Quoique la folution qu'on obtient en né gligeant ainfi quelques unités, ne foit qu'approchée, elle eft cependant fuffifamment exacte. Car dans le cas préfent, le nombre de tours du dernier pignon, pendant un tour de la premiere roue, étant un'n"

NN'N' 286350

7.X7X8

fi l'on multiplie cette quantité par 12 heures, durée de chaque tour on aura pour la durée de la révolution de la premiere roue, 3651 5h 48′ 58′′ 38; or nous avons fuppofé l'année de 3651 5h 49'.

499

De l'équilibre & du mouvement à l'aide du levier, lorfque les forces appliquées font dans des plans différents; & des différentes efpeces de mouvement que peut prendre un corps de figure quelconque.

645. Lorfque les forces qui agiffent fur un levier feront fituées. dans différents plans, on concevra par le point d'appui C trois plans HI, KL, MN (Fig. 159) perpendiculaires en tr'eux. Et comme on peut toujours décompofer une force. quelconque, en trois autres perpendiculaires à trois plans. donnés de pofition, on décompofera chacune des forces données, en trois autres, perpendiculaires aux trois plans HI, KL, MN.

Soit P. l'une de celles qui font perpendiculaires au plan MN; & par le point où fa direction rencontre ce plan, concevons la ligne quelconque SVT qui rencontre en S & T les interfections DE, AB, de ce plan avec les deux autres. On pourra toujours concevoir la force P décompofée en deux autres & R qui lui foient paralleles, & qui agiffent aux

points S& T. La force Q (240) fera exprimée par

& la force R le fera par

PXSV

2 ST

ou,

PXVT

ST >

en menant VX, VZ

parallelles à SC & TC, ce qui donne ST: VT:: CS: VX,

& ST:SV:: CT: VZ, la force Q fera exprimée par

PXVX

CS &

PXVX
CS

tend à faire tourner

Or il eft vifible que la force autour de l'axe DE; & fon moment à l'égard de cet axe, qui eft QxCS, eft xCS, ou fimplement PXVX, c'eftà-dire, le même que celui de la puiffance P, fi cette puiffance. fans changer de diftance à l'axe DE, agiffoit dans le plan LK auquel elle eft parallele. Pareillement la force R tend à faire tourner autour de l'axe AB, & fon moment à l'égard de cet axe, qui eft RXCT, est x CT, ou fimplement

PXV Z

CT

PXV Z, c'est-à-dire, le même que celui de la puiffance P, fi cette puiffance fans changer de diftance à l'axe AB, agiffoit dans le plan HI auquel elle eft parallele. La force P tend donc à faire naître deux mouvements de rotation, l'un autour de DE, l'autre autour de A B. Or par un raisonnement femblable, on verra que toute force perpendiculaire au plan KL, tend à faire tourner autour de l'axe AB, & autour de l'axe FG; & que toute force perpendiculaire au plan HI, tend à faire tourner autour de DE & autour de FG. De plus le moment de la force avec laquelle chacune tend à faire tourner autour de l'un de ces axes, eft le même que fi cette puiffance agiffoit dans celui des deux plans auquel elle eft parallele, & qui eft perpendiculaire à cet axe.

Cela pofé, en appliquant à chaque force une décompofition femblable à celle que nous venons d'appliquer à la force P, on voit qu'on réduira toutes ces forces à agir dans les trois plans KL, HI, MN. Or comme ces trois plans font perpendiculaires entr'eux, celles qui agiffent dans l'un quelconque, ne peuvent ni favorifer celles qui agiffent dans l'un quelconque des deux autres, ni leur nuire. Donc pour que toutes ces forces fe faffent équilibre, il faut que toutes celles

qui agiffent dans l'un quelconque de ces plans, puiffent fe faire équilibre entr'elles; or cette condition (589) exige que la fomme de leurs moments à l'égard du point C foit zéro ;. donc puifque les moments des forces qui après la décompofition agiroient dans chaque plan, font les mêmes que fi les forces qui les ont engendrées agiffoient dans ces mêmes plans, fans changer de diftance à l'égard de l'axe par rapport auquel on confidere les moments, on peut donc établir cette regle. générale.

Concevez, par le point d'appui, trois plans perpendiculaires. entr'eux; décompofez chacune des forces données en trois autres, perpendiculaires à ces plans. Prenez les moments de chacune à l'égard de deux axes qui font les interfections du plan auquel cette force eft perpendiculaire, avec les deux autres plans; alors raffemblez (avec les fignes convenables ) les moments de toutes les forces qui agiffent parallèlement à l'un des. plans, & égalez-la à zéro; faites la même chofe par rapport à chacun des trois plans.

646. Si le levier, ou en général, fi le corps ou le fyftême de corps auquel font appliquées les forces qui doivent le faire mutuellement équilibre, n'étoit point affujetti par un point fixe, comme nous l'avons fuppofé, alors on meneroit les trois plans par tel point qu'on voudroit; & les trois conditions que nous venons d'établir pour l'équilibre, devroient encore avoir lieu. Car puifqu'il n'y a pas de point fixe, toutes les forces qui agiffent dans un même plan, doivent pouvoir fe faire équilibre entr'elles; or ici la chofe ne peut avoir lieu qu'autant que leur refultante fera zéro; donc puifque (248) la fomme. des. moments de ces forces eft égale au moment de leur réfultante, il faut encore que chacune de ces fommes de moments. foit zéro.

Mais, dans le même cas, ces trois conditions ne font pas les feules néceffaires; il faut encore (314) que la fomme de toutes les forces perpendiculaires à l'un quelconque des trois plans, foit zéro; ce qui donne trois nouvelles conditions: enforte que l'équilibre entre plufieurs forces dirigées dans des plans différents eft affujetti à fix conditions, lorfqu'il n'y a pas de point fixe dans le fyftême, & que toutes les parties du fyltême font folidement liées entr'elles.

647. Suppofons maintenant que les forces appliquées au corps,ou au fyftême de corps, foient telles qu'elles ne fe faffent

point équilibre: le corps prendra du mouvement; & felon ce qui a été dit (322) celui que prendra le centre de gravité fera le même que fi toutes ces forces étoient immédiatement appliquées à ce centre: de plus, les parties du corps tourneront autour de ce centre de gravité. Mais nous venons de voir, que ce mouvement de rotation peut avoir lieu en même temps, autour de trois axes différents. Voyons d'abord quel peut être ce mouvement au premier inftant.

Il est évident d'abord, quelque mouvement que prennent, les parties du fyftême, que fi à l'inftant où les forces agissent, on imprimoit à ces parties des mouvements égaux & contraires à ceux qu'elles prennent, l'effet de ces forces feroit détruit: la queftion le réduit donc à exprimer les conditions de l'équilibre entre les forces appliquées au fyftême, & celles que prennent les parties du fyftême, celles-ci étant fuppofées dirigées en fens contraire.

Soit donc M(Fig. 160) une particule du corps, ou du syltême: & foient trois plans X AZ, XAY, ZAY perpendiculaires entr'eux. Ayant abaiffé M perpendiculaire fur le plan. XAY, & CB perpendiculaire fur AY; nommons AB,x; dx dy dz BC, y; CM, z. Nous aurons

d t d t d t

pour les viteffes de M parallèlement à AY, AX, AZ, ou perpendiculairement aux plans ZAX, ZAY, XAY. Concevons que les forces imprimées foient auffi décompofées chacune en trois forces perpendiculaires à ces mêmes plans; foit F l'une de celles qui font perpendiculaire à ZAX; F l'une de celles qui font perpendiculaires à ZAY, & F" l'une de celles qui font perpendiculaires à XAY. Soient a & a' les diftances de la direction de F aux plans XAY, ZAY auxquels elle eft parallele; b & b' les distances de F' aux deux plans XAY, c&c les diftances de F" aux deux plans Z AY, ZAX. Les forces F & F" tendent à faire tourner autour de l'axe AX; & en fuppofant que les forces F, F', F" agiffent dans le fens d x dy des vîteffes &c, ces deux forces tendent à faire tourd. > d t

ZAX;

ner en fens contraires; enforte que le résultat des moments de

ces deux forces eft Fa- Fc. Mais fi les viteffes

dx dy

dt d t

étoient appliquées en fens conrraire, le point M ten

'droit à tourner autour de AX, en vertu de la vîtesse

dz

de la viteffe

avec des forces

mdx mdz

dt

dt

, dt

didi en appellantm la masse du point quelconque M; & les moments de ces. mzdx mx dz

forces feroient

dt

dt

Donc la fomme des mo

ments de celles de toutes les forces imprimées, qui tendent à faire tourner autour de AX, étant représentée par (Fa-F'c');, & la fomme des moments de ceux de tous les mouvements reçus, qui tendent à faire tourner autour du même axe, étant ; il faut (645) que

représentée par ". m(zdx
x-xdz)

(Fa-F'c')-f

m(zdx=xdz)
dt

d t
=o, ouf(Fa-F''c') = ['

dt

Par un raifonnement femblable, on trouvera pour les mouvements de rotation qui tendent à fe faire autour de AY, ƒ ƒ” l'équation (F'b-F'c) = f (zdy-ydz)

d t

; & pour les mou vements de rotation autour de AZ, l'équation (Fa'—F'b') = m(ydx-xdy) ; & ces équations feront les feules néceffaires pour déterminer le mouvement initial d'un point quel➡. conque M du corps ou du fyftême, fi ce corps eft affujetti par l'un de fes points feulement qui alors eft fuppofé le même que le point A, origine des x, y & z.

Mais file corps eft libre, il faudra de plus (646) que

SF-[ dt SF" =S dt ces trois dernieres équations détermineront le mouvement du centre de gravité.

648. Confidérons maintenant l'état du corps après un temps. quelconque t ; & fuppofons que les différentes parties, ou quelques unes feulement, foient follicitées à chaque inftant par des forces accélératrices qui dans le fens parallele aux x, y & z., foient repréfentées par f,f', f"; c'est-à-dire, (215) quef, ff repréfentent la viteffe que chaque force engendreroit dans une feconde de temps, fielle agiffoit comme force accélératrice