes neceffaires pour la décrire par la même methode dont on s'est servi pour décrire une telle Section conique. On a mis pour cela un Problême dans la troi

fiéme

fiéme Section, qui en eft le feptiéme, où l'on enseigne à trouver par le moyen de l'équation fimple de chacune des Sections coniques, l'équation la plus compofée de chacune des mêmes Sections, laquelle exprime le rapport commun à tous les points de la courbe par rapport à une li gne des coupées fur le même plan de la courbe qui est differente du diametre, & ne lui eft pas parallele, & dont l'origine eft differente de l'origine du diametre. L'on tire de ces équations compofées de chacune des Sections coniques, le marques certaines pour diftinguer, dans la refolution des Problêmes qui s'y reduifent, la Section conique en particulier à qui convient l'équation que l'on peut trouver. L'on fait voir auffi la maniere de fe fervir des équations compo fées de chacune des Sections coniques, que donne ce feptiéme Problême, pour trouver, dans les équations compofées qui fe prefentent dans la refolution des Problêmes, & qui fe rapportent à une Section conique, le diametre & les autres lignes neceffaires pour la décrire. Cela se fait par la methode des indéterminées en regardant les connues de chaque équation du feptiéme Problême comme des indéterminées, & en comparant chaque terme de cette équation avec chaque terme correfpondant de l'équation qui s'est prefentée dans la refolution du Problême car l'on détermine, par le moyen des équations que donnent ces comparaifons, les valeurs du diametre & des autres lignes qu'il faut avoir pour décrire la Section conique exprimée par l'équation qui refout le Problême.

En regardant de près les veftiges que M' Descartes à laiffés dans le fecond & dans le troifiéme Livre de fa Geometrie, on voit affés qu'il s'eft fervi de la methode dont on vient de parler, (qui eft expliquée dans le feptiéme Problême de cette troifiéme Section, & dans les Remarques qui le fuivent,) pour diftinguer dans la refolution du Problême de Pappus, qu'il donne dans le fecond Livre, à quelles Sections coniques fe reduifoient les équations qui fe font prefentées à lui dans cette refolution; & pour trouver le diametre & les autres lignes neceffaires pour décrire ces Sections coniques. Il s'en eft encore fervi, dans la resolution des équations qu'il donne dans le troifiéme Livre, pour dé crire les Sections coniques qui jointes enfemble fe coupent

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en des points dont les ordonnées ou bien les coupées font la refolution des équations. Cependant les Commentateurs de M' Defcartes n'ont point expliqué cette methode qui auroit éclairci fa Geometrie, & l'auroit rendue plus facile M' Craige en Angleterre, & M le Marquis de l'Hofpital en France, font les premiers qui l'ont donnée au Public.

On explique dans la même troifiéme Section la methode generale de décrire toutes les courbes geometriques, en trouvant fucceffivement les points par où elles doivent paf fer. On a mis auffi quelques Exemples des courbes mechaniques. Enfin, pour n'oublier aucune des courbes qu'on a pu imaginer jusqu'à prefent, l'on y donne une idée des cour, bes qu'on nomme exponentielles & parcourantes.

La quatriéme Section eft fur les ufages que l'Analyse fait des courbes; l'on en explique feulement deux : le premier est pour trouver, par le moyen des courbes geometriques, les lignes qui font les valeurs geometriques des équations déterminées, c'eft à dire, qui n'ont qu'une inconnue; c'est ce qu'on appelle conftruire les équations: le fecond est pour refoudre, par le moyen des courbes, plufieurs Problêmes Phyfico-mathematiques. La conftruction des équations est une des belles parties de la Geometrie compofée : Pour l'expliquer à fond d'une maniere courte mais fans obscurité, on l'a déduite du principe d'où elle dépend naturellement, que voici.

&

Si l'on prend les équations de deux lignes geometriques où les mêmes lettres changeantes marquent les coordonnées, que l'on ôte l'une des deux changeantes, par exemple la changeante des coupées, dans l'une de ces deux équations par le moyen de l'autre équation, il en naîtra une troifiéme équation qui n'aura qu'une feule changeante ou inconnue. Ór les deux lignes geometriques de ces équations étant jointes l'une & l'autre de façon que leurs coupées foient communes ou paralleles entr'elles, & qu'elles partent d'une même origine, & qu'il en foit de même de leurs ordonnées; elles fe couperont en autant de points qu'il y a de dimenfions dans la plus haute puiffance de l'inconnue demeurée feule dans la troifiéme équation: Et fi l'on tire de tous les points d'interfection de ces deux lignes geometriques, des ordonnées jufqu'à la ligne des coupées de celle qu'on a dé