l'on doit rejetter comme nuls, les termes pdt (b-y) R pded x ds qui dépendent du poids de la corde, La feconde équation qui exprime le mouvement paralléle ment à AB (Fig. 89), doit être négligée, parce que co mouvement eft alors nul, & que tous les points de la corde peuvent être confidérés comme le mouvant perpendicu lairement à l'axe A B. La premiere équation devient donc (en faisant 4P M maac g dx d = 8) = d( 2/24 ) (1) () = d(). d I ou Felle eft l'équation générale des cordes vibrantes, pour l'intégration générale de laquelle nous renvoyons aux Mémoires de l'Académie de Berlin, an. 1747, où M. d'Alembert a le premier difcuté cette question, & par une méthode très-ingénieufe. Nous nous bornerons à rechercher la nature de la courbe & la durée de les vibrations dans le cas où la force accélératrice de chaque point eft proportionnelle à fa diftance P M à l'axe 43. Soit donc k la force accélératrice du point M, lorsqu'il étoit en M', A M'B étant la figure initiale de la corde, & foit P Mb. La force accélératrice de M, loríque la corde eft parvenue en AMB, eft Mais fi l'on fuppofe que le point M foit le point O le plus éloigné de l'axe AB, cette même équation doit avoir encore lieu en entendant par y, la ligne OC que je nomme y'; car le rapport k ne change pas d'un point de la courbe à un au tre. On a donc alors 8 dyr. 2 dx2 k y'a 26 donc notre équation de ; d'où l'on tire dx Ꮴ k bg k Pour déterminer le rapport —, foit 1 la longueur de la b corde il faut que lorfque xl, on ait y=e. Donc k k finlv =0; donc l'arc dont la longueur eft v doit être. bg bg de 180°. Soit le rapport du diametre à la circonférence: comme dans l'intégration précèdente, le rayon est fuppofé 1, la circonférence fera 2 c; on aura donc le nom I 360° k , exprimé par lv - lequel 20 bg l bg & par confé k Ꮴ Réduifant de même en degrés, l'arc x √ k k b gr & fubftituant pour fa valeur, on aura y=y' fin (180°) pour l'équation de la courbe. Cherchons maintenant la du rée des vibrations. Reprenons donc l'équation & d ( ) = ± · (), & fubftituant poud (3) dx qui étant multipliée par dy, &. Ꮴ I k Vbb-yy دو bb dont l'intégrale eft—=cos (tv)+C'". Mais lorsque on doit avoir y=b; donc i = 1 + C""; donc C"" = 0; k = cos (tv) ou y = cos(tv b ) en C 4P M ma ac réduifant en degrés. Enfin fi l'on fe rappelle que g Pour avoir la durée de la demi-vibration, il faut fuppofer On voit donc que la durée des vibrations ne dépend point de leur grandeur, & qu'elle fera toujours la même pour une même corde tendue par un même poids, tant que les excurfions feront petites. Si l'on veut avoir la longueur du pendule qui feroit les of cillations en même temps que la corde, on fe rappellera ( 469 ) que la durée d'une oscillation d'un pendule dont L eft la lon L gueur, eft exprimée par c ; on a donc cy P ou parce que mlaac exprime la maffe de la fuppofe cette masse * Je donne à dy le figne - dont il eft fufceptible, c'est le figne qui convient ici où t croiffant y diminue, Si 2 repréfente la durée d'une vibration d'une autre corde de longueur, dont le diametre foit a' la pefanteur fpécifique m', & qui foit tendue par une maffe M' de même M' m pefanteur spécifique que M; on aura 2t: 2 t'::lay M ; c'eft-à-dire, que les durées des vibrations de deux Cordes quelconques, font comme les longueurs multipliées par les diametres ou les groffeurs, multipliées par les racines quarrées des denfités ou pefanteurs fpécifiques, & divifées par les racines quarrées des poids qui tendent ces cordes, d'où il eft facile de conclure les rapports de ces durées, lorsqu'il y a` égalité entre deux ou un plus grand nombre de ces éléments, Et comme le nombre des vibrations fait pendant un temps donné, eft en raifon inverse de la durée de chaque vibration. on aura donc auffi le rapport des nombres de vibrations que peuvent faire deux cordes quelconques, dans un temps donné. Tels feront, en effet, les rapports des nombres des vibrations des cordes fonores, fi dans leur mouvement elles parviennent à prendre la courbure que nous venons de dêterminer, & qui, comme on le voit, eft telle que tous les points arrivent en même temps à la ligne droite AB, puifque ce temps ne dépend ni de l'abfciffe x, ni de l'ordonnée y: or il y a lieu de croire que les cordes parviennent à cette figure après un intervalle de temps affez court. On ne pourroit cependant pas le conclure de ce que l'expérience feroit voir que tous les points arrivent en même temps à la ligne droite; car M. d'Alembert a fait voir dans le Mémoire dont nous avons parlé ci-deffus, qu'il y a une infinité de figures à donner à la corde, qui toutes s'accorderoient à amener tous les points, en même temps, à la ligne droite. Le degré d'aigu, ou de grave, dans les fons rendus par les cordes de même matiere, de même diametre & également ten dues, dépend du nombre de vibrations qu'elles font en même temps,lequel eft en raison inverfe de leurs longueurs. Une corde moitié moindre qu'une autre donne l'octave au-dellus de celleci; fi elle en eft les, elle donne la quinte, &c. Donc fi on imagine qu'une corde en faifant fes vibrations prenne une courbure AMCMB (Fig. 90) telle que AICI'B étant une courbe de même nature que celle que nous avons déterminée en dernier hieu, les parties AMC, CM'B foient auffi de même nature alors fi le point C eft le milieu, les parties AMC, CM'Bferont autour de AIC, CI'B des vibrations qui s'acheveront en moitié. moins de temps que la vibration totale de A CB ou de AMCM'B; & tous les points arriveront en même temps à la ligne droite. Les parties AMC, C M'B rendront donc chacune l'octave du fon que rendra la corde totale; on verra de même comment une même corde peut rendre la douzieme, & la dix-feptieme, en même temps que le fon principal, ainfi que l'expérience le fait voir. Cette explication ingénieufe de la coexistence des fons dans les corps fonores eft dûe au célébre M. Daniel Bernoulli. Il y auroit beaucoup d'autres chofes à dire concernant le mouvement des cordes; mais nous avons d'auttres objets à examiner. Du Levier; des Centres d'ofcillation; des Centres de percuffion; des Mouvements de rotation autour d'un point, ou axe, fixe ou mobile; de l'action du Gouvernail & des Voiles pour faire tourner le Navire, &c, &c. 572. Par levier, nous entendons ici, une verge inflexible, de quelque figure que ce foit, tellement fixée en l'un C de fes points (Fig. 91 & 92 ) qu'elle ne puiffe prendre d'autre mouvement par l'action des forces qui lui feroient appliquées, qu'un mouvement de Rotation, c'est-à-dire, un mouvement pour tourner autour de C. Ce point C s'appelle Point d'appui. Nous regarderons d'abord le levier comme fans maffe & fans pefanteur. Dans le |