Borda a trouvé par expérience que la résistance de la fphere eft moindre que la moitié de celle de fon grand cercle, & I ; puis donc que la fur

qu'elle n'en eft que la partie

2,44

face du grand cercle du Globe, dont il s'agit, eft de o 12019 de pied quarré, la furfaces fera s=0, 0492 ; a¡nfi nDS

M

ou g

k'

0476.

Cela pofé, puifqu'on a g = 29, 03, on aura donc k'o, 0016397, & par conféquent ko, 040498; donc puifque t = 8', gk i=9, 6392; multipliant donc par 0,43429448, nous aurons 4, 1862513 pour le logarithme de e dans les tables; donc e8kt 15355 ; & par conféquent

=

kt

pris

·e2g kt +1

e2gkt=153552; d'où

+I

=7677 à peu près. Son

2e8k t

logarithme pris dans les tables eft 3, 8851915; multipliant

donc par 2, 3025851, on aura x=

8,9459838 8,9459838

187, 9. Or l'expérience a donné 206, 5; la différence eft 18, 6 pieds. Il paroît donc que la mefure que nous avons prife pour la réfiftance de l'air, eft ici un peu trop forte. Quoi qu'il en foit; dans le même temps, c'est-à-dire, en 8", ce même Globe fans la réfistance de l'air auroit dû tomber de 1008 pieds.

436. Si dans l'équation ( 1 --- -B)pde

que nous avons trouvée ci-deffus, on suppose (1 dio; on aura duo; c'est-à-dire, que le corps ceffera de s'accélérer; fon mouvement deviendra donc uni

M

forme. Or cette équation donne (MMD) pdt =nDswdi,

D'

'dans laquelle le premier membre exprime le poids du corps dans le fluide, & le fecond, exprime la résistance; le mouvement deviendra donc uniforme, quand la résistance sera devenue égale au poids du corps dans le fluide.

437. S'il n'y avoit pas d'autre réfiftance que celle qui vient de l'inertie du fluide, les corps pefants n'arriveroient à Cet état d'uniformité qu'au bout d'un temps infini : c'est ce qu'il eft facile de voir, en différenciant l'équation e28kt_1

#=

I e

k

; on verra que du ne peut être zéro, +I

2g kt e

qu'en fuppofant t infini. Mais les parties des fluides opposent une autre forte de réfiftance, qui vient de leur adherence entre elles : & quoique cette réfiftance foit beaucoup plus petite que la premiere, elle fuffit cependant pour amener bientôt le mouvement à l'uniformité.

I

e2gkt_

fait voir qu'au

k z

bout d'un intervalle de temps médiocre, les accroiffements des efpacesapprochent de plus en plus,d'être proportionnels aux

accroiffements du temps; parce que la fraction

zgkt

e2gkt

-I

+

approche fans ceffe de l'unité. Donc il ne faut ajouter qu'une médiocre réfiftance pour ramener le mouvement à l'uniformité.

438. Paffons au mouvement du corps lorsqu'il monte.

d t

dx2 ) de=

convient à ce cas, fe change en (g+gk2

en appellant x l'efpace parcouru, & faisant les

mêmes fubftitutions que dans le cas précédent.

Or le fecond membre (111) eft l'élément d'un arc de cercle

(kda)

t

k2dx2

dont le rayon eft 1, & dont la tangente eft

kdx

Pour déterminer la conftante C, on obfervera que lorf

d x

que to, la vîteffe, ou doit être égale à la viteffe

d t

initiale que je repréfente par m. Donc km

kdx

d t k®

C; donc

-km- tang gkt; done dx= x= mdt- tang gkt= dt dt fing ki and

k cofgkt

équation dont l'intégrale eft

x=mt+ Icofg kt, à laquelle il n'y a point de confgk2

tante à ajouter, parce que lorfque to, elle donne x=o, ainfi que cela doit être. C'est par cette équation qu'on déterminera à quelle hauteur le corps eft arrivé après un temps donné t.

dx

d t

439. A l'égard de la viteffe ; puifqu'elle eft égale à

, l'équation

kdx

dt I

k

tang gkt. Donc pour déterminer au bout de

quel temps le corps ceffera de monter, on aura

I

m tang gkto ou tang gtkm; d'où il fera facile

de connoître gkt, & par conféquent t; lequel étant une fois connu & fubftitué dans l'équation qui donne la valeur de x fera connoître à quelle hauteur le corps peut monter avec une viteffe donnée m.

440. Remarquons, en terminant cette matiere, que fi_la réfiftance au lieu d'être proportionnelle au quarré de la viteffe, étoit proportionnelle à une fonction quelconque de la viteffe, on pourroit toujours trouver la relation de l'espace au temps & de la viteffe au temps, foit par intégration immédiate foit par les quadratures. Car fi la réfiftance étoit proportionnelle à une fonction de la viteffe, repréfentée par F (u), on auroit dt F (u)±du; c'est-à-dire, d t = ± F (u) équation toute féparée & réduite aux premieres différences.

du

étant trouvé, on aura aifément x, au moyen de l'équation d xudt.

De la viteffe que prend le Navire par

l'action du vent.

441. Le navire ne prend que fucceffivement la vîteffe avec laquelle il fe meut au bout d'un certain temps: fon mouvement s'accélere par les impulfions fucceffives du vent; mais cette accélération a un terme, paffé lequel, le navire fe meut uniformément; c'eft cette derniere viteffe dont nous voulons déterminer le rapport avec celle du vent.

Pour y parvenir, nous obferverons que tout ce qui précede, fuppofe que l'un des deux, le fluide, ou le corps que nous avons considéré, eft en repos. Ainsi, le choc d'un fluide qui (toutes chofes d'ailleurs égales) eft proportionnel au quarré de la vîteffe du fluide lorfqu'il rencontre un corps en repos, n'eft plus proportionnel au quarré de la vîteffe abfolue du fluide, lorfque le corps se meut; mais feulement au quarré de la vîteffe avec laquelle le fluide atteint ce corps.

Pour trouver cette viteffe, il faut en général concevoir la vîteffe du fluide, dé

compofée en deux autres, dont l'une fort égale à celle du corps & de même direction; la feconde fera celle dont le quarré doit être employé dans la mefure de l'impulfion; car il eft évident qu'en vertu de la premiere, le fluide n'auroit aucune action fur le corps.

442. Cela pofé, concevons d'abord que le vaiffeau fuit la route directe; & réduifons, par la penfée, la totalité des parties des voiles qui portent, à une feule voile dont S′ repréfente la furface. Soit XAC (Fig. 25) ia direction du vent que nous fuppofons fe. mouvoir horisontalement; AC fa vîteffe; AD celle du navire. Si l'on tire CD, & que par le point A, on mene A E parallele à CD, & par le point C, CE parallele à AD; au lieu de concevoir que le vent vient suivant AC, on pourra fuppofer qu'il a, tout à la fois, fuivant A D & A E, les deux vîteffes AD, AE. Or la viteffe AD étant égale à celle du navire, il eft évident qu'en vertu de cette viteffe, le vent ne peut avoir aucune action fur la voile PQ. C'est donc en vertu de la vîteffe AE, & fuivant la direction AE, que le vent agit réellement fur la voile; en forte que, pour le dire en paffant, c'eft réellement fuivant AE que le vent fe fait fentir à ceux qui font