Or, comme la pefanteur donne à un corps libre, dans une feconde de temps, une viteffe à parcourir 30, 2 pieds, uniformément, par feconde (203); il fera donc toujours facile de déterminer quelle vîteffe acquiert, dans la premiere feconde de fa chûte, un corps qui tombe le long d'un plan incliné. Par exemple, fi la longueur du plan, eft double de la hauteur, la vi teffe acquife le long de ce plan pendant la premiere feconde, fera la moitié de 30, 2 pieds; c'eft-à-dire, qu'au bout d'une feconde fi la pefanteur ceffoit d'agir, le corps parcourroit 15, 1 pieds, à chaque feconde. Ayant ainsi déterminé la vîteffe pour la premiere feconde, on aura la vîteffe après tel nombre de fecondes qu'on voudra, en multipliant celle-là par le nombre de fecondes; & l'efpace, en multipliant cette même premiere viteffe, par la moitié du quarré de ce nombre de fecondes (197). En un mot, il fera facile de déterminer toutes les autres circonftances de ces mouvements, par ce qui a été dit ( 194 & fuiv.). De ces principes, on déduit avec facilité les própriétés fui vantes. 458. Si deux corps pefants partis en même temps du point D (Fig. 34) defcen 'dent, l'un le long du plan DE, l'autre le long de la verticale DF, & que l'on veuille favoir à quel endroit du plan DE, le premier eft arrivé, lorfque le fecond eft en un point quelconque A; il n'y a autre chofe à faire qu'à mener AB perpendiculaire fur DE; le point B fera le point cherché. En effet, fi on repréfente par p, la vîtesse que la pefanteur donne à un corps libre en une seconde de temps, on aura (205) en nommant le temps néceffaire pour tomber le long de DA, DA=2. D'un autre côté t 2 (457) la vîteffe qu'acquiert en une feconde, le corps qui tombe le long de DE eft PXD F ; donc en nommant T le temps nécef DE faire pour tomber de D en B, on aura (197) DB= PXDF T PDF T DE X ; 2 donc DA: DB::: 2 x:: DExt: DF x T ; mais DE 2 DA: DB:: DE: DF; donc DÈ : DF:: DExt:DFxT'; donc T=t, ou T=t. 459. Donc fi DG (Fig 35) eft un troifieme plan parcouru par un troifieme mobile parti du point D en même temps que les deux autres; en menant du point A la perpendiculaire AC, les points A, B, C font ceux où ces trois mobiles arrivent en même temps. 460. Si fur DA comme diametre, on décrit une demi-circonférence; elle paffera (Géom. 65) par les points C & B, puifque les angles C & B font droits. Donc les cordes DC, & DB font décrites dans le même temps que le diametre vertical AD; & comme ceci ne dépend point de la longueur ni de l'inclinaifon des cordes, on peut dire généralement que le temps de la chûte par la corde quelconque d'un cercle, tirée de l'extrémité du diametre vertical, eft le même que le temps de la chûte par ce diametre vertical. PXD F DE 461. Nous venons de voir (457) que p étant la vîteffe que la pefanteur donne, dans une feconde de temps, à un corps libre, eft celle qu'elle donne, dans le même temps, au corps qui fe meut le long de DE. Soient t & T les temps néceffaires pour décrire DF & DE; on aura D F= P_ & DE pxDF T DEX; donc DF: DE:: P2. PXDF T xD DE X <; donc 2 2 2 DF2 DEXT' 2 2 DExt2, ou DFxT2=D Ext2, ou DFxT=DExt; donc t: T:: DF: DE. C'eft-à-dire que les temps néceffaires pour arriver à différents points F&E de l'horisontale F E, en par Courant des plans de même hauteur, font entre eux comme les longueurs de ces plans. 462. La viteffe du corps qui tombe le long de DF, eft pt, au bout du temps t. Par une femblable raifon, celle du corps qui tombe le long de DE eft XD ×T, au DE F bout du temps T; donc fi on nomme u & v les vîteffes acquifes en arrivant en F & E, on aura u v : : p t : DF PX DF DE T, donc pv t = pux T. Mais nous venons de donne t= DE DFXT DE voir (461) que t:T:: DF: DE, ce qui ; fubftituant cette valeur de t t, & réduifant, on a vu. Donc fi plufieurs corps décrivent des plans différemment inclinés, mais de même hauteur ; ils auront la même vitesse, après avoir parcouru des parties de même hauteur, chacun fur fon plan. Du Mouvement le long des furfaces courbes. 463. Si un corps fans pefanteur & fans reffort parcoure, en vertu d'une impulfion primitive, les côtés fucceffifs AB, BC, &c. (Fig. 36) d'un poligone quelconque; à la rencontre de chaque côté, il perdra une partie de fa vîteffe que l'on déterminera de la maniere fuivante. Concevons qu'il fe meuve actuellement de A vers B, & que lorsqu'il eft en B, fa vîteffe foit telle que dans un temps déter miné, comme d'une feconde, il décriroit la ligne BF fur AB prolongée, s'il étoit libre. Ayant élevé au point B fur BC la perpendiculaire BE, on imaginera le parallelogramme rectangle BDFE dont BF foit la diagonale, & dont les côtés foient fur BC & BE : & au lieu de concevoir que le corps a la vîteffe BF, on imaginera qu'il a, tout enfemble, les deux vîteffes BD & BE; or comme le côté BC l'empêche d'obéir à la vîtesse BE il eft clair que fa vîteffe fera réduite à BD. Si du point B comme centre, & du rayon BF, on imagine que l'on ait décrit l'arc FI; DI qui eft la différence entre BF & BD, fera donc la viteffe perdue: or DI eft le finus. verfe de l'arc FI ou de l'angle FBC que font les deux côtés contigus AB, BC. Done tant que ces deux côtés feront un angle fini, le corps perdra une partie finie de fa vîteffe, à la rencontre de chaque côté. 464. Mais fi l'angle que forment ces deux côtés, eft infiniment petit; la vîtesse perdue, non feulement ne fera pas une quantité finie; elle ne fera pas même infi |