Du Mouvement d'Ofcillation. 469. Nous venons de voir (467) qu'un corps pefant après être defcendu par l'arc quelconque de courbe AB, doit (abstraction faite de la réfiftance de l'air, & du frottement) remonter à pareille hauteur dans la courbe quelconque BA' qui auroit au point B la même tangente horisontale que BA. Donc ce corps retombant ensuite, parcourroit en fens contraire toute l'étendue A'BA; & feroit confécutivement des allées & des retours qui ne finiroient jamais. Ce mouvement eft, ce qu'on appelle, un mouvement d'ofcillation. Nous venons de voir ce qu'il y avoit à faire en général, pour déterminer la durée de chaque ofcillation qui doit, évidemment, être le double du temps de la chûte par l'arc AB, BA' eft la même que BA. fi Lorfque la courbe le long de laquelle le corps defcend, eft un cercle, & qu'en même temps les ofcillations fe font par de petits arcs, elles ont cette propriété remar quable & importante, que leur durée ne dépend pas de l'étendue de l'arc AB (Fig. 40); enforte que l'arc AB étant petit, (comme de 4 ou 5 degrés au plus), le mobile arrivera toujours en B dans le même temps, foit qu'il parte du point A, foit qu'il parte de tout autre point O pris entre A & B. Voici comment on peut s'affurer de cette propriété. En confervant les mêmes dénominations que ci-deffus; & nommant a, le rayon BC, du cercle BAD; nous aurons, par la nature du cercle, yVax-xx. D'où l'on conclura aifément que l'are Mm, ou ds, ou√dx2+dy1ý eft Ꮴ, 2 ax XX comme l'arc BM eft petit, enforte que x eft petite à l'égard de a, on doit, pour exprimer cette condition, fupprimer xx, adx vis de 2ax ce qui donne ds = Mais vis-à Ꮴ, ad x Vzax a dx pVbx-xx adx √2pb-2px - adx Vap. V bx XX Or de même que exprime l'élément d'un arc de cercle dont le diametre eft 2a, de même exprime l'élément d'un arc de bdx cercle dont le diamètre feroit b, & l'abf ciffe x. Mais la ligne BZ étant b, si sur BZ comme diametre on décrit le demi-cercle BM'Z, alors M'm' fera cet élément; en bdx forte qu'on aura M'm'= d(BM'); Vbx-xx valeur dans celle de dt, on a dt = va -d(BM); & en intégrant, ¡—C—V = × b = Р P BM b Il ne s'agit donc plus que de déterminer la conftante C. Or il eft facile de voir que lorfque to, c'eft-à-dire, quand le corps part du point A, l'arc B M' devient la demicirconférence B M'Z; donc o=C—√ 2x P P b b X BM'Z P là l'expreffion du temps employé à parcourir l'arc quelconque AM; temps qui eft fuppofé compté en fecondes. Mais lorsque l'arc AM devient l'arc A B, c'est-à-dire, au bout de la demi-oscillation, l'arc Z M'devient ZM'B; on a donc en nommant T la durée de la demi- ofcillation, diametre à la circonférence d'un cercle, on a_1 : c : : b : 2 Z M'B, & par conféquent =c; donc T=√xc, ou.. 2 Z M'B b. a T=cV. C'est-là l'expreffion de la durée d'une ofcillation entiere. Et comme cette quantité ne renferme point b, qui détermine la hauteur d'où le corps eft defcendu, & par conféquent l'étendue de l'excurfion AB, il s'enfuit que le temps T nedépend nullement de l'étendue de l'arc, tant que cet arc eft petit. Donc les ofcillations qui fe font dans de petits arcs de cercle, font fenfiblement isochrones; c'efl-à-dire, de même durée. Cette propriété a également lieu pour les petits arcs de toutes les courbes, dans lefquelles le rayon de la développée,, au point le plus bas, n'eft pas nul. Parce que ces arcs fe confondent avec ceux du cercle qui en mesure la courbure (80). Si l'on veut connoître l'erreur que l'on peut commettre en prenant cette valeur de T pour la durée d'une ofcillation dans le cercle: voici comment on le trouvera. Reprenons la valeur trouvée ci-deffus pour ds, savoir ; réduifons-là en férie (Alg. 149), mais, adx V2ax-xx jufqu'au troifieme terme feulement, ce qui eft plus que fuffilant pour notre objet. Nous aurons ds = adx dans la valeur de d 3 x 2 ds 32a2 fubftituang & réduifant, om Comme nous favons déja quelle eft l'intégrale du premier terme, bornons-nous à chercher celle des deux derniers, & repréfentons la part; nous aurons donc d'=-V a P dx 3x dx + 4a 32 a a Pour avoir l'intégrale de cette équation, j'ai recours à ce qui a été dit (128); c'est pourquoi j'écris '- V· ( 4 x 3 + B x 3 ) ( b − x ) 3 — ¦ v — Scx ̄ = dx (b-x) ̄ + C. X a P Je détermine les coefficients A, B, C felon ce qui a été enfeigné (129), & je trouve A 3 , 6442 I 9 b B= == -- 4a 128a29 Pour déterminer la conftante €, on observera que quand, on doit avoir t'o, & que l'arc B M' devient alors B M'Z; fubftituant donc, on aura o-√ 252 a2 + C. Subftituant la valeur de C que donne cette équation, dans la valeur de ', faifant |