485. Un corps qui fe meut en ligne courbe, peut donc à chaque inftant, être confidéré comme fe mouvant fur la tangente au point où il fe trouve, & si la force qui le détourne à chaque inftant, ceffoit d'agir, il perfévéreroit à fe mouvoir fuivant cette tangente.

486. On appelle, en général, force centrale, la force qui détourne le corps, à chaque infant, pour lui faire décrire une ligne courbe. Si en considérant le mouvement par rapport à un point fixe, la force tend à approcher le corps de ce point, on l'appelle force centripete; & au contraire on l'appelle force centrifuge, lorfqu'elle tend à l'éloigner de ce point.

487. Puifqu'un corps qui décrit une ligne courbe, cefferoit de la décrire, & pourfuivroit fon mouvement fuivant la tangente, fi la force centrale ceffoit d'agir; on voit donc qu'à l'égard du point quelconque A (Fig. 45) pris du côté de la concavité, le mobile M, en vertu de fon mouvement fur la courbe, a véritablement une force centrifuge, puifque tendant à fe mouvoir fuivant MT, il tend à s'éloigner du point A, vers lequel il ne peut être ramené que par l'action de la force centrale.

Du Mouvement dans le Cercle.

488. Pour qu'un corps A libre & fans pefanteur (Fig. 46) frappé fuivant la direction quelconque PA puiffe décrire un cercle, en vertu de la vîteffe imprimée & d'une force conftamment dirigée au point fixe C; il faut d'abord que la direc tion PA foit perpendiculaire à la ligne AC qui joint le point A de départ, & le point C. Mais cette condition ne fuffit pas; il faut encore que la vîteffe imprimée, ait

une certaine mesure.

Suppofons que la ligne infiniment petite AB foit l'efpace qu'il auroit décrit dans un inftant fans l'action de la force centrale; & que (483) la ligne infiniment plus petite AD, marque l'efpace que la force centrale agiffant fans interruption, lui feroit décrire dans ce même inftant. Comme AB eft infiniment petite, on peut regarder la force centrale, comme agiffant fur le mobile, parallélement à AD; donc fi l'on mene Bb parallele à AD, il faut que la vîteffe AB foit telle que la quantité Bb dont elle auroit écarté le corps, foit égale à celle AD dont la force centrale peut le ramener. Voyons donc, comment par cette condition, on peut déterminer le

rapport de la force centrale, à la vîteffe imprimée.

Prolongeons le rayon AC jufqu'à ce qu'il rencontre, en E, la circonférence. Par la nature du cercle, on aura Db'—AD×DE. Mais puifque AB eft infiniment petite DE doit être regardée comme égale à AE ou 2CA, on a donc D b2 ou A B2 = A D × 2 CA.

Repréfentons par la vîteffe imprimée ; alors (210) nous aurons AB=V dt. Donc ¥3d r2—A B2— A D x 2 C A.

==

2

Repréfentons par g,

la vîteffe que la force centrale feroit naître, en une feconde de temps, dans un mobile foumis à fon action feule répétée également à chaque inftant. Alors (197) l'efpace qu'elle fera décrire pendant l'instant dt, fera dr. On aura

2

g

2

g dr2

; donc Vdt — X

2

donc AD 2 CA ou V2=gxCA. Soit à la hauteur d'où un corps pefant devroit tomber pour acquérir la viteffe ; & p la vîteffe que la pesanteur donne dans une feconde; on aura V=2ph (207). Donc 2 ph=g× CA; ce qui donne g:p:2h: CA::h: CA; c'est-à-dire, que pour qu'un corps libre &

fans pefanteur décrive une circonférence de cercle d'un rayon déterminé, en vertu d'une force dirigée à fon centre, & d'une viteffe primitivement imprimée; il faut que la force centrale foit à la pesanteur, comme la hauteur d'où un corps pefant devroit tomber pour acquérir la vîtesse imprimée, eft à la moitié du rayon. Ainfi, fi la vîteffe imprimée, & la force centrale n'ont point entr'elles le rapport néceffaire pour cela, le corps ne peut décrire une circonférence de cercle. Mais fi ce rapport a lieu, le corps décrira l'arc Ab.

489. Puifque la force centrale eft dirigée au centre C, elle eft perpendiculaire à l'arc; elle ne tend donc ni a augmenter, ni à diminuer la viteffe du corps. Donc lorfque le corps fera arrivé au point b, il fe trouvera à l'égard de la force centrale, dans les mêmes circonftances qu'au point A. D'où l'on conclura que fi un corps décrit une circonférence de cercle, en vertu d'une force dirigée au centre, & d'une vîtesse imprimée ; Sa viteffe eft uniforme, & la force centrale eft conftante. 490, Si le corps n'eft pas libre; fi, par exemple, le corps A (Fig. 47) eft retenu au point fixe C, par le moyen d'un fil inextenfible, ou d'une verge. Alors si on lui

donne une impulfion fuivant quelque direction que ce foit, tendante à l'écarter du centre, il décrira néceffairement la circonférence qui a CA pour rayon; & voici comment on doit concevoir que fe paffe ce mouvement. En quelque point A que le corps foit arrivé, il tend à fe mouvoir fuivant la tangente AB (485). Puis donc qu'il ne peut fuivre ce mouvement, il faut (318 que celui-ci fe décompofe en deux autres l'un Ab fuivant la circonférence, & qui fera celui qui aura lieu; & l'autre AD qui foit détruit; il faut donc que ce dernier foit dirigé fuivant CAD, pnifqu'il n'y a que la réiftance du point fixe pour le détruire. Le mouvement fe paffera donc comme dans le cas précédent, avec cette différence feulement que la force centrale, au lieu d'être centripete, eft centrifuge. Ainfi tout ce que nous avons dit du premier cas, lieu pour celui-ci ; c'est-à-dire, 1°, que le mouvement fera uniforme; 2°. que la force centrifuge fera la même en chaque point de la circonférence, ou que le fil fera conftamment tendu avec la même force. 3°. Que la force centrifuge, fera à la pefanteur comme la hauteur d'où un corps péfant devroit tomber pour acquérir la vîteffe actuelle du mobile A, est à la moitié du rayon CA.

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