COROLLAIRE I. Il fuit de-là, premiérement, que fi les Sinus de deux arcs également diftans de la fixiéme partie du cercle, font donnés, l'on trouvera le Sinus de la différence de l'un de ces arcs à la fixiéme partie du cercle. Par exemple, foit donné le Sinus de 40 dégrés, à fçavoir 64278, & celui de 80 dégrés, à fçavoir 98480, qui font également diftans de 60 dégrés, qui eft la fixiéme partie du cercle, l'on trouvera le Ŝinus de 20 dégrés, à fçavoir 34202; parce que la différence du Sinus de 40 dégrés à celui de 80 étant égale au Sinus de 20 dégrés, il est évident que fi l'on fouftrait le plus petit du plus grand, ce qui reftera, fera le Sinus cherché. COROLLAIRE II. Il s'enfuit encore que fi le Sinus d'un arc moindre que la fixiéme partie du cercle eft donné, avec le Sinus de la différence de cet arc à la fixiéme partie du cercle, on trouvera le Sinus d'un arc qui furpaffera autant la fixiéme partie du cercle, que l'autre en étoit furpassé. Ainfi le Sinus de 50 dégrés, à fçavoir 76604, étant donné, avec le Sinus de 10 dégrés, à fçavoir 17365; (différence de so dégrés à la fixiéme partie du cercle,) on trouvera le Sinus de 70 dégrés. Car d'autant que la différence du Sinus de 50 dégrés à celui de 70 eft égale au Sinus de 10 dégrés qui eft le défaut de 50 dégrés à la fixiéme partie du cercle, il eft évident que fi au Sinus de 50 dégrés (76604) on ajoute le Sinus de 10 dégrés (17365) qui viendra (à fçavoir 93969,) fera le Sinus de 70 dégrés que l'on demande. ce wwwww COROLLAIRE III. De même étant donné le Sinus de 70 dégrés avec celui de 10, il est évident qu'en ôtant celui-ci de l'autre, il reftera le Sinus de so dégrés. PROPOSITION IV. Le Sinus verfe d'un arc, & le Sinus droit de fon com- Sorr FG le Sinus verfe de l'arc GE, & ED, le Fig, s. Sinus droit de fon complément EC; je dis que FG & ED, font égaux au rayon AG. Car puifque DF eft un parallelogramme, ED eft égale à AF, à quoi ajoutant FG, vient le rayon AG. COROLLAIRE. Il fuit de-là que le rayon étant donné, & le Sinus droit du complément de quelqu'arc, le Sinus verfe de cet arc fera connu, car en ôtant du rayon le Sinus droit donné, reftera le Sinus verse cherché. Ou bien le Sinus verfe d'un arc étant donné avec le rayon, le Sinus droit de fon complément fera connu; car en ôtant du rayon le Sinus verfe donné, reftera le Sinus droit cherché.. PROPOSITION V. THEOREM E. Les quarrés des Sinus droits & verfes d'un arc font égaux au quarré de la foutendante du même arc. ΟΙΤ SOIT CF le Sinus droit de l'arc CE, & FE fon Fig. 6. Sinus verfe ; je dis que leurs quarrés font égaux au quarré de la foutendante CE. Fig. 6. Fig. 7. Pour le prouver. Le triangle CFE étant rectan gle, il eft évident que les quarrés de CF & de FE, font égaux au quarré de CE. COROLLAIRE. Les Sinus droits & verfes d'un arc étant donc donnés, on connoîtra la foutendante de cet arc, & le Sinus droit de fa moitié. Soit, par exemple, EF, 6; & CF, 8; leurs quarrés 36, & 64 étant ajoutés font 100 pour le quarré de CE, dont la racine quarrée eft 10, qui eft ce que vaut la foutendante cherchée; & 5 eft la valeur du Sinus droit du demi-arc. PROPOSITION VI. THEOREM E. Au quart de cercle, le Sinus droit d'un arc eft moyen Sort, par exemple, EC, double de l'arc ED; Pour le prouver. Aux deux triangles AHE, CFE, l'angle AHE étant droit, & partant égal à CFE, & l'angle au point E étant commun; il s'enfuit que ces deux triangles font équiangles, & qu'ils ont les côtés autour de l'angle commun E proportionels (par la 4 du 6;) c'est-à-dire, que comme" AE eft à EH, ainfi CE eft à EF; ou bien comme la moitié de AE, eft à EH; ainfi la moitié de CE, à fçavoir EH, eft à EF; Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE. Il fuit de-là que fi le rayon eft donné avec le Sinus droit de quelqu'arc, on trouvera le Sinus droit d'un arc double; & enfuite l'on trouvera auffi le Sinus verfe de cet arc double. Soit, par exemple, le demi-rayon AG, 4; & Planche 24 EH Sinus droit de l'arc ED, 6; on trouvera le Sinus Fig. 15. verfe EF, 9. Car puifqu'il y a même raifon de AG à EH, que à fçavoir 9. Et pour trouver la valeur de CF, Sinus droit de CE, double de ED, après avoir trouvé le Sinus verfe, il faut trouver (par la Propofition 4) le Sinus droit du complément de cet arc double; & par le moyen de ce Sinus droit, trouver (par la 2 Propofition) le Sinus droit cherché. Ou bien il s'enfuit qu'étant donné le Sinus verfe d'un arc avec le demi-rayon, on trouvera le Sinus droit d'un arc, qui fera la moitié de l'arc propofé. Car puifqu'il y a même raifon du demi-rayon au Sinus cherché, qu'il y a de ce même Sinus, au Sinus verfe de l'arc double propofé, il est évident, par les règles des proportions, que fi l'on multiplie les deux extrêmes donnés, l'un par l'autre, le produit fera le quarré du Sinus cherché. Soit, par exemple, AG, 4; & EF, 9; fi vous les multipliez l'un par l'autre, le produit fera 36, dont la racine quarrée 6 fera la valeur du Sinus Fig. 8. Fig. 8. PROPOSITION VII. THEOREM E. La tangente d'un arc eft au rayon, comme le Sinus Au quart de cercle ADC, foit DE tangente de l'arc DF, dont FG eft le Sinus droit, & foit FB Sinus droit de fon complément FC; je dis qu'il y a même raifon de la tangente DE au rayon DA, que de FG à FB, ou à GA fon égale. Pour le prouver. Aux deux triangles EDA, FGA, les deux angles G & D font droits & égaux, & l'angle A commun; partant ces deux triangles font équiangles, & ont les côtés autour des angles égaux G & D, proportionnels; c'eft-à-dire, que comme ED eft à DA, ainsi FG eft à GA, ou à FB fon égale. On peut convertir ainfi cette propofition, en difant qu'il y a même raifon de FB, Sinus d'un arc donné, à FG, Sinus de fon complément, qu'il y a du rayon AD, à la tangente de ce même complément DE. COROLLAIRE. Etant donc donné le Sinus droit d'un arc, & celui de fon complément, avec le rayon, on trouvera la tangente de ce même complément; car puifque ces quatre chofes font proportionnelles, il eft évident que les deux moyens connus étant multipliés l'un par l'autre, & le produit divifé par l'extrême connu, il viendra l'autre extrême cherché. Soit, par exemple, AG, ou fon égale FB, 6; |