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Quant à la direction fuivant laquelle les efforts faits fur les différents points de la voile, s'accordent à pouffer ensemble la voile, (ce qu'on appelle la direction moyenne) on l'aura, en menant par les deux points extrêmes A & B (Fig. 84) les deux tangentes AT, BT, & par leur point de concours T la perpendiculaire TO à la courbe AOB. C'eft une fuite de ce qui a été dit (559), & de ce que les impreffions faites en chaque point, s'y exercent perpendiculairement,

Si l'on veut favoir ce que la courbure de la voile fait perdre de l'action du vent, cela fe réduit à chercher ce qui résulte dans le fens horisontal, de l'impulfion d'un fluide fur tous les points de la courbe AOB dont on a l'équation; c'est une chole facile d'après ce qui a été dit (416): alors comparant ce résultat, avec l'impreffion faite par le même fluide fur la furface AOB fuppofée plane, on aura le rapport de l'une à l'au¬ tre impreffion.

Au refte le cas que nous venons d'examiner, eft encore fort borné. Si le bord fupérieur de la voile peut être cenfé rectiligne, parce qu'il eft attaché à la vergue en plufieurs endroits, il n'en eft pas de même du bord inférieur dont les angles feulement qu'on appelle les points de la voile) font fixes ce qui fait que la voile prend deux fortes de courbures. Mais le calcul pour déterminer en général, la figure que doit prendre une furface, eu égard à la maniere dont fes bords font fixés, eft trop compliqué pour pouvoir trouver place ici : nous devons nous borner à mettre fur la voie, fur ces fortes d'objets.

565. Si dans la même fuppofition que ci-deffus (564) on veut avoir égard à la pefanteur de la voile alors outre P=mds x > on aura Qpds. Suppofant, pour plus de fimplicité que le rapport de p: m eft celui de 1: k, ce qui donne

dx2
ds

m=pk, alors l'équation générale deviendra d (*) +

¿(QRd3)+pdy=o, dons l'intégrale eft

ds

PR QRdx +

ds

ds2

+py=C, qui en mettant pour P, Q& leurs valeurs, &

dy

R

fuppofant C-pa, donne- dxd (2x)=

ds (kdx+ds)

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1 (k+

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dy'

dx2

dy'

I+ ) = 1 (a− y) +1 C'. Cette équa→

dx2

ds

la+IC', d'où l'on

tion lorfque yo devient (k +
1 (k + 2 x ) = la +

tire C'

k

a

générale de

+

ds

ds ds

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dx

étant ici ce que devient la valeur

lorfque y = 0. Soit

a

cette valeur; on aura

dx

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[(kb + a) (a-y)-kab]-a2b2

qui exprime encore une courbe de même nature que celle d'une corde tendue par fon propre poids.

566. Il est facile d'appliquer notre équation générale à une infinité d'autres cas; par exemple, aux cas où la corde ne feroit pas d'une épaiffeur uniforme, où les directions de la pefanteur ne feroient pas parallels, &c; & en général, aux cas où les différents points de la corde feroient follicités par des forces quelconques dirigées dans un mème plan: parce qu'il fera toujours poffible de décompoter telle force que co foit, en deux autres, l'une perpendiculaire à la courbe, l'au

fre parallele aux y; & d'avoir les expreffions de ces forces, dont la totalité des premieres a été représentée par P; & la totalité des dernieres, par Q.

Des petites ofcillations des Corps attachés à des fils ou à des cordes.

567. Nous avons vu ( 534 & suiv.) comment on devoit s'y prendre pour déterminer les mouvements des corps qui agiffent les uns fur les autres par le moyen de fils auxquels ils font liés. Nous allons nous arrêter un moment fur quelques circonftances où ces mouvements font alternatifs.

Nous regardons les corps attachés à ces fils, comme des points pefants dont toute la maffe eft réunie à leur centre de gravité. Lorsqu'ils font d'un volume fenfible, leur figure inAue fur leur mouvement. Mais on verra par la fuite comment on y a égard.

Soit donc a Mm ( Fig. 85) un fil ou une corde parfaitement flexible & fans maffe, fixée au point a par une de fes extrémités, & à laquelle foient attachées les deux maffes M & m. Suppofons que les diftances Mc, mn, à la verticale an, font incomparablement plus petites que les longueurs aM,Mm, enforte que les angles Man, mbn que les deux parties du fil forment avec la verticale, foient infiniment petits.

Il eft clair, dans cette fuppofition, que les portions de courbe que les corps décrivent, peuvent être regardées comme des lignes droites Mc, mn perpendiculaires à a n.

Soient mi & Me les viteffes que les corps acquerroient dans l'inftant de en vertu de leur pefanteur s'ils étoient libres. Si l'on nomme p la viteffe qu'un corps pefant acquerroit dans une feconde de temps, on aura Me = pdt & mi=pdt, le temps étant fuppofé compté en fecondes.

Le corps m ne pouvant obéir entiérement à l'action de fa pefanteur, je décompofe fa viteffe mi en deux autres, l'une mk perpendiculaire à Ml, ou ( ce qui revient au même en vertu de la fuppofition ) dirigée suivant mn, & qui foit celle que le corps prendra réellement, ou l'accroiffement de la viteffe actuelle; l'autre ml qui ne puiffe plus produire aucun mouve→ ment dans & qui par conféquent foit telle que la force de m en vertu de cette derniere, fe diftribue tellement entre M & le

m,

point fixe a, que le mouvement m k n'en foit point troublé, ce qui exige d'abord que ml foit dirigé fuivant le fil M m.

Cela pofé, (233) on aura mi: mk :: fin lmk: fin l m i, & mi:ml::finlmk: finimk, d'où en obfervant que l'angle Imi étant infiniment petit, l'angle Imk eft réputé droit, on a m k=mi finl mi = pdt fin Mbc, & ml = pdt. Maintenant, le corps m tendant à fe mouvoir suivant m avec la viteffe pdt, agit fur le point M avec une force exprimée par mpdi, & tend par conféquent à donner à Mune mpdt On doit donc actuellement regarder le vîteffe Mh=

M

corps M comme follicité par deux forces dont l'une tend à lui donner la viteffe Mh, & l'autre la viteffe Me. Mais comme il ne peut obéir pleinement ni à l'une ni à l'autre, que d'ailleurs la viteffe qu'il doit prendre doit être telle qu'elle ne trouble pas mk que nous avons fuppofé être tout ce que m recevra, je décompofe chacune en deux autres, l'une fuivant le fil a M, & l'autre perpendiculaire à aM ou Mm, ou ce qui revient au même, dans la fuppofition préfente, dirigée fur la ligne Mc, enforte que la viteffe que M prendra, ou plutôt l'accroiffe ment de viteffe qu'il recevra, fera Md- Mg. Or (233) on a Mh: Mg::fing Mr: fin hMr:: 1: fin a Mb ou:: 1: fin (Mbc

m

M

Mac); donc Mg= · pdt fin ( Mbc - Mab): pareillement Me: Md::fin fMd: fin fMe:: 1:fin Mab; donc Md-pdt fin Mab

& par conséquent Md-Mg = pdt [ fin Mab – Mab)].

Or fi l'on nomme Mc, x; mn, x';

croiffant, x & x' diminuent, on aura

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& qu'on obferve que

- dx

dt

&

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· dx'

dt

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vîteffes de M & m fuivant Mc & mn; & par conféquent

d

-d (d *) &- d (d)

pour les accroiffements Md-Mg, &

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(d+) = pdt [ fin Mab pdt fin Mbo C. Or on

en

L

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trouvera facilement que fin M a b⇒

longueur M; & que fin Mb c ou fin m Mu=

nommant Lla

mant I la longueur Mm; donc puifqu'à caufe des angles infi niment petits on a fin (Mbc Mab)fin Mbc-fin Ma b,

on aura enfin - d

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m x'. -x

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MR

=pd: (*). Si, comme on en est bien

=

le maître, on fuppofe dt conftant, on s'y prendra, pour intégrer ces deux équations, de la maniere qui a été enseignée (178). Mais il n'eft pas indifpenfable, pour appliquer cette méthode, de fuppofer de conftant. On peut s'y prendre de la maniere fuivante.

Suppofons (pour fimplifier le calcul, car cela ne change rien à la méthode ) que M=m, & L= 1. Nos équations le ré

t

duiront à p dr (*-*) + d (d'). (+) =

+ d

=0, & pdt (3 x = x2)

=o. A la premiere j'ajoute la feconde multipliée par le coefficient conftant & inconnu a; j'ai — de ( 1 − a) x' + — de ( 3a-1 )x+d

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P

+ad

J'ajoute à cette équation la quantité bdx + cdx', & j'en re

tranche fon équivalente

bdx dt

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conftantes inconnues, après quoi je multiplie par P que je suppose être une fonction de t propre à rendre l'équation intégrable. J'aio de ( 1 − a ) x'+ 12 d 1 ( 3 a − 1 ) x + P c d x!

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o, équation qui (153) pour être intégrable,

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(1-a). De ces équations on tirera a =- 1±√,

qui donnera pour c ces quatre valeurs c=+2- √ 2. V −1, • + V2. V.I, & pour b, quatre valeurs correl pondantes. De plus on aura Pe. Or notre équation a

f=

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