hauteur, & ou une troisieme proportionnelle à QS & Qs QI pour bafe; le quadruple de la fomme de ces rectangles exprimera la furface cherchée, laquelle étant multipliée par finx cofx donnera la mesure de l'effort latéral; ainfi en appellant B cette furface, on aura B fin x cof x pour l'effort latéral; quantité dans laquelle il eft facile de voir que B fera toujours une quantité d'autant plus grande que le navire aura plus de longueur, la largeur reftant la même. Et comme l'angle x eft fuppofé petit, ce qui donne cof x, prefque 1, on peut réduire cette expreffion à Bfinx. Du Solide de la moindre réfiftance: 428. Nous nous bornerons aux folides de révolution, & nous ferons abftraction de la dérive. Cette queftion peut être propofée de deux manieres : elle peut regarder les folides de même base & de même maffe, ou les folides qui n'ont de commun que la base. La quantité de mouvement que le folide perd à chaque inftant, eft égale à l'impulfion du fluide, eftimée dans le fens de l'axe. D'un autre côté, cette même quantité de mouvement eft égale à la viteffe perdue, multipliée par la maffe; donc la viteffe perdue eft égale à l'impulfion divifée par la maffe du folide; donc le folide de la moindre réfiftance, ou qui perdra le moins de vîteffe, entre tous ceux de même base, fera celui dans lequel l'impulfion du fluide, divifée par la maffe du folide, fera un minimum. Donc la différentielle de l'expreffion de l'impulfion divifée par la maffe, doit être zéro. Donc fi la maffe eft fuppofée conftante, la différentielle de l'impulfion, doit être zéro. Examinons d'abord ce premier cas. Soit donc Mm (Fig. 24) une portion infiniment petite de la courbe génératrice du folide cherché. Prenons un point N infiniment plus près de cet arc, que M ne l'eft de m; & ayant mene les deux petites droites MN, Nm, concevons que MNm foit un petit arc appartenant à la courbe génératrice d'un autre folide de révolution. Il faut donc que la différence des impulfions faites fur les furfaces engendrées par Mm, & par MN n foit zéro; car la propriété demandée doit avoir lieu, quelle que foit la longueur du folide. Nommons donc AP, x; PM, y; & ayant mené No q parallele à AP; & du point o où elle coupe Mm, ayant mené or parallele à PM, & tiré Ms parallele à AP; nous aurong Ms=dx, os=dy, oq=dx + d d x, mq=dy+ddy, Mods, & (en fuppofant ds conftant)om= ds. Des points M & m comme centres, & des rayons MN & mo, décrivons les arcs Ni, lo. En comparant les triangles Nio, Nlo, aux triangles Mos, omq, chacun à fon correfpondant, & nommant No h on aura oi= NI= h(dx + ddx) ; donc MN=ds hd x ds, hdx & Nm ds+ ds ds Or (422) l'impulfion fur Mo, produit ds cydys , c étant dans le fens de l'axe, un effort exprimé par la circonférence du cercle dont le rayon = 1; donc l'im pulfion fur om, sera pulfion totale fur Mom fera ; & l'imd s2 cydy3+c(y+dy) (dy + ddy )3 d s2 Par la même raifon, l'impulfion faite fur MN fera ou (Alg. 157) en élevant le dénominateur à la puiffance-2, & ne prenant que les deux premiers termes de la férie, parce que heft infiniment petite,l'impulfion fera 2 chyd y3 dx cydy 3 + Pareillement l'impulfion faite fur Nm c(y+dy) (dy+ddy)3 dsz fera 2 he (y+dy) (dy+ddy)3 x (dx + d d x); enforte que l'impulfion totale faite fur MNm › cydy3 fera + ds 1 (y+dy)(dy+ddy)3 ds2 2hc(y+dy) (dy+ddy)3 d s4 (dx+ddx); donc la différence des impulfions faites fur 2 chydy3d 2ch (y+dy) (dy+ddy )3 d st MNm & fur Mom, fera d st n'eft autre chose (au laquelle doit être égale à zéro. On a donc d (ydy3 dx) d st C, ou y dy3 dx Cds4= & en intégrant aura y= € (p2 + 1)2 donc d x= ∙Cpd⋅ (p2 + 1)22 ; quan tité qui s'intégre en partie algébriquement, & en partie par logarithmes. Ayant x & y en p, il fera facile de conftruire la courbe. Si la maffe n'eft pas conftante; alors fi on nomme l'im pulfion, & m la maffe; il faut que d ; c'est-à-dire, que fi l'on paffe du fod m m lide engendré par Mom, au folide engendré par MNm, l'impul ૐ fion augmente comme la maffe;donc le rapport eft un rapport doit être égal à une conftante k; ainsi on = dm d m s'agit donc plus que d'avoir la valeur de dm; c'est-à-dire, la différence des accroiffements des deux folides, ou le petit folide engendré par MOm N M. Or il eft facile de trouver que ce petit folide a pour expreffion chydy; on aura donc yd y 3 d x k. Nous venons de trouver la valeur de di, il ne 2 chd ( dx dst =k, ou 2 d (dyd)=kydy; d'où chydy ky2; équation dans laquelle l'on tire y dy3 dx =c+ 2 faifant dx= pdy, comme dans le cas précédent, on aura y en p; & par conféquent x en p; ce qui donnera le moyen de conftruire la courbe. De ces deux folutions, la premiere eft celle qui peut regarder le navire arrivé à l'état d'uniformité. En effet, fi on appelle I, l'impulfion du vent fur les voiles, i l'impulfion de l'eau fur la proue, & M la maffe du navire, on a généralement M = maximum, il faut que d du d t dI-di M (I-i)d M =o. Mais lorsque le navire eft arrivé dI-di à l'uniformité, on a I—i—o; on = a donc M o ou dl=di; mais la vîteffe du vent, fon obliquité fur les voiles, & la surface des voiles reftant les mêmes d I aura pour facteur la quantité du qui eft ici zéro; donc dl=0; donc l'équation qui fatisfait à la queftion actuelle pour le navire arrive à l'uniformité, eft di= O. Du Mouvement rectiligne des corps, dans les milieux réfiftants. 429. On voit, par ce qui précede, qu'un corps mu dans un espace ou milieu réfiftant, en vertu d'une impulfion primitive, perd continuellement de fa vîteffe, & peut même décrire une ligne courbe, fi fa figure eft telle que les effets de la réfistance, de part & d'autre de la direction de fon mouvement ne se détruifent point. Nous ne confidérerons, pour le préfent, que le mouvement qui a lieu, lorfque ces effets fe détruifent; c'est-à-dire, que nous fuppoferons que le corps n'éprouve de changement que dans fa vitelle. Cela pofé, puisqu'on peut toujours trouver une furface plane qui étant expofée au choc d'un fluide, éprouve le même choc que la furface d'un corps quelconque mu dans ce même fluide, nous fuppoferons cette furface connue & représentéę par s. Alors fi u marque la viteffe actuelle de ce corps, la réfiftance qu'il éprouve, fera (404) exprimée par n D su❜dt; c'eft la quantité de mouvement que ce corps perd à chaque n Dsudt inftant.Donc fi Meft la maffe de ce corps la viteffe qu'il perd; on aura donc M n Dsu' dt M Lera(189) =dus pour l'équation qui fert à déterminer les circonftances du mouvement d'un corps, fans pefanteur, dans un milieu ré fiftant. Cette équation donne du nDsdt & en inté M Si v marque la viteffe que le corps a reçu au commencement du mouvement il faudra que la conftante C foit telle I =0 que lorsqu'on fuppofera to, on ait u=V. Donc C+ =0 & par conféquent C= Done enfin séquationt qui donnera la viteffe au bout d'un temps quelconque . 430. Si l'on veut favoir quel eft l'efpace décrit au bout d'un temps quelconque ; en nommant x cet efpace, on aura dx=udt, (210). Tirant donc de l'équation précédente la valeur de u, & la fubftituant dans celle-ci, on aura l(M+nDsVt). Or puifque x eft l'espace décrit pendant le temps, la conftante C' doit être telle M que *=o, lorfque to. On a donc p =C' + IM, & M n Ds M par conféquent C'-M; donc x=(M+nDsVi) On peut arriver au même résultat, par plufieurs autres voiešā |