petit, parce que leur effort réfultant appro che d'autant plus d'être égal à leur fomme, De la Courbure que les cordes prennent par leur poids, & de la courbure des voiles par l'action du vent. 561. Lorfqu'une corde ou tout autre corps long & flexible prend une courbure par l'action de plufieurs forces quelconques appliquées à chacun de fes points, pour déterminer quelle peut être cette courbure, voici la route que l'on peut tenir. Regardant cette courbe comme un poligone d'une infinité de côtés, on en çonfidérera trois confécutifs, & fuppofant les forces appliquées aux angles, on décompofera celles qui font appliquées à un même angle, chacune en deux autres dirigées fuivant les deux côtés de cet angle. Alors la condition générale de l'équilibre, eft que pour chaque côté intermédiaire tel que bc (Fig. 81) la fomme des forces qui agiffent de b vers ca foit égale à la fomme de celles qui agiffent de c vers b. Suppofons qu'à chaque angle, il y ait deux fortes de forces appliquées; l'une perpendiculaire à la courbe, ou qui divife l'angle de deux cótés contigus, en deux parties égales; l'autre parallele à une droite donnée de pofition que nous prendrons pour l'axe des y. Soit pour le point b la force perpendiculaire à la courbe, =P1 & la force fuivant PbQ; & foient pour le point c, ces forces, PdP, & Q+dQ. Nommons Aqx; qa = y; abds. L'angle de contingence abe sera (77) exprimé ; ou bien puifque le rayon R de la développée (77) eft exprimé par ds divifé par cet angle de d x2 d ds par d s2 l'angle de contingence exprimé plus fimplement pa l'angle de contingence ked fera ds+dds R+dR rds Donc R Cela pofé, décompofons d'abord la force b fou P: en be & bg dirigées fuivant les côtés cb, ab. Nous aurons fingbe ou finabe: fin fbg:: F: be; donc en faifant attention que l'angle fbg eft droit, on a ds R décompofition & un raisonnement femblables pour le point c (P+dP) (R+dR) on trouvera ck= ds+dds Décompofons pareillement les forces Q ou bk ( Fig. 82) en deux autres fuivant bi & bl prolongements des côtés cb, ab. Nous aurons fin ibl ou fin abi: fin kbl ou fin abP:: Q: bi, ou On trouvera de même pour le dx ds QR dx d s2 ds R point c, finmch: fin men, ou fin pcd, ou fin (bcp+mcb): : Q+dQ: co. Or fin bcp+mcb)= fin bep cof mcb-+fin mcb cof bep ds+dds dy+ddy dx+ddx + parce que le (Q+-dQ) (dy+ddy) ds + dds R+d R ds + dds cofinus de mcb eft cenfé égal au rayon. Donc (Q+dQ) (R+dR) (dx+dix) Réuniffant donc les forces qui agiffent au point b ( Fig. 81); réuniffant pareillement celles qui agiffent au point c, & égaJant la fomme des premieres à la fomme des fecondes, on PR QRdx (P+dP)(R+d R) équation qui n'eft autre que celle-ci, (Q+dQ) (dy+ddv) ds + dds o, en rejettant, comme il convient, les infiniment petits des ordres inférieurs. 562. Pour faire connoître l'ufage de cette équation, suppofons d'abord qu'il n'y a point de forces paralleles aux y; c'est H à-dire, que Qo; & fuppofons que les forces P font toutes égales, ou, ce qui revient au même, qu'elles font proportionnelles à l'élément correfpondant ds; c'est-à-dire, Pads, 4 étant une conftante donnée. Notre équation générale fe réduira à d(a R) = 0; donc a R = C. Le rayon R de la déveJoppée, eft donc conftant; la courbe eft donc un arc de cercle, C'est-à-dire, que fi une corde ou une furface flexible & non pefante, eft tirée ou pouffée en chacun de fes points, par des forces égales, & qui lui foient perpendiculaires, elle prendra la figure d'un arc de cercle fi c'eft une corde, & la courbure d'une fphere fi c'eft une furface fermée de toutes parts. On voit par-là pourquoi les bulles d'air qui fe dégagent d'une liqueur graffe, prennent une figure fphérique : l'air intérieur en fe dilatant, preffe également & perpendiculairement tous les points de la furface. 563. Suppofons, en fecond lieu, que les forces perpendiculaires font nulles, & que les forces paralleles aux y, foient le poids même des éléments ab, bc, &c; c'est-à-dire, que P=0&Q= pds,p marquant la pefanteur fpécifique de la corde. Notre équation générale deviendra d pdy-o, dont l'intégrale eft Rdx ds (PRdA) + +py C. Pour détermi -py: ner la conftante C, on obfervera que lorsque yo, c'est-à dire, au point A (Fig. 83 ) l'équation te réduit à pRdx ds = a Or le premier membre de cette équation exprime la tenfion de la corde en A; donc fi on fuppofe cette tenfion équivalente Rdx au poids pa, on aura C=pa, & par conféquent +y=ai -- R ds Remettons pour fa valeur dx2 d s2 =-dxd (1/3) dx2 + dy' Multiplions chaque membre par - d y, & intégrons, nous au xons 1 (a− y) = ÷ 1 ( 1+ dy2 dx2 +C, ou (a-y)' ds ds tenfion de la corde au point o le plus bas; donc fi on appelle b cette tenfion, on aura C=b, & par conféquent bb ¿ (2x2+dy2), d'où l'on tire dx= 土 (a − y )2= bdy V (any)2-bb équation dont l'intégrale eft x=bl (a-y+V (a− y)2 -b b) +IC". Or fi nous fuppofons que le point A origine des x eft fur la courbe, il faut que lorfque y fera zéro, la premiere valeur dex devienne zéro; on a donc oIC'- bl ( a +V aa-bb); donc enfin x = bl(a÷Vaa-bb)=bla-y+V (a− y )2-bb ) qui donnera facilement tous les points de la courbe lorfque a & b feront donnés. = ou Si l'on donnoit le poids de la corde, ou feulement fa longueur, & que la corde dût être fixée en deux points donnés A & B (Fig. 83 ); alors il faudroit que lorfque x AD, eût y DB, & que lorfque x = :AD &y= DB, on eût la longueur AOB (qui eft facile à déterminer par l'équation & par la formule ordinaire de rectification) égale à la longueur donnée. Ces deux conditions donneront deux équations pour déterminer a & b. Mais quoique de l'une des deux il foit facile de conclure la valeur de a en b, on ne pourra cependant avoir b, à l'aide de la feconde, que par une forte de tatonnement, à caufe des quantités logarithmiques qui y entrent. 564. Propofons-nous, maintenant, de trouver la courbure que prend une voile enflée par le vent, en fuppofant 1°, que cette voile eft rectangulaire; 2°. que fes deux bords oppofés fupérieur & inférieur forment toujours chacun une ligne droite, 3°. que les particules d'air arrivent dans des plans perpendiculaires à ces deux lignes droites; 4°. que ces mêmes particules s'échappent à mesure qu'elles ont fait leur choc. En vertu de ces fuppofitions, toutes les coupes de la voile, faites parallélement au mouvement des particules d'air, feront abfolument les mêmes, & il fuffit d'en confidérer une feule; c'eft-à-dire, de fe conduire comme s'il s'agiffoit d'une corde ou d'un fil follicité par les mêmes forces. Si on néglige la pefanteur de la voile, on aura Qo;& felon ce qui a été dit (406) les forces P feront exprimées par mds x dx2 ds' m étant une quantité connue dépendante de la viteffe du fluide & de fa denfité. La fuppofition que Q➡o, réduit notre équation générale PR ds = o, qui donne — =C, & fait voir que la ten➜ eft par-tout la même. Subftituant pour P & pour ds leurs valeurs, on a mds ds R C; ou bien, fuppofant la tenfion C exprime par mb, on a -"d ds (÷)=; multipliant par dy & inté➡ & par conféquent bdy V(a-y)2-bb équation qui étant abfolument la même que celle que nous avons trouvée (563) fait voir que la courbure de la voile eft précilément celle que prend une corde par l'action de fa pefanteur. Si l'air ne s'échappe pas à mesure qu'il fait fon choc, alors chaque coupe verticale de la voile prendra la figure d'un arc de cercle (562), du moins dans la partie d'où l'air ne s'é chappe pas. dx ου ds a on aura C' = b d'où l'on tire dx=± |