Si l'on avoit, on trouveroit a3p = bcde, & aag = fgb, & l'on auroite de 24; enfuite faifant q. p : : a (1). r,

on auroit

fgh

r.

Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénomi nateur fuffent complexes; c'est à dire, continffent plufieurs produits joints par&, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

efg

bc, &

On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme-abcd en faifant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: c. m, on aura am= abcd=aamd; puis faifant comme a. m:: d. n, on aura abcd= = aaan; faifant de même pour le dénominateur a. e::f. p, on aura ap =ef, & efg = apg; faifant ensuite a. p::g. 9, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, & abed =; enfin faifant q. a:: n. r, on aura r = Si l'on avoit bc- de, en trouvant m moyenne proportionelle entre b & c, & n moyenne proportionelle entre d& e l'on changeroit l'expreffion be de en mm -nn qui lui feroit égale.

a3n

aaq

an

an

9

efg

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition on demande. 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furfa

ce des figures, les produits des calculs de l'Analyfe expriment FIG. 1. les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du quarré GH, & a fa hauteur GI, aa eft l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & fa hauteur BH,b; ab sera l'expref fion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, fa bafe GF a, fa hauteur GC = b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en eft ainfi

des autres.

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des

des corps; par exemple nommant aa le quarré GH; fi
l'on conçoit le cube dont ce quarré est la base, a3 fera l'ex-
preffion de la folidité de ce cube; de même abc fera l'expref-
fion d'un prifme dont la base est representée par
le produit
des lignes a & b, & la hauteur par cabc fera l'expreffion
d'une piramide qui aura la même base & la même hauteur
que le prime précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la souftraction des produits qui representent
des furfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées les
unes aux autres, ou retranchées les unes des autres : C'est la
même chose des produits qui expriment des folides.

Troifiéme fuppofition ou demande fur l'usage des fignes & —-
par rapport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB se coupent FIG. I. à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits comme RM, KM, OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QP, &c. foient comprises dans un Problême, quand on a besoin de diftinguer entre les parallales à AB, celles qui vont vers la droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles qui vont en montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au devant le figne, & les autres négatives & l'on met au devant le figne; on fait la même chofe pour diftinguer entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles qui montent. Il eft libre au commencement de l'operation de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de même entre celles qui defcendent & celles qui montent : Mais fi l'on fe détermine à mettre le figne devant celles qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles qui vont de droite à gauche, comme AC, D1, EG, &c. doivent avoir le figne De même si l'on fe détermine à mettre le figne devant celles qui defcendent, comme AE, BF, CG, &c. on doit écrire le figne devant celles qui vont en montant, comme AD, BH, CI, &c. Le terme où commencent les pofitives & les négatives de gauche à

B

droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier fe ront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatriéme, les unes & les autres font négatives.

Suppofant 40+a=+1, OL= =+b, AE=+c, l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF, AÓ (a ou + 1). OL(+b):: AE (+c). EF = c; d'où l'on voit comment multiplié par ➡ donne un produit qui a➡.

-

— d,

Faifant AO+a+1, AE c, ON l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AÓ (a ou + 1). AE(+c):: ON(d. EG

de

cd

Comme auffi en nommant AK, (e), on aura à cause des triangles femblables OAN, KĀM, AO(+aou➡1). ON(d) :: AK (+e). KM=— ; d'où l'on voit comment multiplié par · par, donne un produit qui a-.

a

bf

Suppofant encore AR-f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, 40 (+ a ou ➡1). OL(+b):: AR(—ƒ). RQ — —; d'où l'on voit encore comment par, ou par, donne un produit qui a

a

Enfin à caufe des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura AO (+ a ou + 1 ). ON (—d):: AR ( —ƒ. RM; d'où l'on voit comment donne un par-,

produit qui a .

-

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit AB, fera pofitif.

de AE par

Le rectangle AH fait de
Le rectangle AG fait de

AD par AB, fera négatif.

AE par

Mais le rectangle AI fait de AD

AC, fera négatif.

par AC, fera

pofitif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de DA par AB. L'on fuppofe dans tous les produits l'unité pofitive.

497

D'où l'on voit que les aires qui font dans les côtés oppofés de la ligne qu'on a prife pour terme entre les grandeurs pofitives & les négatives, font l'une pofitive, & l'autre négative.

On peut aifément appliquer ceci aux produits qui expriment la folidité des corps.

COROLLAIRE.

282. LEs deux mêmes lignes DAE; CAB le coupai auric. I. point A à angles droits, ou en faifant ensemble au point A tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne FAI, faisant au point A avec l'une ou autre tel angle aigu OAL qu'on voudra: Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que par tous les points de DAE on mene des lignes comme DI, RQ, OL, EF, &c. paralleles à la ligne CAB, jufqu'à la rencontre de FAI, & de même par tous les points de CAB des paralleles à DAE, jufqu'à la rencontre de la même ligne FAI, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On supposera la ligne 40+ a, OL = b; on nommera auffix chacune des lignes comme AE depuis A en defcendant prifes fur AOE, jufqu'à la rencontre de chaque parallele, comme EF; on nommera y chaque ligne comme EF menée par ce point E parallele à AB; mais on nommerax chacune des parties AR, AD de la ligne AD, qui vont en montant & qui fe terminent aux paralleles RO, DI, à CBA, & ces paralleles RO, DI feront nommées-y.

bx

Cela fuppofé, il eft évident, à caufe des paralleles, que. AO (a). OL (+b) :: AE (+∞). EF (+y) & par confequent➡bx = ay; &y=: Et de même AO (+a): OL (b) :: AD ( -x). DI (—y); d'où l'on aura-bx.

ay,
&-

a

Il est évident que l'équation y = convient à chacune
des paralleles menée de chacun des points de AOE jusqu'à
la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de
chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y) qui lui ré-
pond eft déterminée. Il faut entendre la même chofe de
F'équation —
* par rapport aux paralleles RQ, DI
de l'autre côté.

bx

D'où l'on voit que l'équation indéterminée y bx, convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent, & en exprimant la grandeur par rapport à ces x correfpondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui paffe par toutes les extremités des y, & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rap port à la ligne AOE. Cela eft caufe qu'on nomme l'équation y y=x le lieu à la ligne droite, ou l'équation à la ligne droite; & la ligne droite AF eft la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en Al eft auffi la ligne à qui convient l'équation -y=, qui eft la même que la précedente.

les y,

a

bx

=

a

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y1x, & conftruit geometriquement par la figure EAF, DAI, on nomme le point A où commencent les x pofitives prifes fur AE, & les x négatives fur AD, l'origine: la ligne AE & AD fur laquelle fe prennent les x, fe nomme la ligne des coupées ou des abciffés: les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abfciffes : les paralleles EF, OL, &c. qui font fe nomment les ordonnées, & encore les appliquées; chaque abciffe x & fon ordonnée correfpondante y, fe nomment les coordonnées: la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle la ligne des ordonnées; & l'on peut concevoir que les y fe prennent fur cette ligne, & rapporter le lieu IAF à cette ligne CAB par le moyen des. paralleles KL, PQ, &c. à la ligne DAE; car l'on aura AK =OL(+b). KL=AO(a):: AB=EF (y). BF = AE (x); d'où l'on déduira BF ( x ) = 7; l'on trouvera de même. PQ ou CI (-x): == 7.

Dans une équation commey = d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui bx, qui exprime le lieu vont en croiffant fucceffivement, ou en diminuant fucceffivement; on les appelle grandeurs changeantes ou variables, & les grandeurs déterminées, comme 40 (a), OL, (b), fe nomment grandeurs conftantes.

D'où l'on voit que dans les Problêmes de Geometrie, il faut diftinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables font celles qui dans une figure vont en croiffant ou en diminuant fucceffivement, aufquelles convient un même rapport,