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tion; qu'ils ne la concevoient fubfiftant que pendant la démonftration; & qu'au moment qu'ils l'avoient faite, ils regardoient cette difference comme devenant nulle, & que le polygone infcrit ou circonfcrit, qui étoit pour ainfi dire l'infinitiéme ne differoit en rien du cercle: Les nouveaux Geometres n'employent auffi les mêmes differences infiniment petites que pendant la refolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & fubfiftantes que pendant leur cal cul; & au moment qu'il leur a donné la refolution, ils fuppofent que les differences s'évanouiffent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils fuppofoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit donc être au même degré que celle des démonftrations des anciens Geometres qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de tout le monde. La feule difference eft que les Auciens ne faifoient fur ce principe que des démonftrations qu'on appelle per abfurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout directement.

On apperçoit même diftinctement, en y regardant de près, les fecondes differences renfermées dans la fuppofition des Anciens, quoiqu'ils n'y fiffent pas de reflexion, & qu'ils n'en euffent pas befoin dans leurs démonftrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux fur le polygone infcrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la difference de l'aire du polygone infcrit dans le cercle, fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée; il est évident qu'il falloit qu'ils conçuffent celui des polygones infcrits, qui étoit, pour ainfi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés; autrement la difference de fon aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition: Or l'on conçoit diftinctement que la diffe rence de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle moindre, par la fuppofition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits fegments de cercle, dont les petits côtés du polygone étoient les cordes: C'est pourquoi ces petits fegments étoient juftement ce qu'on appelle des fecondes differences dans les nouveaux calculs, puifqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere dif

ference, qui étoit celle de l'aire du polygone infcrit d'avec l'aire du cercle.

Aprés avoir établi la fuppofition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les expreffions de ces petites parties qu'on nomme differences ou diffe rentielles. L'on a pris les expreffions de M' Leibnits comme moins capables de caufer des méprifes dans les calculs & dans l'impreffion, & parcequ'elles foulagent davantage l'i magination: On met enfuite le calcul des premieres differences, des fecondes differences, des troifiémes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel.

On explique dans le trois Sections fuivantes l'ufage de l'Analyse en fe fervant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'eft propofé d'être court dans ce Volume des Ufages de l'Analyfe, & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de toutes les courbes; on a réduit à des formules generales les Problêmes qui les font trouver. Ces Problêmes font de deux fortes; la refolution complete des uns dépend du feul calcul differentiel; la refolution des autres fe commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la feconde Section les formules pour refoudre les Problêmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les foutangentes, les perpendiculiaires, les fouperpendiculaires de toutes les courbes, & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où les tangentes de ces points font paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la refolution des Problêmes fur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres, les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui fepa rent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion ; & dans les courbes qui rebrouffent leur chemin, les points de rebrouffement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes fortes de courbes. Ces courbes developées fervent à former les courbes dont elles font les developées, par le develope ment infenfible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il fe develope, décrit les cour

bes dont elles font les developées. Elles font devenues de grand ufage dans la Geometrie compofée & dans la resolu tion des Problêmes Phyfico-mathematiques depuis que M. Hugens en a fait la découverte. On donne des exemples pour apprendre aux commençants la maniere de fe fervir de toutes ces formules, & pour refoudre par leur moyen les Problêmes des courbes particulieres dont ces formules expriment la resolution generale.

On fait de même découvrir aux Lecteurs dans la troifiéme Section les formules generales pour refoudre les princi paux Problêmes fur toute forte de courbes, dont la refolution fe commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral; comme les formules de la rectification des courbes, c'est à dire, pour en trouver la longueur; celles qui fervent à mesurer leurs aires, qu'on appelle leur quadrature; celles dont on tire la mesure des corps folides formés par la révolution des courbes autour d'une ligne droite prise pour axe fur le même plan; celles qui font connoître la mefure des furfaces courbes de ces folides; enfin celles qui font découvrir les centres de pefanteur des courbes, de leurs furfaces, des folides qui en peuvent être formés, & des furfaces courbes de ces folides. On fait voir auffi la maniere d'appliquer ces formules à l'usage par des exemples particuliers On a eu foin de mettre parmi ces exemples les differentielles particulieres de la rectification & de la quadrature des Sections coniques, qu'on appelle les êlemens de leur rectification ou de leur quadrature; afin de s'en fervir dans la troifiéme Partie pour faire concevoir clairement les methodes qu'on y doit donner pour trouver, dans les cas où les methodes du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes de quelques differentielles, pour trouver, dis-je, dans ces cas les integrales finies de ces differentielles, en les réduifant à la rectification ou à la quadrature des Sections coniques.

Les Methodes qu'on a expliquées au long dans le feptiême Livre, font mifes en ufage dans la quatriéme Section pour exprimer par des fuites infinies les integrales des differentielles dont les Regles du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes & finies. On auroit pu en donner une infinité d'exemples; mais on a choifi ceux qui fuffifoient pour apprendre aux commençants à s'en former eux-mêmes tant

qu'il leur plaira, fans trouver d'autre peine dans l'application des Methodes, que celle du calcul, & qui pouvoient en même temps les inftruire de chofes neceffaires dans la Geometrie & dans les Parties Pratiques des Mathematiques. Un de ces exemples fur la rectification des arcs de cercle, fait découvrir une formule generale pour trouver, avec la corde ou le finus d'un arc donné, la corde ou le finus de tel autre arc qu'on voudra; cette formule peut fuffire pour faire par de fimples fubftitutions les tables des finus; & les Lecteurs peuvent trouver des formules femblables pour faire les tables des tangentes & des fecantes. Un autre exemple fur la quadrature de l'hyperbole équilatere par rapport aux afymptotes fait découvrir une formule pour faire, par de fimples fubftitutions, une table des logarithmes hyperboliques. L'on y expli que ces logarithmes, la maniere de les reduire aux logarithmes ordinaires, & la maniere de trouver une formule, avec laquelle on puiffe, par le moyen d'un logarithme donné, avoir le nombre dont il eft le logarithme. On explique de plus les logarithmes des lignes. On verra dans la troifiéme Section de la troifiéme Partie, qu'ils font d'ufage dans la Geometrie compofée. Enfin on fait voir que les mêmes methodes ne fervent pas feulement à trouver les fuites qui font les integrales des élements des courbes, de leur quadrature, des furfaces courbes, & des folides formés par la revolution des courbes; mais auffi les fuites qui font les valeurs connues des lettres inconnues qui entrent ou qu'on peut faire entrer dans ces élemens. On a mis pour exemple le Problême qui fait dé couvrir une formule pour trouver , par le moyen d'un fecEteur quelconque d'ellipfe, dont le fommet eft à l'un des foyers, & dont l'un des côtés eft fur l'axe, l'ordonnée de l'arc de l'ellipfe qui eft la base du secteur. Cette formule donne la refolution directe du Problême aftronomique que Kepler propofa à tous les Geometres de fon temps, & dont il ne peut trouver qu'une refolution indirecte. Ce fameux Aftronome, qui eft à present fort fuivi des Sçavants, fuppofe que les Planetes décrivent des ellipfes par leurs mouvemens propres, & il le prouve en particulier de Mars par le moyen des obfervations. Il fuppofe que le tems moyen d'une revolution entiere doit se mesurer par l'aire entiere de l'ellipfe, qu'on peut con cevoir divisée en 360 fecteurs égaux, lefquels pris de suite

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mefurent le temps moyen des parties de la revolution entiere; il nomme anomalie moyenne chaque fomme de ces fecteurs prife de fuite depuis l'axe d'où il comptoit ces fommes; il lui falloit, pour chacune de ces fommes, ou pour chaque anomalie moyenne, trouver l'angle que formoient au foyer les deux côtés du fecteur qui comprenoit chacune de ces fommes, il appelloit cet angle l'animalie veritable; c'est à dire, qu'il lui falloit trouver pour chaque lieu moyen de la planete, le vrai lieu de cette planete. La formule dont on vient de parler, fert à decouvrir les deux côtés du triangle rectangle, dont l'angle, qui est l'anomalie veritable; eft l'un des angles aigus: ainfi elle fait trouver la refolution de ce Problême, qui peut fervir pour les tables astronomiques.

TROISIÈME PARTIE.

Sur l'ufage de l'Analyse pour découvrir les regles du calcul integral, & fur l'usage que l'Analyse fait de ces regles.

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A methode de retourner des differentielles aux grandeurs entieres, qu'on appelle integrales, dont elles font les differentielles, eft ce qu'on nomme le calcul integral. Ainfi les principes fondamentaux de ce calcul dependent du calcul differentiel. On établit dans la premiere Section trois propofitions fondamentales du calcul integral, qui font des fuites neceffaires du calcul differentiel; & l'on en déduit, par le moyen de l'Analyse, les regles du calcul integral pour trouver les integrales exactes des differentielles qui leur font foumifes. La premiere & la plus feconde de ces propofitions eft pour découvrir les integrales des differentielles qui n'ont qu'une même changeante. On enfeigne aux commençants dans les Corolloraires de cette propofition, la maniere de trouver les integrales des differentielles les moins compofées, & de toutes les grandeurs complexes, (dont les termes font, diftingués par les differentes puiffances d'une même changeante,) élevées à une puiffance quel

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