267. 268. PREMIERE PARTIE. De lufage de l'Analyse dans la refolution des Problèmes de PREMIERE SECTION. Où l'on fait voir comment les calculs de l'Analyse expriment PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE.' POUR exprimer par les calculs de l'Analyse les rapports FIG I. Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les nom- Il est évident que l'addition & la fouftraction des lettres qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes font ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres; par exemple fi AK = =d, & AB = a; la fouftration ad Fic. I. marquera que AK eft retranchée de AB; par confequent a-d=KB. Il en eft de même de l'addition. 269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB ( a) à la ligne BH (b), ce qu'il faut remarquer dans l'expreffion de tous les autres rapports des lignes. 270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur b, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par a xb, eft une proportion dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme font les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre, & le" le quatrième terme eft le produit ab de ces grandeurs; ainfi chaque produit dans les operations de l'Analyfe exprime une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion, dont les trois premiers termes qui font connus, font l'unité & les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la premiere figure, fuppofé que AK foit l'unité; ainsi AK=1; que AB-a, AM e; l'on a, en fuppofant KM & BH paralleles, cette proportion AK (1). AB (a);; AM (e) AH= ou fimplement ac = AH; parcequ'on peut tou jours fous-entendre l'unité fous un produit, ou fous une gran deur fans la marquer. L'on voit donc que le produit de deux lignes AB (a) & AM (e) eft une autre ligne AH ae, qui eft la quatriéme proportionelle à l'unité AK & à ces deux lignes AB(a) & AM, (e). ае En fuppofant que les triangles AKM, ABH font fem. blables, que AK — 1, AB = a, KM = k, BH = bi BH eft auffi le produit de KM (k) par AB (a); puifqu'on a cette proportion AK (1). KM (k):: AB (a). BH (b) ak). ak. k, D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM (k) & AB ( a); pour trouver la ligne BH (bak) qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où ÁK soit = I, KM = =k2 AB=a, & l'on trouvera BH 271. Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions; par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatriéme proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité eft à la ligne ae, comme la ligne f eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatriéme proportionelle à l'unité & aux lignes ac & f. 272 D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgb, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions. Quand les produits font compofés de lettres égales, comme 1, a, aa, a3, aˆ, a3, &c. il est évident que les pro 73. 274. portions des lignes qui donnent ces produits font continues La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM (e), FIG. I. D'où l'on voit que le quotient d'une divifion n'exprime qu'une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion dont le divifeur eft le premier terme, la grandeur à divifer le fecond, & l'unité le troifiéme. = De même en fuppofant les triangles AKM, ABH fem- D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH= L'on voit auffi que fi la ligne à divifer étoit reprefentée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plusieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres, comme ac. Quand l'expreffion de la grandeur ou de la ligne à divi 275. ser AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du divifeur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c, & AB par a, la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant que AK eft l'unité, l'on a toujours la même proportion AB(a). AH(c):: AK(1). AM=; a D'où il est visible que(), qui eft l'expreffion du rapport de AH à AB, eft la même chofe que AM (); les лк I rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur est le numerateur, fans que cela en change la valeur. N REMARQUE. 276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes, l'unité eft ordinairement arbitraire; c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi determiné l'unité, on ne doit plus dans toute la question que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK = a, AB=b, AH d, AM= c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion AH (d) marquera le produit des lignes AB (b), AM (c), qui eft AH. a aa Quand on a ainfi determiné une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi aabc = bc, bed bcd. 2°. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimenfions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 +px bcd=o, homogenes, en écrivant xapx-bcd =0; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque de 277. 493 de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx - bbcx -ccdd =o, en écrivant xx bbcx-ccdd aa Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux, V, V, &c comme ✓ ab, 'abc, &c. & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de ad, b la racine cubique de b3, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionnelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exem. pleab marque la ligne qui eft moyenne proportionnelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionnelles entre la ligne qui est prise pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes, a, b, c, & ainfi des autres. COROLLAIRE I. 278. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que tous L est les calculs de l'Analyfe peuvent être reprefentés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Ana lyfe. L COROLLAIRE II. 279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'autres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faci les, fans en changer la valeur. Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bede, 1°, faifant a. b:: c. bc, qu'on fuppo feram, l'on aura ambc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faifant enfuite a. m:: d. n, l'on aura an = md; & fubftituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faisant enfin a. n:: e. p, on aura apne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura ap bcde; où fupprimant l'unité a3, on aura p = bcde, |