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pond à une des deux valeurs de z que nous avons trouvées (618), comme appartenant à un minimum.

Dans le cas où le poids p eft retranché, la valeur . . .

R (c+nzfink), qui convient au cas de z négatif

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ce—nz2

fait voir que croît tant que z eft négative jusqu'à ce

que ce

n z 2 = 0

ce

n

ou que z = Ꮴ , auquel cas v eft infinie: z, toujours négative, devenant plus grande, devient négative & diminue jusqu'à devenir zéro lorfque z eft infinie; ainfi, du côté des z négatives la courbe aura toujours la figure que l'on voit fur la droite de AB (Fig.129 &130); c'eft-à-dire, s'élevera à l'infini de B vers D, Al étant négatives

ce

V; ; & au-delà de l elle s'étend à l'infini le long de AR & de IS.

n

R

Mais du côté des z pofitives, fa figure varie felon les deux cas qui peuvent avoir lieu. Comme alors on a v = c-nzfinh fe faire que ce - nz2 devienne zéro, avan

ce-nz2

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P.

il peut ou après que cnz fin h fera devenu zéro. Dans le premier cas la courbe fe continue par une branche BCF (Fig. 129 ) qui s'étend à l'infini au-deffus de IK, mais fans s'éloigner de A parallèlement à AK, plus loin que

ce

n

en outre, lorf

qu'on donne à z une valeur plus grande que AK ou

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nz finh

la valeur de devient négative jufqu'à ce que cdevienne zéro, c'est-à-dire, jusqu'à ce que z = Paffé ce

C

n

terme, v devient pofitive, augmente jufqu'à un certain terme L; puis diminue jufqu'à devenir zéro, lofque z fera infinie. On voit donc que fi l'on différencie la valeur de v, & qu'on en égale la difféncielle à zéro ; des deux valeurs que l'on trouvera pour z, l'une indique un minimum qui répond au point C, & l'autre un maximum qui répond au point L.

Mais fic nz fin h devient zéro avant ce nz2: alors, par un examen femblable " on verra que du côté des z pofitives, la courbe aura la figure marquée (Fig. 130) par les

branches infinies BCF, EO, enforte qu'il n'y aura ni minimum ni maximum autre que zéro & l'infini.

620. Si au lieu d'ajouter, ou de retrancher un poids p, on ne fait que le déplacer, alors voici comment on déterminera les changements que ce déplacement occafionnera à la virefle

de rotation.

Suppolons qu'on l'ôte en p, pour le placer en p' (Fig. 131). En ôtant le poids, en p, le centre de gravité G vient en g fur le prolongement de p G; & l'on a P-p:p::pG: Gg. Enfuite, lorfqu'on place ce poids en p', le centre de gravité vient en g' fur pg, enforte qu'on a P- pp :: p'g' : g'g; donc fi l'on mene pp & Gg, ces deux lignes feront paralleles, (Géom. 105), puifqu'il fuit delà que pG: Gg: p'g': g′g. Cela pofé fi de g', on abaifle la perpendiculaire g'S' fur la direction RD de la puiffance R on aura (594), en attribuant à v la même fignification que ci-dessus

Rx g'o'

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Smrr + PXGg3 - ppg2 + px p2 gr2

donc Gg', pg', p'g', & g'S'.

On vient de voir

--

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Déterminons

P

P que P: p p G : G g; donc P: p pg Gg; or les triangles femblables ppg, Gg'g, donnent Pg: Gg :: pp' : Gg'; donc P :p :: pp': Gg'; donc Gg = 1/ pp'. Des points p & p', abaiffons fur Gg, les perpendiculaires ps, p't. Nous aurons Alg. 259) pg" =pG2 + G g'2 pgp gʻ + 2 Gg' x Gf & p'g'2 = f'G*+Gg'" + 2Gg' x Gt. Done Pg'2 — p'g'2 == p G2 - p'G2 + 2 Gg' xpp', parce que Gf→ Gr=ft=pp'. Ainfi la valeur de v devient

2

P

2

2

2

Rxg's'

2

2

2

Sm r r + 2 = • p p13 + p (p' G3 —p G" ) − zp × Gg'× pp' 9. ou, en mettant pour Gg fa valeur, & réduifant,

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Rx g's'

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nous fuppofons le poids p fort petit en comparaifon de P, on

peut omettre le terme

PP
X

x pp', & l'on aura fimplement

Rxg's'

2

Smrr+p(PG -PG')

Refte donc à déterminer g'S'. Or fi par le centre de gravité G du corps P, on mene Kn parallèle à la direction R D de la force R (Fig. 132), & que des points g, g', p', on mene fur Kn les perpendiculaires g, g'q, p'n; on aura, par la nature du centre de gtavité, ( P − p) g l − p × p'n = Pxg'q. Or fi l'on nomme k, l'angle pGKgGq; h', l'anP gle p'G K; on aura gl=Gg fin h, c'est-à-dire, =

P-P

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G fin h, puifqu'on a trouvé ci-deffus Pp:p :: pG: Gg. Pareillement on aura p'n p'G fin h'; donc on aura

8 q = P x pG fin h − p x p' Ġ fin h'; donc en

P

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; donc en nommant la

· ( p G fin h — p' G fin h' ).

Donc enfin, nommant pG, z; p'G, z'; substituant pour P & faifant =n > on aura.

Im rr

P.

fa valeur ce,

P

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ce+nz22 - nz2

A l'inspection de cette valeur de v, on voit que pour que v ait la plus grande valeur poffible, il faut (z & z' reftants, chacun, le même), que finh — — 1, & fin h 1; c'est-à-dire, que le poids p doit être ôté fur la perpendiculaire menée de G fur la direction de la force R, en deçà de G, par rapport à R, & R

porté au delà, Alors la valeur de devient v (c+nz+nz)

12

P

Et fi l'on veut avoir le rapport des dif

cenz -n z2 tances z & z' pour que v foit la plus grande qu'il eft poffible, il n'y a qu'à différencier cette valeur de v en faifant z & z' variables, & égaler, féparément, à zéro, ce qui multipliera dz, & ce qui multipliera dz'. On parviendra à une équation du quatrieme degré pour avoir z, comme pour avoir z'. Mais fi l'on veut regarder z ou z' comme donné, alors on différenciera en regardant z' ou z feule comme variable, & l'on n'aura qu'une équation du fecond degré à réfoudre.

Il y a une infinité de points où un poids qu'on ajoutercit,

ou qu'on retrancheroit, ou qu'on transposeroit, peut être placé de maniere à donner en chaque point le même mouvement de rotation. Tous ces points font placés fur la circonférence d'un cercle. Par exemple, s'il s'agit d'un poids qu'on R c+nz finh ajoute; comme la valeur de veft v —

(

nk);

ce + nz2

fi l'on demande tous les points où le poids p (Fig. 133) peut. être placé de maniere que la vitefle de rotation refte la même. que lorfqu'on le place à une distance connue GS = b, & fur

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une ligne qui faffe avec la direction RD, un angle connu a ;

on aura

R

P

c+nz finh

"ce+nz2

R c + n b

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P

c+nb fin a

ce+nb2

(

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jin na cenb2

Ou

Or fi l'on mene fur GK parallele

à RD, la perpendiculaire p q; & qu'on nomme pq, y ; & Gq, x; on aura y z fin h, & 2 2 =

c+ ny ce+n(xx+3y) Alg. 384).

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Si lorfqu'on ne veut que tranfpofer le poids p, on le partage en deux parties égales, pour les placer fimmétriquement de part & d'autre de pG; alors la courbe fur les points de la-. quelle ils peuvent être placés indifféremment, eft une ellipfe cela eft aifé à voir en déterminant la valeur générale de dans cette fuppofition; ce qui eft facile après tout ce qui précede.

Des Poulies, des Moufles, Palans, Caliornes, &c.

621. On connoît affez la figure de la poulie pour qu'il foit fuperflu d'en donner ici la defcription.

On peut réduire toutes les différentes. efpeces de poulies, à deux; favoir, la poulie fixe ou de renvoi, & la poulie mobile.

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La poulie fixe (Fig. 134 & 135) eft celle dans laquelle la puiffance & le fardeau, ou l'obftacle qu'elle doit vaincre font appliqués tous deux fuivant des directions tangentes à la circonférence de la poulie. La poulie mobile Fig. 136, 137 138) eft celle dans laquelle le fardeau ou l'obstacle eft appliqué au centre, ou fuivant une direction qui paffe par le centre ou par l'axe de la poulie.

A confidérer généralement la poulie, cette machine eft fufceptible de deux fortes de mouvements; l'un par lequel la corde qui paffe dans la gorge de la poulie, c'est-à-dire, qui embraffe la poulie, peut changer de place, fans que pour cela le corps de la poulie foit déplacé; l'autre par lequel le corps de la poulie peut changer de fituation. Ainfi l'équilibre dans cette machine, est affujetti à deux conditions abfolument diftinetes la premiere, que les tensions des deux parties de la corde qui embraffe la poulie, fe détruifent mutuellement; & pour cet effet, elles doivent être égales, quelle que foit d'ailleurs, la courbure de la poulie (555). La feconde condition fe déduit de cette premiere, de la maniere fuivante.

622. Des tenfions des deux cordons qui embrassent la poulie, il réfulte fur le corps

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