crite la premiere, elles feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi cette inconnue eft celle des ordonnées; les coupées qui fe terminent à ces ordonnées feront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troifiéme équation, fi c'eft l'inconnue des coupées qui y foit demeurée. Ce principe répand une lumiere fur la methode que donne l'Analyfe pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prifes deux à deux fon propres à conftruire telle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre ensemble ces deux lignes geometriques d'une maniere propre à les faire couper dans les points qui auront pour ordonnées ou pour coupées le lignes qui font les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déterminée il répand, dis je, une lumiere fur cette methode qui la rend claire aux commençants, quoiqu'elle foit tres courte. On prend pour exemple la conftruction de toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée & du cercle, & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptotes dont l'angle eft aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de conftruire toutes les équations du troifiéme & du quatrième degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pû embaraffer les commençants.

On pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'interfections des deux lignes geometriques employées à conftruire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand toutes les valeurs que fournit l'Analyse font pofitives & differentes, les lignes quí en font les valeurs geometriques font toutes differentes, & du côté des lignes pofitives. Lorfque l'Analyse donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques font du côté des lignes négatives. Quand le fecond terme de l'équation eft évanoui, la fomme des valeurs négatives que donne l'Analyse est égale à celle des pofitives; l'on trouve auffi dans la construction geometrique, que la fomme des lignes du côté des grandeurs négatives eft égale à celle des lignes qui font du côté des pofitives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'interfections des

lignes geometriques qui fe reuniffent ensemble. Enfin dans les cas où l'Analyse trouve des valeurs impoffibles, les li gnes geometriques employées à la conftruction ne fe coupent ni ne fe touchent point du côté que devroient être les valeurs geometriques correfpondantes.

On explique à la fin de la même quatriéme Section quel ques ufages des courbes pour la refolution des Problêmes Phyfico-mathematiques. On fait voir que les traces des bombes jettées à toutes les inclinaifons poffibles du mortier, font des paraboles. On tire d'ordinaire des proprictés de la parabole la refolution des Problêmes de l'art de jetter les bombes: mais comme l'on a refolu ces Problêmes dans la feconde Section fans fe fervir de la parabole, on donne la refolution de deux autres Problêmes fur toutes les paraboles que peut décrire une bombe jettée par une même force de poudre à toutes les differentes inclinaifons qu'on peut donner au mortier. On fait voir auffi dans la même Section que l'ellipfe & l'hyperbole font les figures qu'il faut donner aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à l'axe foient difpofés, par les refractions qu'ils fouf frent en paffant de l'air dans les verres, ou des verres dans l'air à fe réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par l'Analyfe, que la cycloïde eft la courbe que le centre de pefanteur d'un pendule fimple, ou le centre d'ofcillation d'un pendule compofé doit décrire, afin que fes vibrations grandes ou petites foient toutes d'une égale durée: ce qui fait concevoir qu'un tel pendule eft ce qu'il y a de plus propre à moderer le mouvement des horloges & à les rendre la mesure exacte du temps.

SECONDE PARTIE.

Sur le calcul differentiel, & fur Pufage de l'Analyse en fe fervant de ce calcul.

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N fait remarquer dans la premiere Section, que ce n'est point une chose nouvelle dans la Geometrie que de confiderer des parties de grandeur d'une fi extrême petiteffe, qu'on ne peut les faire entrer en comparaifon avec les gran

deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douzième Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d'Archimede, ont pris ces parties infiniment petites pour principe de quelques-unes de leurs démonftrations. Car pour démontrer, par exemple, que deux cercles font entr'eux comme les quarrés de leurs diametres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont fuppofé qu'on pouvoit concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones femblables infcrits, ou deux polygones femblables qui leur fuffent circonfcrits, dont les côtés fuffent d'une telle petiteffe, que la difference des polygones infcrits ou circonfcrits d'avec leurs cercles fût moindre qu'aucune grandeur finie & déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Or ces polygones étant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs circuits comme ces mêmes diametres; la fuppofition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même rapport que les aires & que les circuits de ces polygones.

Ce n'a donc point été de nos jours une nouvelle découverte que d'employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, fi petites qu'elles n'ont aucun rapport fini avec elles. Ce que les illuftres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette fuppofition que les Anciens ont prise de la nature, n'a été que de donner des expreffions convenables à ces petites parties qui font les premiers élements des grandeurs; & de trouver un calcul qui leur fût tellement propre, qu'on pût leur appliquer les methodes de l'Analyfe, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs entieres ou integrales dont elles font les premiers élements. Le fondement du calcul differentiel eft commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations posées fur ce fondement est la même. La maniere même d'employer, dans les démonstrations & dans les refolutions des Problêmes, ces parties des grandeurs plus petites que toute grandeur qu'on peut déterminer, eft commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne fuppofoient cette difference infiniment petite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côtés qui lui étoit infcrit ou circonfcrit, que pour faire leur démonstra

tion; qu'ils ne la concevoient fubfiftant que pendant la démonstration; & qu'au moment qu'ils l'avoient faite, ils regardoient cette difference comme devenant nulle, & que le polygone infcrit ou circonfcrit, qui étoit pour ainfi dire l'infinitiéme, ne differoit en rien du cercle: Les nouveaux Geometres n'employent auffi les mêmes differences infiniment petites que pendant la refolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & fubfiftantes que pendant leur calcul; & au moment qu'il leur a donné la refolution, ils fuppofent que les differences s'évanouiffent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils fuppofoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit donc être au même degré que celle des démonstrations des anciens Geometres qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de tout le monde. La feule difference eft que les Anciens ne faifoient fur ce principe que des démonstrations qu'on appelle per abfurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout di reЯtement.

On apperçoit même diftinctement, en y regardant de près, les fecondes differences renfermées dans la fuppofition des Anciens, quoiqu'ils n'y fiffent pas de reflexion, & qu'ils n'en euffent pas befoin dans leurs démonftrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux fur le polygone infcrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la difference de l'aire du polygone infcrit dans le cercle, fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée; il est évident qu'il falloit qu'ils conçuffent celui des polygones infcrits, qui étoit, pour ainfi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés; autrement la difference de fon aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition: Or l'on conçoit diftinctement que la diffe. rence de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle, moindre, par la fuppofition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits fegments de cercle dont les petits côtés du polygone étoient les cordes: C'est pourquoi ces petits fegments étoient juftement ce qu'on appelle des fecondes differences dans les nouveaux calculs, puifqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere dif

ference, qui étoit celle de l'aire du polygone infcrit d'avec l'aire du cercle.

Aprés avoir établi la fuppofition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les expreffions de ces petites parties qu'on nomme differences ou differentielles. L'on a pris les expreffions de M Leibnits comme moins capables de caufer des méprises dans les calculs & dans l'impreffion, & parcequ'elles foulagent davantage l'imagination: On met enfuite le calcul des premieres diffe rences, des fecondes differences, des troifiémes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel.

On explique dans le trois Sections fuivantes l'ufage de l'Analyse en se servant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'eft propofé d'être court dans ce Volume des Ulages, de l'Analyfe, & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de toutes les courbes; on a réduit à des formules generales les Problêmes qui les font trouver. Ces Problêmes font de deux fortes; la refolution complete des uns dépend du feul calcul differentiel; la refolution des autres fe commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la feconde Section les formules pour refoudre les Problêmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les foutangentes, les perpendiculiaires, les fouperpendiculaires de toutes les courbes, & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où les tangentes de ces points font paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la refolution des Problêmes fur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres, les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui fepa rent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion ; & dans les courbes qui rebrouffent leur chemin, les points de rebrouffement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes fortes de courbes. Ces courbes developées fervent à former les courbes dont elles font les developées, par le develope ment infenfible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il fe develope, décrit les cour