tion qui s'intégre exactement lorfque MM, dans tout autre cas, elle dépend des logarithmes, ou des arcs de cercle, felon que M' eft plus petit ou plus grand que M; c'est ce que l'on verra aisément en rendant le fecond membre rationel. Il n'y auroit de différence que pour l'intégration, fi au lieu de fuppofer que la preffion eft conftante, on exigeoit qu'elle variât fuivant une loi donnée. Alors feroit M' Μ' M , une quantité variable, dont la loi feroit donnée. Par exem- & l'on intégreroit. M M' - M Du Mouvement des Projectiles. 498. Par Mouvement des Projectiles nous entendons celui que prennent les corps qui ayant été lancés avec une force quelconque, font enfuite abandonnés à l'action de leur pefanteur, & à la fiftance du fluide qui remplit l'efpace, ou le milieu dans lequel ils fe meuvent, lorfque ce milieu eft occupé par un fluide. Voyons d'abord quelle feroit la courbe que décri roient les projectiles, fi le milieu dans le quel ils fe meuvent, ne réfiftoit pas. Imaginons donc qu'au point A (Fig. 53) on ait lancé un mobile fuivant la direction AZ, & avec une vîteffe quelconque. Si la pefanteur n'agiffoit pas, il fe mouvroit uniformément fur la droite AZ. Mais comme la pefanteur agit fans interruption, il ne fera fur la droite AZ que pendant un temps infiniment petit, & décrira, au lieu de AZ, une ligne courbe ABC dont AZ fera tangente au point A, puifque AZ eft une des directions inftantanées, du mobile. Pour déterminer la nature de cette ligne courbe, je fuppofe que AE eft la vîteffe imprimée, ou le nombre de pieds que le mobile décriroit par chaque feconde s'il confervoit toujours cette vîteffe; & au moment où il part du point A, je conçois cette vîteffe compofée de deux autres, l'une AD horifontale, & l'autre AFverticale. Il eft clair que la direction de la pefanteur étant verticale ou perpendiculaire à AD, l'action de la pefanteur ne tend ni à diminuer ni à augmenter la vîteffe AD; que par conféquent, quelque part où fe trouve le mobile dans la fuite de fon mouvement, il confervera conftamment une même vîteffe parallélement à l'horifon. Quant à la vîtesse fuivant AF, lorfque le mobile en vertu de fa vîteffe conftante parallèlement à l'horifon, fe trouvera s'être avancé d'une quantité 1 égale à AP, il ne fe trouvera pas élevé à une hauteur P N égale à celle où il feroit arrivé fans l'action de la pefanteur, mais à quelque point M plus bas, dans la même ligne verticale PN; parce que fa vîteffe dans le fens vertical étant directement contraire à celle de la pefanteur, l'efpace qu'il décriroit en vertu de cette vîtesse verticale, doit être diminué de tout ce que l'action de la pefanteur pourroit faire décrire à un mobile, en pareil temps. Nommons donc la vîteffe imprimée. fuivant A Z, ou le nombre de pieds que le projectile décriroit uniformément, à chaque feconde, en vertu de cette vîteffe; & t le temps, ou le nombre de fecondes ou de parties de feconde qu'il emploieroit à venir de A, au point quelconque N. On aura AN=Vt, (185). Soit p la vîteffe que la pefanteur donne P22 en une feconde de temps, fera l'efpace. 2 qu'un corps pefant décrira dans le nombre t de fecondes (197). Donc fi M eft le point où le corps arrive réellement au bout du temps, on aura NM-pt. Par le point A, menons la verticale AX & par le point M, la ligne MQ parallele à la tangente AZ; nommons AQ, x x, & 2p V2 Ꮴ QM qui eft égale à AN, y'. Nous aurons donc x'=pt', & y=Vt. Si de cette derniere équation on tire la valeur det, pour la fubftituer dans la premiere, on aura ou x'=y'. Mais (207) exprime la hauteur dont un corps pefant devroit tomber pour acquérir la vîteffe ; donc fi on appelle h cette hauteur, on aurah, & par conféquent = 4 h; donc 4hx'=y". Donc chaque point M. de la courbe AMC, a cette propriété, que le quarré de l'ordonnée y ou QM parallele à la tangente AZ, eft égal au produit de l'abfciffe AQ, par une ligne conftante 4h; donc (Alg. 366) la courbe AMC eft une parabole qui a pour diametre, la ligne verticale AX; qui a pour parametre, le quadruple de la hauteur dûe à la vîteffe de projection; & dont l'angle AQM que les ordonnées font avec ce diametre, eft le complément de l'angle de projection ZAC; donc connoiffant la vîteffe de projection & l'angle de projection, il fera facile de conftruire cette courbe, par ce qui a été 'dit (Alg. 367). 496. Examinons maintenant quelquesunes des propriétés de cette courbe confidérée comme la trace des projectiles; & pour cet effet, rapportons-en les différents points M, à la ligne horifontale AC, en menant MP perpendiculaire fur AC. Nommons AP, x; PM, y; a l'angle de projection ZAC. Dans le triangle rectangle APN, nous aurons 1: AN:: fin NAP: PN:: cof NAP: AP; donc PN=Vt fin a, & A P = Vt cof a; donc puifque MN=pt, ainfi que nous l'avons vu cideffus, on a PM-Vt fin a-pt'. On a donc x=Vt cofa, &y=Vt fina-pt. Tirant de la premiere, la valeur de t, & la fubftituant dans la feconde on aura, toute réduction faite, & en mettant fa valeur 4 h, 4 hy cof3 a = 2 pour, 4hx fina cofa- -xx, qui nous fournit les propriétés fuivantes. 497. Comme la vîteffe imprimée au mobile, ne peut avoir qu'une certaine mefure, fon effet dans le fens vertical, doit être épuisé au bout d'un certain temps, par l'action de la pefanteur; en forte qu'il y aura un terme où le corps ceffera de monter, pour defcendre enfuite; mais comme fa vîteffe horisontale n'est point altérée, lorfqu'il fera arrivé au point B le plus élevé, il décrira la feconde branche BC de la même courbe, & viendra rencon |