514. Si la résistance est nulle; on a pdt=➡d &o=-d (*), qui donnent pr≈ C dy di' d t dx & C'= d t Pour déterminer ces deux conftantes, fuppofons que AZ eft la ligne de projection; que l'angle ZAC foit a; & que la viteffe de projection foit ; on aura V cof a pour la viteffe horisontale initiale; & Vfin a pour la viteffe verticale initiale. Donc les conftantes C & C' doivent être telles que lorsque =o, on ait =V cofa & dx d t On a donc o C V. fin a, pt=V fina- -2/2, & V cosa = pr2, &x=Vt cofa; intégrales dy d t =V fin a. & CV cof a. Donc dx Donc y=Vt fin a — di auxquelles nous n'ajou tons point de conftantes, parce que y & x deviennent zéro dans cette équation lorfque to, lant h la hauteur dûe à la vîteffe V, y= cof a x2 4hcof1a équation qui eft abfolument la même que nous avons trou vée pour ce cas (496). 515. Que la réfiftance foit proportionnelle à la viteffe. On aura R gds dt , g étant une conftante. Alors nos deux dy équations deviennent g dy+p d t = - d (1/2), & gd x = - d (d) ; qui étant intégrées, dt donneront dy+gydi+pe de Cdt, & dx+gxdt = C'de, dont les conftantes C & C fe détermineront comme dans le cas précédent, en obfervant d'ailleurs que x & y font zéro lorf que to. Pour intégrer de nouveau ces deux équations, je les mul gt tiplie par e ;e étant le nombre dont le logarithme eft 1. en intégrant (147), j'ai ye 8' Pour déterminer les conftantes C" & C", on obfervera que J, & doivent être zéro en même temps. On aura donc C' C C' ; donc y = g g -( = + 1 88 C P P + - t; & x= e g g g gg g ; équations toutes féparées, à l'aide defquelles il fera facile de conftruire la courbe. 516. Suppofons enfin que la réfistance eft proportionnelle au quarré de la vîteffe, ce qui eft le cas le plus conforme à la nature. On a donc R d (14). Suppofons, pour plus de fimplicité, que dt foit conftant; & éliminons ds; nous aurons ddx ou g gV dy' 14 dx2 d x29 donne gd dx2 , ou en mettant dans le fecond membre (+), donne gd dont le fecond membre eft intégrable exa&te ment, & dont le premier l'eft en partie exactement, & en partie par logarithmes. On aura donc C Donc faifant dy dx a pour abfciffe z, dr = 8log. (1) + V 1+ dr.). d x2 z, on aura x en quarrant la courbe qui & pour ordonnée l'unité divifée par ce en quoi le change le dénominateur de la valeur de dx, lorf dy Enfin on aura y=fzdx. qu'on y met z au lieu de A l'égard du temps t, puisqu'on a p de'-dx d d ; or on a dx exprimé en dy dx• C'eft-à-dire, en z, P dratures. Enfin la vîteffe u ou quantité que l'on ramenera à ne renfermer que conftantes, en y mettant pour d l'équation de la courbe trouvée ci-deffus. fa valeur tirée de On voit donc que quoique la courbe que les projectiles décrivent dans les milieux réfiftants foit beaucoup plus compofée que la parabole, on peut néanmoins en déterminer tous les points, ou par le calcul, ou par des conftructions. Mais comme ces conftructions ne paroiffent pas pouvoir être ramenées à quelque chofe de bien commode dans la pratique, nous ne nous y arrêterons pas. Nous ferons seulement remar quer que ce que nous avons appellé g est ce que ( 431 ) nous n Ds avons représenté par ; & que ce que représente ici p, D' c'eft ce que (431) nous avons exprimé par (1-음) D quantité que l'on peut, fans erreur fenfible, fuppofer lorfqu'il s'agit de l'air, à moins que le mobile ne fût d'une matiere fort rare. Nous avons fuppofé qu'il ne se faifoit aucun vuide derriere le corps. Mais le corps en partant alloit affez vîte pour laiffer. un vuide, la réfiftance fuivant la tangente feroit augmentée de la preffion du fluide fur la partie antérieure du corps. De quelques autres Mouvements en ligne 517. Les forces que nous avons fuppofées agir fur le projecile, ont été fuppofées dans un même plan avec la direction de l'impulfion primitive. Tant que les forces font ainsi dans un même plan, on peut toujours, (227) en quelque nombre qu'elles foient, les réduire à une feule. Mais il eft plus commode de les réduire à deux (254) paralleles à deux droites données de pofition. L'exemple que nous allons en donner, fuffira pour faire voir comment on doit s'y prendre dans tous les cas. 518. Suppofons donc qu'un projectile ait été d'abord lancé fuivant une direction quelconque, & avec une viteffe quelconque. Qu'à chaque point m (Fig. 61) de la route qu'il fuit, il foit follicité par trois forces, l'une fuivant la courbe, la feconde dirigée à un point fixe C, & la troifime perpendiculaire à m C; toutes trois dans un même plan. Concevons que Mm eft l'arc infiniment petit que le corps vient de décrire pendant l'inftant dt, après un temps quelconque ; que me dirigée fuivant m M loit la viteffe que la premiere force peut imprimer pendant l'inftant dt; mk celle que la feconde peut imprimer pendant le même inftant; & enfin mg celle que peut donner la troifieme. Soient P, P', P" ces trois forces; c'eft-à-dire, les viteffes qu'elles engendreroient, en une feconde de temps, fi pendant chaque inftant de la durée de cette feconde, eles agiffoient de la même maniere qu'en m. Alors Pdt, P'dt, P"dt feront les vîteffes qu'elles engendrent pendant l'inftant dt; & l'on aura par conféquent, mc=Pdt, mk P'dt, mg=P'd t. 1 Imaginons qu'ayant tiré arbitrairement par le point C la ligne CA, on forme fur les lignes mc, mk, mg comme diagonales, les parallelogrammes que l'on voit dans la figure, c'eft-à-dire, qui ayent un de leurs côtés contigus parallele à AC, & l'autre perpendiculaire à AC. On pourra décompofer chacune de ces trois vîteffes, en deux autres, l'une parallele, & l'autre perpendiculaire à AC. Et les forces qui follicitent le corps, ou les vîteffes qu'elles tendent à lui imprimer, fe réduiront à deux, l'une parallele à AC&= mf+mh mds l'autre, perpendiculaire à AC, &=me + mbmn, laquelle tend à rapprocher le corps de AC. La vîteffe du mobile, parallélement à AC, recevra donc l'augmentation mf+m h md; & fa viteffe, pour s'élever au-deffus de AC, recevra la diminution memb➡mn. Mais tandis que le mobile s'avance fuivant Mm, il décrit parallélement à AC la ligne Mr; & perpendiculairement à AC la ligne rm; donc fi ayant pris arbitrairement le dx dy point fixe A, on nomme AP, x; PM, y; on a & dt d t pour la vîteffe parallélement à AC, & pour la vîteffe perpendiculairement à AC. Donc par la même raison, lorsque le corps décrira mm', les viteffes correfpondantes feront d x dy + d a(dx), & + dl d on aura donc d · (+) = Or fi l'on compare les triangles femblables mek, mp C, les triangles femblables mhg, mp,C, & les triangles femblables m bc, mr M, & que l'on nomme AC, c, & CM ou |