Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie
compofee, c'est à dire, l'ufage de l'Analyse par rapport
à toutes les lignes courbes, pour en découvrir les proprie-
tés & les ufages.

AVERTISSEMENT.

C'EST dans la Geometrie compofée, c'est à dire dans la

fcience des lignes courbes, que paroît furtout l'ufage, & mê-
me la neceffité de l'Analyfe; depuis qu'on l'a appliquée à cet-
te science, on y a fait des progrés furprenants; & fi elle n'étoit
pas infinie, on auroit dans l'Analyse, en employant le calcul
differentiel & integral (inventé de notre temps) le moyen
de l'épuifer. Comme la fcience des lignes courbes fert à la Phy-
fique & à toutes les fciences Phyfico-Mathematiques, d'où
dépend la perfection des arts; c'est dans cette fcience que pa
roît évidemment l'utilité de l'Analyfe.

On applique l'Analyfe aux lignes courbes, en réduisant
chaque courbe à une équation qui en exprime une des prin-
cipales proprietés; & enfuite on découvre par le feul calcul
de l'Analyse, en fe fervant de cette équation, tout ce que l'on
peut defirer de fçavoir de cette courbe. L'Analyse même four-
nit le moyen d'exprimer une infinité de courbes par une mê-
me équation par le moyen des lettres indéterminées, & de
découvrir par le même calcul les proprietés de toutes ces cour-
bes. C'est ce que l'on va expliquer dans cette fection.

PREMIERE DEFINITION,

XVIII,

339. QUAND deux lignes données AB, BC, font un angle FIG. XVI. quelconque ABC, & que la premiere AB ou une de fes XVII. & puiffances, comme AB3, AB3, &c. ou le produit de la premiere AB, ou de quelqu'une, ou de plufieurs de fes puiffances par d'autres lignes données; quand, dis je, cette premiere ligne AB, où ce produit eft égal à la feconde BC ou à quelques unes de fes puiffances, ou au produit de BC, ou des puiffances de BC par des lignes connues; on dira que cette égalité ou équation exprime le rapport des lignes AB

350.

FIG. XVI.

& BC, Ainfi fuppofé AB = a, BC=b, & une autre ligne
donnée=p; fuppofé auffi que ap=bb, ou aap =b3 pbb;
on dira que cette équation exprime le rapport de AB à BC.
Explication de la maniere dont l'Analyfe réduit les courbes
à des équations qui en expriment la nature, c'eft
à dire les principales proprietés .

CAc eft une ligne foit droite foit courbe fur un plan; ABbest une ligne droite donnée de position, dont le point fixe ou l'oriXVII. & gine A eft déterminée, mais la ligne eft indéterminée de côté XVIII. & d'autre; foit gAG une ligne droite qui coupe AB au point A en faisant avec elle un angle quelconque BAG; foient auffi de tous les points de CAc des lignes droites CB, cb, &c. tirées fur AB, paralleles entr'elles & à gAG; fuppofé que l'équation qui exprime le rapport de la premiere parallele BC avec la premiere AB, foit la même que celle qui exprime le rapport de la feconde bc avec la feconde ligne Ab correfpondante, de la troifiéme bc avec la troifiéme Ab qui lui répond, & ainsi de toutes les autres, de maniere qu'en mettant chaque bc dans la premiere équation à la place de la premiere BC, & la correfpondante AB de chaque nouvelle BC à la place de la premiere AB, ce foit la même équation; on peut faire une équa tion qui convienne à tous les points de la ligne droite ou cour be cAC, en nommant la changeante Ab, x; la changeante BC, y, & mettant dans la premiere équation x à la place de AB, & y à la place de BC, & l'on a l'équation de la ligne droite ou courbe CAC.

EXEMPLES.

351. Si l'on a les deux lignes droites données p & d, & que l'é.

quation qui exprime le rapport de chaque BC (1) à chaque •282. AB (x), foit px = dys la ligne ACC eft droite.

Si l'équation qui exprime le rapport de chaque BC (y) à chaque AB (x), eft pxy; la ligne ACC eft courbe, & fe nomme la parabole; & px=yy, eft l'équation à la parabole. Si l'équation eft jy = dx -xx, la courbe ACC fe nom me l'ellipfe.

Si l'équation eft yy = dx

*289. circonference du cercle *.

XX--

la courbe ACC eft la

Si l'équation eft y=dxxx; la courbe ACC se nom

me l'hyperbole

541

Si l'équation eft ppy', la courbe ACC fe nomme la premiere parabole cubique.

Si l'équation eft pxxy, la courbe ACC fe nomme la feconde parabole cubique.

Si l'équation eft dyyyy, la courbe ACC fe nomme la ciffotde.

Comme il y a une infinité de courbes differentes, il y a auffi une infinité d'équations differentes qui les expriment; & il eft inutile d'en faire ici une longue énumeration; ce que l'on. vient de dire fuffit pour faire concevoir comment l'Analyse reduit chaque courbe à une équation qui exprime sa principale proprieté, d'où l'on déduit le'autres.

Si l'on tire des points CCcc de la ligne CCAcc des paralle. FiG. XVI. lesCG, cg, &c. à la ligne AB qui fe terminent à la ligne gAG qui eft fuppofée parallele aux lignes BC, Bc, bc, &c.il eft évident qu'à caufe des paralleles, les lignes AG, Ag, &c. font égales aux lignes BC, bc, &c. chacune à fa correfpondante; ainfi chaque AG=y; & que de même les lignes GC, gc, &c. font égales aux lignes AB, Ab, &c. chacune à celle qui lui répond, ainfi chaque GCx. D'où il eft clair qu'en rapportant les points de la ligne ACC à la ligne droite gAG, par moyen des paralleles CG, cg, &c. l'on aura la même équation que l'on avoit de la même ligne CCAcc, en rapportant tous fes points à la droite ABb par le moyen des paralleles BC, bC, &c.

le

353. DANS

SECONDE DEFINITION.

ANS toutes les courbes qu'on peut réduire à une équa- F1G. XVI. tion qui en exprime la proprieté, la ligne droite AB à laquelle on rapporte tous les points de la courbe, s'appelle la ligne des coupées ou des abfciffes, & la changeante AB, Ab, &c. s'appelle la coupée ou l'abfciffe; le point fixe A s'appelle l'origine. Les paralleles BC, bC, &c. s'appellent les or doncés ou les appliquées: & comme l'on a vu qu'on pouvoit prendre auffi les coupées fur AG parallele aux ordonnées, & les ordonnées fur ABB, chaque AB & fa correfpondante BC s'appellent les coordonnées ; & les deux lignes ABB, AG qui fe coupent à l'origine A, les lignes des coordonnées; & l'angle GAB qu'elles font enfemble, l'angle des coordonnées; & les quatre ang les GAB, GAH, gAH, BAg, qu'elles

font ensemble à l'origine A, font les quatre angles des deux lignes des coordonnées.

Divifion des courbes en differens genres. 554.LES lignes comme CC Acc dont on peut exprimer la natu

re, c'est à dire, la principale proprieté par une équation algebrique qui contienne le rapport des coordonnées changeantes x 350. &y, *, lefquelles coordonnées ne font que de fimples lignes droites, s'appellent Geometriques ou Algebriques, & on les diftingue en differens genres, dont chacun prend fon nom du nombre qui eft l'expofant de la plus haute puiffance de celle des deux coordonnées x ou y, qui eft élevée au plus haut de gré fans mêlange de Fautre dans l'équation, ou du nombre des dimenfions du produit de l'une par l'autre dans l'équation, quand ce produit a plus de dimensions que la plus haute puiffance feparée de l'une & de l'autre.

x

Les lignes dont l'équation ne contient que & y lineaires fans être multipliées l'une par l'autre, comme px=dy, font les lignes du premier genre; & il n'y a dans ce premier genre que la ligne droite.

Les lignes dont l'équation contient le quarré de l'une des coordonnées ou y, ou le quarré des deux xx & yy, ou le produit des deux xy, font les lignes du fecond genre: Mais comme elles font auffi les premieres courbes ou les courbes les plus fimples, on les appelle le courbes du premier genre.

Toutes les courbes dont l'équation contient la troifiéme puiffance de l'une ou de l'autre des coordonnées 3 ou y3, ou de toutes les deux x3 & y3, ou un produit des deux qui a trois dimensions xxy ou xyy, font les lignes du troifiéme genre, & en même temps les courbes du fecond genre; & ainfi de fuite à l'infini,

La maniere d'exprimer par une feule équation une
infinité de courbes toutes de differens genres.

355. EN

mn

N mettant dans l'équation à la parabole p' x'y' des expofants indéterminées m & n, on aura l'équation p"x"="+", qui exprime les paraboles de tous les genres à l'infini, en concevant que m & n reprefentent tous les nombres entiers que l'on peut mettre à leur place dans cette équation. Par exemple si m=1,n = 1, l'équation p" x" =+ fera l'équation

à la

= y

à la parabole du premier genre p'x'=y2: Sim=2, n=1,
l'équation p" fera ppx=y3, qui eft l'équation à la
premiere parabole cubique: Si m=1, n=2, l'équation
- fera pxxy, qui eft la feconde parabole cu-
bique: Sim=3, n=1, l'équation pay fera p3x
=y, qui eft la premiere parabole du troifiéme genre; & ainsi
à l'infini.

De même en mettant dans l'équation à l'ellipfe y=x1× d-x', & dans l'équation à l'hyperbole # = x2xd+x's les expofants indéterminés m & n; l'on aura, 1°, l'équation утром =xx dx, qui exprime les ellipfes de tous les genres à l'infini, m & n reprefentant tous les nombres entiers qu'on peut mettre à leur place; & 2°, l'équation #TM

n

dx, qui exprime les hyperboles de tous les genres à l'infi-
par la même raison.

ni

On peut de même rendre generales les équations de toutes les courbes qu'on peut imaginer.

TROISIEME DEFINITION.

356. DANS les courbes du premier genre, quand la ligne des Fic. XVI. coupées ABB coupe par la moitié chacune des ordonnées CBc terminées de côté & d'autre à la courbe, elle s'appelle un diametre de la courbe, & le point A où ce diametre rencontre la courbe, eft nommé le fommet de ce diametre, il fuffit qu'il en coupe deux differentes par la moitié, pour les couper toutes. Quand le diametre eft coupé perpendiculairement par les ordonnées, on l'appelle l'axe de la courbe; la ligne droite donnéep dans les équations px, y: = x x d―x, d ayy =xx dx, s'appelle le parametre du diametre qui est la ligne des coupées x dans l'équation. Dans l'ellipfe & dans l'hy- FIG. XVII. perbole les diametres fe croifent dans un point K qu'on appel- & XVIII. le le centre. Dans l'une & dans l'autre le diametre Dd qui eft parallele aux ordonnées, s'appelle le fecond ou le diametre conjugué du premier diametre Aa qui les coupe chacune par la moitié, & on les appelle conjugués l'un de l'autre. Une ligne qui touche une courbe dans un feul point, comme CS, XX XXI. s'appelle la tangente en ce point là qui s'appelle le point touchant ; & la partie de la ligne des coupées comme BS, qui eft interceptée entre l'ordonnée BC du point touchant C, &

Tome 11.

H

FIG.XIX.