DE L'ANALYSE, O U LA MANIERE DE L'APPLIQUER PREFACE › QUI EST UN EXTRAIT DU VIIF LIVRE ou fecond Volume, fur l'ufage de l'Analyse dans la Geometrie, & dans les Sciences Phyfico-Mathematiques. E huitiéme Livre contient les ufages de l'Analyfe que l'on a expliquée & démontrée dans les fept premiers Livres. Les Lecteurs qui commencent, y verront les utilités de l'Analyfe, & la maniere d'en appliquer les methodes à découvrir les proprietés des figures de la Geometrie fimple & compofée, & à réfoudre les Problêmes de ces Sciences, & les Problêmes des Sciences Phyfico-Mathematiques. Ils y apprendront auffi les nouveaux calculs differentiel & integral, qui fervent principalement à la connoiffance des lignes courbes. Pour les faire concevoir clairement, il falloit auparavant faire connoître la maniere dont l'Analyse réduit les lignes droites & courbes à des équations; que ces équations expriment les principales pro prietés, &, pour ainfi dire, la nature des lignes courbes; & tirer de là l'idée qu'on doit fe former de toutes les courbes. Ce huitiéme Livre eft divifé en trois Parties. Les ufages de l'Analyse, en n'employant que le calcul ordinaire de l'Algebre, font expliqués dans la premiere. La feconde contient le cacul differentiel, & les usages qu'en fait l'Analyse. On fait découvrir dans la troifiéme, par le moyen de l'Analyse, les regles du calcul integral, & l'on fait voir enfuite les ufages qu'elle fait de ces regles. PREMIERE PARTIE. Sur l'usage de l'Analyje, en n'employant que le calcul ordinaire de l'Algebre. N fait voir dans la premiere Section, que l'Analyse reprefente les lignes & les figures de la Geometrie par les lettres de l'Alphabet, & tous les rapports fimples & compofés que peuvent avoir ces lignes & ces figures par le calcul de ces lettres; & que par confequent les lignes & les figures font les valeurs geometriques des expreffions litterales, & les rapports de ces lignes & de ces figures font comme les objets reprefentés par les calculs de l'Analyse; Cela doit faire appercevoir aux Commençans l'ufage de l'Analyfe dans la Geometrie, & leur faire concevoir tout l'artifice des Methodes qu'elle donne pour en réfoudre les Problêmes, qui confifte en ceci. Elle represente par des lettres differentes les grandeurs inconnues que l'on cherche, & les grandeurs connues ou données dans chaque Problême; elle trouve par le calcul les équations qui expriment les rapports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, lefquels rapports font les conditions qui déterminent la nature du Problême: Elle découvre les grandeurs inconnues en les feparant des grandeurs connues, & faifant en forte, par des calculs re glés, que les lettres des inconnues deviennent égales à des Lettres des feules grandeurs connues jointes enfemble par l'addition, ou la fouftraction, ou la multiplication, &c & c'est là la réfolution analytique du Problême. Pour avoir la résolution geometrique qu'elle reprefente, l'Analyfe employe la Geometrie, & elle fait tracer les lignes & les figures qui ayent entr'elles les rapports & les proportions exprimées par la résolution analytique ; ce qui donne les lignes & les figures qui font la réfolution geometrique du Problême. L'art qu'on vient d'expliquer eft mis en pratique danstout ce huitiéme Livre. Pour commencer par les chofes les plus faciles, on l'employe dans la premiere Section à découvrir les proprietés des triangles rectangles confiderés feuls, & enfuite dans le cercle; & à trouver par ces proprietés la réfolution geometrique des équations du second degré, c'est à dire, les lignes qui font les valeurs de l'inconnue de ces équations. Pour faire voir l'utilité de l'Analyfe dans les Sciences Phyfico-Mathematiques, on l'employe dans la feconde Section à découvrir la réfolution des Problêmes de l'art de jetter des bombes, & de ceux qui font fur les centres de pefanteur & d'ofcillation; ces derniers fervent à donner la jufteffe aux horloges. Les Commençans pourront déja voir dans ces deux premieres Sections le parfait accord de l'Analyse avec la Geometrie & avec la nature même. Car lorfque l'Analyfe exprime le Problême qu'on veut réfoudre par une équation du fecond degré, & qu'elle donne deux valeurs pofitives de l'inconnue que l'on cherche dans le Problême, la résolution geometrique fournit auffi deux lignes differentes reprefentées par ces valeurs: dans les Problêmes de l'art de jetter les bombes, il y a deux inclinaifons du mortier reprefentées par les deux valeurs analytiques, qui font propres à lui faire jetter la bombe par une même force de poudre à l'endroit où on la veut faire tomber; & dans les Problêmes fur le centre d'ofcillation d'un pendule compofé, il y a deux endroits dans le pendule, qui répondent aux deux valeurs analytiques, propres à placer la lentille, pour faire que les vibrations du pendule marquent les fecondes. Quand les |