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prietés, &, pour ainfi dire, la nature des lignes courbes; & tirer de là l'idée qu'on doit fe former de toutes les courbes. Ce huitiéme Livre eft divifé en trois Parties. Les ufages de l'Analyse, en n'employant que le calcul ordinaire de l'Algebre, font expliqués dans la premiere. La feconde contient le cacul differentiel, & les usages qu'en fait l'Analyse. On fait découvrir dans la troifiéme, par le moyen de l'Analyfe, les regles du calcul integral, & l'on fait voir enfuite les ufages qu'elle fait de ces regles.

PREMIERE PARTIE.

Sur l'ufage de l'Analyje, en n'employant que le calcul ordinaire de l'Algebre.

Ο

N fait voir dans la premiere Section, que l'Analyse reprefente les lignes & les figures de la Geometrie par les lettres de l'Alphabet, & tous les rapports fimples & compofés que peuvent avoir ces lignes & ces figures par le calcul de ces lettres; & que par confequent les lignes & les figures font les valeurs geometriques des expreffions litterales, & les rapports de ces lignes & de ces figures font comme les objets reprefentés par les calculs de l'Analyse ; Cela doit faire appercevoir aux Commençans l'ufage de l'Analyse dans la Geometrie, & leur faire concevoir tout l'artifice des Methodes qu'elle donne pour en réfoudre les Problêmes, qui confifte en ceci.

Elle reprefente par des lettres differentes les grandeurs inconnues que l'on cherche, & les grandeurs connues ou données dans chaque Problême; elle trouve par le calcul les équations qui expriment les rapports connus entre les grandeurs connues & les inconnues, lefquels rapports font les conditions qui déterminent la nature du Problême: Elle découvre les grandeurs inconnues, en les feparant des grandeurs connues, & faifant en forte, par des calculs re

glés, que les lettres des inconnues deviennent égales à des lettres des feules grandeurs connues jointes ensemble par l'addition, ou la fouftraction, ou la multiplication, &c. & c'est là la résolution analytique du Problême. Pour avoir la résolution geometrique qu'elle reprefente, l'Analyse em ploye la Geometrie, & elle fait tracer les lignes & les figures qui ayent entr'elles les rapports & les proportions exprimées par la réfolution analytique; ce qui donne les li gnes & les figures qui font la réfolution geometrique du Problême.

L'art qu'on vient d'expliquer eft mis en pratique dans tout ce huitiéme Livre. Pour commencer par les chofes les plus faciles, on l'employe dans la premiere Section à découvrir les proprietés des triangles rectangles confiderés feuls, & enfuite dans le cercle; & à trouver par ces proprietés la réfolution geometrique des équations du fecond degré, c'eft à dire, les lignes qui font les valeurs de l'inconnue de ces équations.

Pour faire voir l'utilité de l'Analyfe dans les Sciences Phyfico-Mathematiques, on l'employe dans la feconde Section à découvrir la réfolution des Problêmes de l'art de jetter des bombes, & de ceux qui font fur les centres de pefanteur & d'ofcillation; ces derniers fervent à donner la jufteffe aux horloges.

Les Commençans pourront déja voir dans ces deux premieres Sections le parfait accord de l'Analyse avec la Geometrie & avec la nature même. Car lorfque l'Analyse exprime le Problême qu'on veut réfoudre par une équation du fecond degré, & qu'elle donne deux valeurs pofitives de l'inconnue que l'on cherche dans le Problême la résolution geometrique fournit auffi deux lignes differentes reprefentées par ces valeurs: dans les Problêmes de l'art de jetter les bombes, il y a deux inclinaifons du mortier reprefentées par les deux valeurs analytiques, qui font propres à lui faire jetter la bombe par une même force de poudre à l'endroit où on la veut faire tomber; & dans les Problêmes fur le centre d'ofcillation d'un pendule compofé, il y a deux endroits dans le pendule, qui répondent aux deux valeurs analytiques, propres à placer la lentille, pour faire que les vibrations du pendule marquent les fecondes. Quand les

deux valeurs analytiques fe trouvent égales, les lignes geometriques qu'elles reprefentent le font auffi; les deux inclinaifons du mortier fe réduifent à celle de 45 degrés, qui donne la plus grande étendue de tous les jets de bom be par une même force de poudre ; & les deux endroits du pendule où il faut mettre la lentille fe réuniffent au point, où arrêtant la lentille, on rend les vibrations du pendule les plus promptes qu'il eft poffible. Quand l'Analyfe découvre que les deux valeurs font impoffibles, on trouve une contradiction dans la réfolution geometrique ; l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe, fe trouve hors de la portée de la poudre; & l'on trouve auffi qu'il y a une contradiction dans les fuppofitions que l'on a faites fur le pendule compofé, &c. Tout le refte du huitiême Livre est employé à faire voir les ufages de l'Analyfe dans la Geometrie compofée, c'est à dire, dans la fcience des lignes courbes, & dans la résolution des Pro blêmes Phyfico-Mathematiques qui en dépendent.

On explique dans la troifiéme Section la maniere de reduire les courbes à des équations qui en expriment les principales proprietés: la voici. On fuppofe fur le plan où est chaque courbe une ligne droite dont la position eft donnée fur le plan, & un point fixe d'où elle part, qu'on nomme fon origine, qui eft auffi donné. Cette droite fe nomme la ligne des coupées: on fuppofe une infinité d'autres droites toutes paralleles entr'elles qui partent de tous les points de la courbe, & vont toutes couper la ligne des coupées, on les appelle les ordonnées; la partie de la ligne des coupées depuis l'origine jufqu'à l'ordonnée qui la termine, eft la coupée de cette ordonnée; &, pour abreger, on nomme chaque coupée & fon ordonnée correfpondante, les coordonnées. Or dans toutes les courbes regulieres il y a un rapport commun qui regne entre les coordonnées, qu'on peut regarder comme le rapport commun à tous les points de la courbe d'où partent les ordonnées. Ainfi en nommant chaque coupée par une même lettre, qu'on appelle changeante, parcequ'elle reprefente, fucceffivement toutes les coupées; reprefentant de même chaque ordonnée par une autre lettre qu'on nomme changeante par la même raifon; marquant auffi par des lettres differentes les lignes connues qui fervent à déter

miner le rapport commun aux coordonnées: Analyfe exprime ce rapport commun à tous les points de la courbe par une équation; les changeantes des coordonnées y tiennent lieu de deux inconnues. On a fait voir dans la premiere Section, que l'on peut de même exprimer par une équation le raport commun de tous les points d'une ligne droite, en concevant de tous fes points des droites paralleles tirées à la ligne des coupées fur le même plan où eft la ligne droite.

C'eft de ces équations, qui expriment la nature des courbes, que l'Analyse deduit leurs proprietés, & la resolution des Problêmes qui les regardent. C'eft de ces mêmes équations qu'elle prend la diftinction des courbes en geometriques & en mechaniques: les équations des premieres ne contiennent que des expreffions ordinaires de l'Algebre, le nombre des dimenfions des changeantes eft déterminé, & les coordonnées font toujours de fimples lignes droites : Parmi les courbes mechaniques, les unes ont des courbes pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux; d'autres ont des lignes droites égales à des arcs de courbe pour l'une ou l'autre des coordonnées, ou pour toutes les deux. Il y en a dont le nombre des dimenfions des coordonnées n'eft pas déterminé; la plufpart ne peuvent s'exprimer que par des équations qui contiennent des differentielles. Enfin les équations des courbes geometriques fervent à les ranger en differens ordres qu'on appelle genres, felon le nombre des degrés où font élevées les puiffances feparées des changeantes, ou felon le nombre des dimensions du produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, quand ce produit eft le feul terme qui contient des changeantes ou quand il a plus de dimenfions que la puiffance la plus élevée de l'une ou de l'autre des changeantes feparées.

Les courbes geometriques les plus fimples, ou du premier genre, font celles qui s'expriment par des équations où la plus haute puiffance des changeantes feparées ne monte qu'au fecond degré, ou bien dans lefquelles le produit des changeantes multipliées l'une par l'autre, n'eft que de deux dimenfions; on les appelle Sections coniques, parcequ'elles peuvent fe former par la fection commune d'un plan & d'un cône. Les Geometres anciens & nouveaux fe font appliqués à décrire ces courbes, à en découvrir les proprietés, à en

refoudre les Problêmes, & à les faire fervir à la refolution de beaucoup d'autres Problêmes; cela les a rendues de grand ufage. On enfeigne dans cette troifiéme Section leur formation, c'est à dire, la maniere de les décrire fur un plan, 1°, par le mouvement continu du point d'interfection de deux regles mobiles; 2°, en trouvant fucceffivement les points par où elles doivent paffer. On tire de leur formation les équations qui en expriment la nature, & l'on déduit de ces équations les principales proprietés de ces courbes. On a eu foin de n'oublier aucune de celles qui font necessaires à l'intelligence de ce huitiéme Livre, afin que les Lecteurs qui fçavent au moins mediocrement les Elements d'Euclide, n'euffent befoin d'aucun autre Ouvrage pour entendre celui-ci.

Dans les Sections coniques, (& c'eft à peu près la même chofe dans les courbes geometriques des genres plus élevés,) il y a une ligne déterminée des coupées pour chacun des angles que les ordonnées, paralleles entr'elles, peuvent faire avec leurs coupées : cette ligne déterminée s'appelle le diametre de la courbe. L'équation de la courbe par rapport à ce diametre eft la plus fimple de toutes, c'eft à dire, qu'elle a le moins de termes: mais quand on prend fur le plan de chacune de ces courbes une ligne des coupées differente du diametre, & qui ne lui eft pas parallele; l'équation de la courbe, par rapport à cette ligne des coupées, a un plus grand nombre de termes que l'équation la plus fimple. Dans la refolution des Problêmes qui fe reduisent aux Sections coniques, on trouve rarement l'équation la plus fimple laquelle feroit diftinguer d'abord celle des Sections coniques à laquelle le Problême fe rapporte: mais il fe prefente ordinairement une équation qui a plus de termes que celle de la courbe par rapport au diametre; & cependant les changeantes de l'équation n'ayant que deux dimenfions, la courbe qu'elle exprime eft l'une des Sections coniques. Il faut donc avoir des marques certaines pour diftinguer à laquelle des Sections coniques appartient l'équation qu'on a trouvée, & des moyens pour trouver le diametre de cette Section conique, & les autres lignes neceffaires pour la décrire par la même methode dont on s'eft fervi pour décrire une telle Section conique. On a mis pour cela un Problême dans la troifiéme

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