kkdq fins cofs fin q-2kkdr cof sfin q)... (A).

2

pacofs fin qdr2 = d(- lids fin g + Ildq fin s cofs cof q- kkds finq -kkdq fin's cofs cofq + 2kkdrcofs cof q ). . . (B).

Q = d ( − 1 ldq.cof's – kkdq fin2s – kkdq + 2kkdr fin s ) ...( C ).

Si après avoir multiplié la premiere par fin q, on en retranche la feconde multipliée par cofq, on aura. o=lldsdq-llddq fins cofs - lldqds cof2s+lldqds fin's + kkdsdą, +kkddqfins cofs+kkdqds cof's-kkdqds fins-2 kkddr cof +zkkdrds fins.... (D)..

Si après avoir multiplié la premiere par cofq, on l'ajouteà la feconde multipliée par finq, on aura

pa cof sdt' = - (ll+kk ) dds+ ( kk-U)dq' fin s cofs - zkkdrds cof s (E)..

Et l'équation (C)après la différentiation exécutée, donne • = -ll dd q cof's + 2 1 ldqds fin s cofs-kkddq fin2 sl 2 kkdqds fins cofs – kkddq + 2 kkddr fins + 2 kkdrds cofs = o (F).

Si après avoir multiplié l'équation (D), par cofs, on en retranche l'équation (F) multipliée par fins, on aura après avoir divifé par zkk, ddq fin s + dqds cofs- ddr = 0, dont l'intégrale eft dr=d qfins +Cdt. Et fi l'on fubftitue pour dr cette valeur, dans l'intégrale de l'équation (C) qui eft évidemment ldq cofs — kkdq fins ¬ kkdq+ zkkdr fin s = C'dt, on aura - (ll+kk) dq cof2s + 2kk Cat fin s = Č'd t 2 kk Cfins -C (11+kk)cof?s

dq=

dr:

dt, & par conféquent

2 k kC+ (ll - kk) € cofs — C' fin s

(ll + kk) cof2 s

dt.

ου

Il ne refte donc plus qu'à fubftituer ces valeurs dans l'équation (E), & intégrer l'équation en s, ds, dds & dt qui en résultera. Nous n'entrerons point dans ce détail, & nous nous bornerons au cas où la pefanteur eft nulle.

656. Lorfque po, les équations A, B, C, s'intégrent tout de fuite, & donnent lds cof q-lldq fin s cofs fin q - kkds cof q + kkdq fins cof's fin q-2kkdr cofs fin q = Cdt. (A') Ilds fin q+lldq fin's cofs cofq -kkds fin q-kkdq fin s cofs cof q +2kkdr cofs cof q=C'dt... (B').

Uldq cofis- kkdq fin's - kkdq + zkkdr fins

C'd t... (C').

L

Si après avoir multiplié la premiere par cofq, on l'ajoute a Ja feconde multipliée par finq, on aura(1+kk)ds= (C cof q+C'finq)di.. (E').

Si après avoir multiplié la premiere par finq, on en retranche la seconde multipliée par cofq, on aura ·

dt

- (kk⋅ ll) dq fin s cofs - zkkdr cofs = (Cfin q-C cofq dt.. (F). Et fi dans celle-ci, on met pour dr la valeur tirée de l'équation, on aura- (kk+11) dq cofs-[(C fin q- C cof q)fin s -C''cofs] dt =o...(G). Subftituant pour de la valeur tirée de l'équation E', on ad g (C cofq+C' fin q) cofs +ds fins (Cfin q— C'cofq)=C"d's cofs, dont l'intégrale eft C" (Cfing C'cof q) cofs =C" fins.

I

De cette équation on tirera facilement la valeur de finq, & celle de V1 - fin2 q ou de cofq; d'où il fera facile d'avoir d q exprimée en ́s & ds. Subftituant dans l'équation E, on aura di ens & ds, & en intégrant on aurat. Enfin mettant pour dt & d q leurs valeurs dans l'équation C', on aura la valeur de dren s & ds.

On peut fimplifier beaucoup cette folution, par une confidération qu'on peut appliquer avantageufement à l'intégration, pour un corps de figure quelconque. C'est qu'on peut toujours fuppofer C =o, &C=0; parce qu'il eft toujours poffible de trouver deux axes à l'égard defquels, les valeurs trouvées (649). pour C & C foient zéro. En faifant cette fuppofition pour le cas préfent, on aura 1°. d so, & par conféquents conf C" dt tant. 2°.dq = kk+lt, c'eft-à-dire, que la rotation autour de AZ eft uniforme. 3°. dr = dq fins; c'eftà-dire, que la rotation autour de CD eft auffi uniforme.

Ilkk
2 k k

Des ofcillations des corps flottants.

657. Examinons maintenanr le mouvement du corps, lorfqu'il peut faire de très-petites ofcillations dans tous les fens, fa figure étant d'ailleurs quelconque. Nous fuppoferons que le point C( Fig. 161) eft le centre de gravité; que CD fait à chaque inftant un très-petit angle avec C'Q, qui en fait auffi un très-petit avec C'R; & que l'angle de rotation r' eft trèspetit pendant tout le mouvement.

8=hs

Si l'on reprend les valeurs que nous avons données (6‹0) pour x, y & z, en s, q & r, & qu'on y fuppofe que s,q & r foient de très-petits angles, ces valeurs fe réduiront aux fuivantes. x=h+gs cofr" — gq fin r", y=hq - gr' cofr"+g finr" g cofr"-grfin r en mettant s, q, r', au lieu de fins, finq, finr'; 1 au lieu de cofs, cofq, cofr', & négligeant les termes où entreroient qs, qr', sr'. Si on fubftitue ces vaJeurs dans fm (adx - xdz), sm (zdy - ydz) & fm (ydx - xdy), en obfervant de rejetter les termes où quelqu'une des variables très-petites s, q & r' fe trouveroit multipliée par la différentielle, ou par celle de l'une ou l'autre des autres; que de pluson faffe fmg g fin' r"= A, fmgg cof"r"= B, fmgg fin r" cofr"=C2 fmgh fin D, fmgh cofrE, & fmhh F, on aura. fm (zdx-xdx)=Bds- Fds+Cdq+D dr'

"

fm (zdy-ydz) = - Dds Edq+ Bd r'+ Adr' fm (ydx-xdy) Cds- Adq-Fdq+ Edr'.

=

Ainfi, en fuppofant de conftant, dans les équations données

( 648 ), & mettant les quantités ƒ m[z d (44) -xd (17)],

&c, fous cette forme fm

d(z d x

x dz)

d t

on aura après avoir multiplié par dt, & fubftitué les valeurs qu'on vient de trouver, on aura, dis-je,

[m' (fa-f" c') d t =Bdds- Fdds + Cd dq+D dd r2 Im' f'b-fc) dt-Ddds-Ed dq+B ddr'+Ad dro m' (fa' - f'b') dt2 Cdds Add q Addq - Fddq+ Eddr', équations qui conviennent à tous les mouvements où un corps de figure quelconque fait des ofcillations infiniment petites

dans tous les fens.

=

658. Pour appliquer ceci aux ofcillations des corps flottants, il faut déterminer ce que font alors les forces m'f dt, m'f'dt, m'f'd't. Or nous avons démontré (345) que lorsqu'un corps folide eft plongé dans un fluide, les forces qui le preffent horizontalement, fe font équilibre; on a donc (645) Sm(fa-fb)dt=o, & (314) [mfdt = 0, & fmf'd t=0. Ces deux dernieres équations font voir que le centre de gravité ne peut avoir d'autre mouvement qu'un mouvement vertical. Or il eft aifé de démontrer d'après les principes donnés (345

408) que non-feulement les forces m'fdt & m'f'dt le font équilibre entr'elles, mais encore que les forces m'fdt fe. font équilibre entr'elles, & qu'il en eft de même des forces, m'f'di, donc fm'fadt = 0, & fmf bdto.

Refte donc à déterminer fm'f'cdt & fmf'cdt, ainfi que Im'fdt qui, en particulier, doit donner le mouvement vertical du centre de gravité. Or toutes les parties du corps font follicitées par la pefanteur avec des viteffes égales, chacune, à pdt, , pétant la vîteffe que la pefanteur donne en une seconde de temps à un corps libre; ainfi toutes les forces des particules, en vertu de la pefanteur, fe réduisent à une seule

Mp dt. De plus, par la preffion du fluide, le corps eft: pouffé de bas en haut par une force égale au poids du volume de fluide déplacé ; enforte que fi v repréfente ce volume pour un inftant quelconque; & fi l'on fuppofe que la densité du fluide foit à celle de M::e: 1, on aura e V'p dt pour cette force, laquelle (344) paffe par le centre de gravité de la partie fubmergée. On voit donc que le corps n'eft foumis qu'à l'action de deux forces, toutes deux verticales, dont l'une Mpdt paffe par le centre de gravité de ce corps, & dont la feconde e pdt paffe par le centre de gravité de la partie fubmergée. Donc la force qui follicite le centre à defcendre,. eft Mpdt eV'pdt, & par conféquent l'accroiffement inftantané de fa viteffe, eft pdt pdt ou pdt

ev

M

Donc 1°. fi l'on nomme y la quantité verticale très-petite. dont le centre de gravité eft defcendu au bout du temps t On

dy ddy

°M ) = d( 11 ) =

dt

à caufe de dr.

2o. La fomme des moments [m'f"c'dt, fmf"cdt n'eft. autre chofe ici que la différence des moments des deux forces Mpdt & ev'pdt qui font les feules qui agiffent fur le corps;; or comme nous confidérons ici les moments par rapport à des axes qui paffent par le centre de gravité, le moment de la force Mpdt fera zéro; donc fi l'on repréfente par k & k' les diftances du centre de gravité de la partie fubmergée, au plan vertical paffant par CR, & au plan vertical qui lui feroit perpendiculaire, on aura fm'f''c'dt k'e V'pdt, & fm'f'cd 3 kev'pdt: refte donc à déterminer k, k' & V'.

Concevons que ARD'S ( Fig. 162) foit la fection du corps, par le plan qui toucheroit la furface du fluide, c'est-à-dire, par le plan de flotaifon : que C' foit la projection du centre de gravité du corps; AC'D' la direction de la projection de l'axe CD de la figure 16; RS perpendiculaire à AD'. Soient G & G'. les centres de gravité des efpaces RD'S, ARS; & ayant mené les perpendiculaires LG, L'G', fur AD' nous pouvons regarder C'L, LG, C'L', L'G' comme connues, puifque nous avons des méthodes pour les déterminer ( 261 & suiv. ).

Soient pareillement g & g' les centres de gravité des efpaces 'ARD', ASD'; en abaiffant les perpendiculaires gl, g'l' fur RS, on pourra regarder 'l, Cl', gb & gl, comme connues.

Concevons que MTN ( Fig. 163) foit la fection verticale du corps, par un plan paffant par le centre de gravité C; AD' la même ligne que dans la figure 162; & fuppofant que tant par la defcente verticale du centre de gravité du corps, que par la rotation par laquelle ce même corps décrit le petit angle que nous avons appellés, la furface de flotaifon représenteé par AD' devienne ad'; fi par le point i où cette ligne coupe la verticale CT, on conçoit le plan e q parallele à AD', la partie plongée qui étoit ATD', éant devenue a T d', fera ATD+eAD'q-qi d'+aie; enforte que eAD'q fera l'augmentation de volume fubmergé, dûe à la defcente du centre de gravité du corps; & qid'- aie fera la diminution, qu'apporte à ce volume, la rotation par laquelle le corps décrit l'angle s. Or comme C'i eft fuppofé une petite quantité, fi l'on appelle S la furface ARD'S (Fig. 162) représentée par AD(Fig. 163), on aura e AD'q Sy.

A l'égard des onglets ou folides décrits pendant la rotations, & représentés par a ie & qi d', il est aifè de voir 1° que l'angle aie qid' =s; 2°. qu'en nommant a & a' les diftances CL, C'L', & S', S" les furfaces RD'S, RAS ( Fig. 162 ), l'onglet qid (Fig. 163) fera exprimé par a S's, & l'onglet aie, par a'S''s. Donc fi le corps n'avoit d'autre mouvement qu'un

Voici fur quoi eft fondée cette furface; & enfin s, l'arc très-petir évaluation du folide de l'onglet. Si décrit autour de RS par un point l'on appelle y une ordonnée quel-qui en feroit éloigné d'une quanconque de RD'S(Fig. 162), paral- tité 1, on aura sy pour le pefele à RS, & de la hauteur du tit arc décrit par l'ordonnée y, & petit trapeze élémentaire de cette yxsy pour la furface du sec