bu bien (puifque rk lorfque

coft pe ( 2 1 - hv1)

A+B

이승

Cette valeur de préfente trois cas tant qu'on fuppofe pofitif; c'est-à-dire, le centre de gravité du corps au-deffus de celui de là partie fubmergée: ou hV21; ou h' eft plus grand que 21, ou enfin, il eft plus petit; fi hV'=21 ou fi gil

2 I h == Vi

k

on a coft X0=1; c'est-à-dire, r'=k; ce qui indique que le corps ne fera point d'ofcillations dans le fens des arcs r'; mais qu'il demeurera dans l'inclinaison qu'on lui donnera. Or fi l'on y fait attention, on verrà que ce cas eft celui où le centre de gravité feroit précilement au méta'centre; car la valeur revient à la même que nous avons

2 I

ν'

déterminée (359) pour la hauteur du métacentre. Donc, lorfque le centre de gravité fera fur le métacentre même, le vaiffeau ne fera pas propre à porter la voile ; il n'aura aucune difpofition à revenir à l'état de l'équilibre, & pour peu que l'inclinaison augmente, il fe renverserá.

Si h' eft plus grand que 2 1, c'est-à-dire, fi h est plus

2 I

V'

grand que la valeur de r' devient imaginaire, & fait voir que fi petite qu'on fuppofe l'inclinaifon, il y aura toujours renversement, puifque la fuppofition d'ofcillations, même très-petites, conduit alors à une abfurdité. Ce cas eft celui où le centre de gravité feroit au-deffus du métacentre.

2

Mais fi h' eft plus petit que 21, ou h plus petit que alors r' fera réel, & le roulis fe fera avec d'autant plus de sûreté que h fera plus petit que : la stabilité du vaiffeau fera

d'autant plus grande. Pour déterminer quelle est alors la durée des ofcillations, on fera ro, ce qui donnera

==cof 90°; ou (Géom. 153), ent Á a

réduifant en degrés, & fuppofant que le rapport de c: r eft celui de la circonférence du cercle à fon diamètre

20

= 90°, ou 2 t = 0

A+B

Ꮴ

A+B

pe (21-hv')9 pour la durée d'une ofcillation entiere. On voit donc, que toutes chofes d'ailleurs égales, les ofcillations du roulis feront d'autant plus promptes, que le centre de gravité du navire fera plus au-deffous du métacentre.

Si l'on fait

2 I

hh, h' fera la diftance du centre de

gravité au métacentre, & l'on aura 2 I- hV'h'v', ce qui

'donne 2c

V

(A+B)

Or le poids du volume de fluide déplacé (343) étant égal au poids total M du navire,

on a eV' M; donc z c

B)

PMh'

; d'où con

noiffant la diftance h' du métacentre au centre de gravité, le poids total du navire, & la quantité A+B qui eft la fomme des produits de toutes les parties de la mafle du vaiffeau par les quarrés de leurs diftances à l'axe mené par le centre de gravité parallèlement à la quille, il fera facile de connoître la durée des ofcillations du roulis.

" on voit

Comme r'n'entre point dans l'expreffion de 2 t 'donc que les ofcillations du roulis font toutes de même durée, & indépendantes de l'étendue des arcs décrits, pourvu que ces arcs foient petits.

Si l'on veut connoître la longueur du pendule fimple qui feroit fes ofcillations en même temps que le vaiffeau fait les fiennes ; il n'y a qu'à égaler la valeur de 2 t à celle qui a été trouvée (469), & on aura cette longueur que nous y avons A+B

660. Nous n'avons confidéré d'autres forces que la pefanteur, & la preffion de l'eau fur la partie fubmergée de la Garene. Si l'on vouloit encore confidérer l'action du vent sur

ミ

les voiles, & la réfiftance de l'eau fur la partie de la carené expofée au choc, il eft évident d'après tout ce qui précede, qu'il faudtoit de plus, faire entrer dans les équations, la fomme des moments des parties de ces forces qui tendent à faire tourner autour des mêmes axes que ci-devant. Ainfi, fi l'on appelle T, T', 'les furfaces qui expofées au choc direct de l'eau éprouveroient les mêmes réfiftances que le vaiffeau éprouve perpendiculairement à la quille, parallèlement à la quille, & verticalement, on aura ( 395 & 404) neu2 Tdt, ne u'T'd t ̧ ne u'T'di pour ces forces, u étant la viteffe du vaiffeau, & e la denfité de l'eau. Pareillement fi l'on appelle "" la furface des voiles, & g l'angle d'incidence apparent du vent fur les voiles, on aura n'e'I'"'u d't fin2g pour l'action du vent perpendiculairement aux voiles, e'étant la denfité de l'air & la viteffe relative du veut. Et fi l'on décompofe cette action en trois autres, l'une perpendiculaire à la quille, la feconde parallele à la quille & la troifieme verticale; on pourra, puifqu'on fuppofe l'inclinaifon fort petite, négliger la force verticale, du moins en fuppofant toutes les voiles verticales; & nommant gl'angle que les voiles font avec la quille, on aura n'e' T 'u'2dt fin' g', & n'e' T'"'u'd t fin'g fin g' pour les forces perpendiculaires & paralleles à la quille. Donc, fi pour la réfiftance de l'eau, on appelle & X' les diftances de la premiere force aux deux axes AY & AZ (Fig. 161 ) (le point A étant cenfé le même que le point C); qu'on appelle de même, Y & Y', les diftances de la feconde force aux deux axes AX & AZ; Z & Z'les diftances de la troisieme aux deux axes AY & AX; qu'on appelle pareillement, pour le vent, X' & X" les diftances de la premiere force, & Y", " les diftances de la feconde aux mêmes axes, 'on pourra à caufe de la petiteffe des angles q, r, regarder toutes ces diftances comme conftantes, & comme étant celles de ces mêmes forces, aux axes qui palferoient par le centre de gravité parallélement à la quille, perpendiculairement à la quille dans le fens vertical, & perpendiculairement à la quille dans le fens horizontal. Alors en vertu de tout ce qui a été dit depuis le n°. 657, & eu égard aux réductions indiquées (659) on aura

3

neu TY+ neu2T'Z'de' - n'e'T" "Y"u" fin2 g fing'di +epdi' [-hV's - Sly + (N + N') s]= (B+F) dds neu TXdr+neu' T'Zdr-n'e'T" X" fin2 g cofg'd t

2

+epdi (hV'r'— 2 Ir') = ( A + B)ddr

neu2 TY'd2-neu' TX'd t'- n'e'u'""'Y' fin' g fin g'di ➡n'e'u2T""X" fin2 g cofg'd i2= − ( A +F) dd q

M

=

neu2 T" M

(V'+Sy➡ Sls)]=ddy. Et

trices du centre de gravité parallélement & perpendiculairement à la quille.

Ce font là les équations qui détermineront par quels degrés le vaiffeau s'incline d'une petite quantité, dans tous les fens, tant par l'action des voiles que par la réfiftance de l'eau, & par fa pouffée verticale réfultante de la preffion feule. Mais les degrés par lesquels le vaiffeau prend de l'inclinaison, ne font pas tant ce qu'il importe de connoître que la melure même de cette inclinaifon, & des caufes qui peuvent la produire jufqu'au moment où le vaiffeau arrive à l'état d'uniformité. Or c'eft ce qu'il eft facile de déterminer à préfent. En effet, quand le vaiffeau eft arrivé à l'état d'uniformité, il eft vifible que le mouvement de fon centre de gravité ne recevant plus aucun changement, on doit avoir n'e'T'"'u'2 fin2g cof g' - ne u2 1 = 0, n'e' T'''u'2 fin2 g fin g'- ne u2 1 ' = 0 l'accélération verticale du centre ) =0; ouddy = 0, puisque nous fuppofons de conftant; par la même raifon on doit avoir ddr=o, d ds = o, d d q = o. Faifant donc ces suppofitions dans les quatre équations que nous venons de trouver,

2

d

dy

(a) qui exprime

d t

& mettant au lieu de - h, la quantité qui, comme nous l'avons déja vu, exprimera la diftance du centre de gravité au métacentre; mettant aufi au lieu de e V', la maffe M du vaisseau, on aura, à l'aide de ces équations & des deux que nous venons de trouver, le rapport général entre la force du vent, la réfiftance de l'eau fur la carene, l'étendue des voiles, la figure de la carene, la fituation du point vé lique, le poids du vaiffeau, la diftance de fon centre de gravité au métacentre, l'inclinaifon dans le roulis, l'incli

naifon dans le tangage, & la quantité dont le centre de gravité fera élevé par l'action combinée de la réfistance de & du vent; en un mot, tout ce qui peut détermiper la ftabilité du vaiffeau.

Nous aurions bien defiré pouvoir nous livrer ici, eux conféquences également utiles & nombreuses qui résultent de ces équations, ainfi que des principes que nous avons exposés fur les mouvements de rotation. Mais de pareils détails ne peuvent être fuffisamment expofés que dans un Traité particulier du navire; & les autres matieres qui nous restent à traiter, ne nous permettent pas d'en rien dire davantage ici. C'est par cette même raison que nous ne nous arrêtons pas non plus à l'intégration des deux équations du n°. 659, qui donnent les ofcillations pour le tangage & celles du centre de gravité; équations qui font voir que ces deux mouvements font abfolument dependants l'un de l'autre, & qu'ils ne feront fimultanés que dans un très-petit nombre de cas; enforte qu'on doit regarder comme trop limité, ce que M. Bouguer a donné fur cet objet, puifqu'il y a fuppofé que ces deux mouvements étoient toujours fimultanés. Au refte comme cette matiere eft très-utile, nous espérons pouvoir nous en occuper plus particuliérement dans la fuite.

De l'équilibre & du mouvement fur les plans.

661. Si un corps P (Fig. 164) de figure quelconque, qui touche un plan XZ en un point quelconque C, eft follicité par une force unique; il ne peut demeurer immobile fur ce plan qu'à ces deux conditions: 1°. que la direction AD de la force unique qui le follicite, fera perpendiculaire au plan Z; 2°. que cette direction paffera par le point C, où ce corps touche le plan.

A a iij