la longueur du pendule à fecondes dans un lieu quelconque. Ayant fufpendu à un fit de métal très-délié, un corps qui fous un petit volume renferme beaucoup de matie-. re, comme une balle de plomb, de cuivre, d'or, &c. on donnera à ce fil une lon-. gueur de trois pieds au moins, & que l'on mefurera très-exactement. On fera ofciller ce pendule, en l'écartant peu de la verticale, & l'on comptera le nombre d'ofcillations qu'il fera dans un temps déterminé & bien conftaté (je fuppofe ici que ce soit une heure); après quoi on fera cette proportion: 3600, nombre des ofcillations que doit faire le pendule cherché, eft au nombre d'ofcillations obfervées, comme la ra cine quarrée de la longueur du pendule d'obfervation, eft à un quatrieme terme qui fera la racine quarrée de la fongueur du pendule à fecondes; ainfi, en quarrant on aura cette longueur. C'eft ainfi, qu'on a déterminé que te pendule fimple qui fait fes ofcillations dans une feconde, doit la latitude de Paris, avoir 3Pi. opo. 8, 57. Cette mesure a été déterminée par plusieurs expériences faites avec un très-grand foin.

477. Il eft facile, maintenant, de déterminer de combien doit tomber dans la premiere feconde de fa chûte, un corps à

acc

TT

qui l'air ne fait pas de réfiftance fenfible dans cet intervalle de temps. En effet, l'équation T=cV, donne p= ; va leur dans laquelle p repréfente la vîteffe qu'un corps pefant acquiert dans la premiere feconde de fa chûte, & qui (196) eft le double de la hauteur dont il tomberoit dans ce temps; a eft la longueur du pendule qui fait fes ofcillations dans le temps T; en forte que fi pour T, nous mettons une feconde, a doit être de 3P OP 81, 57 ou 4401, 57. Enfin, c eft le rapport de la circonférence au diametre, & vaut par conféquent ; donc (35) × 440, 57, quantité qui vaut 4348, 125146, & qui réduite en pieds, eft de 30P, 19619; donc l'efpace décrit par un corps pefant, dans la premiere feconde de fa chûte, eft de 15,09809; c'est ce que nous avions promis (203) de faire voir.

35.5

113

478. Si l'on appelle t le temps qu'il faudroit à un corps pefant defcendant librement, pour parcourir le diametre BD ou 2a (Fig. 40), on aura (205), 2a= ; donc v Subftituant cette valeur dans l'équation

2

a

P

to

ct, ou T÷ct

T:t::

Ι

c: 1; c'est - à - dire,

que la durée de la chûte par le petit arc quelconque AB eft au temps de la chûte par le diametre, comme le quart de la circonférence eft au diametre. Or le quart de la circonférence eft plus petit que le diametre; donc un corps emploie moins de temps à tomber par un petit arc de cercle dont la tangente inférieure eft horisontale, qu'il n'en emploieroit à tomber le long du diametre. Et puifque (460) le temps de la chûte par le diametre, eft le même que celui de la chûte par la corde quelconque AB; on voit donc qu'un corps arrivera plutôt de A en B, en tombant par l'arc AB, qu'en tombant par la ligne droite AB. Ainfi la ligne droite eft bien le plus court chemin, mais elle n'eft pas toujours le chemin qui exige le temps le plus court,

De la ligne de la plus vite defcente.

479. Non feulement ce n'eft pas par la ligne droite, qu'un corps pefant arrive le plus promptement d'un point à un autre ce n'eft pas non plus par l'arc de cercle. C'est par un arc d'une autre courbe qu'on trouvera, en cette maniere.

Concevons que AMR (Fig. 42 ) eft la courbe cherchée; celle par laquelle un corps pefant arrivera le plus promptement du point donné A, au point donné B. Si lon prend deux points infiniment voifins M & m' fur cette courbe, l'arc Mm' doit auffi pouvoir être parcouru en moins de temps que tout autre arc paffant par les deux mêmes points M & m, puifque ces deux points peuvent être pris pour les

deux points donnés. Ayant pris un point N infiniment plus près de Mm' que M ne l'eft de m', concevons les deux petites droites MN & Nm'; puifque le temps par Mm m' doit être un minimum, il faudra que la différence entre le temps par Mmm', & le temps par MNm' qui eft la différencielle du temps lorfqu'on paffe d'un arc à l'au tre, foit zéro.

Par les points M, N, m' menons les horisontales MP, mp, m'p'; & concevons la verticale AC. Nommons AP, x; PM, y; AM, s. Et fuppofons Mmmm', c'eft à-dire, ds conftant. Nous aurons mrdx; rM=dy; mr'=dx+ddx, 'm'dy+ddy. Soit a la viteffe pendant que le corps décrit Mm; u fera auffi (462) la viteffe avec laquelle MN eft décrit; & u+du fera celle avec laquelle mm' & Nm' seront décrits. Donc le temps par Mm, fera ; & le temps ds par mm', sera –

u + du

ds

Des points M & m' comme centres, & des rayons MN, m m' décrivons les arcs Nn, mt. En comparant les triangles Nmn, Nmt, aux triangles Mmr, mm'r, on aura dy+ddy

nm Nm x

dy

& Ne Nm x

ds

MNds Nmx x2/2, & Nm' = ds+ Nm ×

dy ds

Donc

dy+ddy

Donc le temps par MN, fera

ds ; & le temps

On aura donc

'ds

u+dy

น

)=

dy

ds

ου

C

Cdy uds. Mais (466) puifque la viteffe u eft la mêm que celle que le mobile auroit acquife en tombant de la hauteur AP, on a uu=2px; donc Cdy=ds√2px; & C2 dy2 = 2 p x d s2 = 2 px (dx2 + dy2), d'où l'on d x V z px

tire dy =

2

=C,

Pour déterminer la conftante C, on obfervera que lorfque Ꮴ 2pxC, on a dyds; donc fi l'on appelle Vla viteffe que le corps aura au point où V2 px = l'équation Cdy-uds, eft alors Cds=Vds, qui donne C= V. Et fi l'on appelle b, la hauteur correfpondante AC, on dx V x px

a VV2pb, donc CC-2 pb. Donc dy:

d x V x

2pb-2px

équation de la courbe: mais pour

Véquation

budy=√
ou dy = √b-x

mieux reconnoître cette courbe, donnons une autre forme à cette équation.

Imaginons, par le point R où dy-ds, la verticale RD; & ayant prolongé F M, en O, nommons AD, a; OR, *'; OM, y'. Nous aurons xb—x',y=a—y'; dx——dx'; dy=—dy';

fubftituant ces valeurs > on a dy'

dx' V (b − x')

Vx

bdx'

Donc

y' =C'+V b x' —' x'x+S,

Vbx'-x'x'

Concevons que fur DR, ou b, comme diametre, on ait décrit le demi-cercle D E R. On aura OE=bx—x'x',

OM COE +RE.

; on a donc en général

Pour déterminer la conftante C'; il faut remarquer que lorfque xo, on doit avoir y'o. Donc puifqu'alors OE &RE deviennent zéro; on a Co. Donc OM=OE+RE;

donc