ordonnées pofitives, & la négative forme une troisième branche de la courbe de l'autre côté, & l'ordonnée de cette troifiéme branche est toujours égale à la fomme des ordonnées correfpondantes des deux autres branches. Il y a une valeur pofitive de la coupée où les deux valeurs pofitives de l'ordonnée deviennent égales; ce qui fait voir que les deux branches formées par les deux ordonnées pofitives se réunisfent au point où conviennent ces deux ordonnées égales, & l'ordonnée de la troifiéme branche eft double de chacune de ces ordonnées égales: fi l'on prend une valeur positive de la coupée qui furpaffe celle qui convient aux deux ordonnées pofitives égales, on trouve que les deux valeurs pofitives de l'inconnue font impoffibles, & qu'il ne refte que feule valeur négative; ce qui fait voir que les deux branches que forment les ordonnées pofitives ne s'étendent pas plus loin du côté des coupées pofitives, mais que la branche que forme l'ordonnée négative continue fon chemin à l'infini. Quand on prend les valeurs négatives que peut avoir la coupée, on trouve toujours qu'il y a deux valeurs impoffibles de l'inconnue des ordonnées, & qu'il ne refte qu'une valeur réelle Elle fert à former une branche de la courbe du côté des coupes négatives. On fait voir auffi dans le même Exemple la maniere de trouver les afymptotes de cette courbe, pour apprendre aux commençants comment ils doivent s'y prendre pour trouver les afymptotes des autres courbes qui peuvent en avoir. la La cinquiéme & derniere Section eft fur l'usage que fait l'Analyfe du calcul differentiel & du calcul integral pour trouver la nature des courbes, c'est à dire, pour trouver les équations qui en expriment les principales proprietés. La plufpart des Problêmes Phyfico-mathematiques fe reduisent à la recherche des courbes qui en donnent la refolution. On en a mis plufieurs Exemples vers la fin de cette derniere Section, & on les peut regarder comme en faifant une seconde partie. On explique dans la premiere Partie ce qu'on appelle la methode inverfe des tangentes: cette methode eft regardée comme l'un des grands avantages que la Geome trie compofée a retiré de la découverte des nouveaux calculs: voici ce qu'on entend par cette methode. On a donné dans la feconde Section de la feconde Partie la maniere de trouver, trouver, par le moyen de l'équation des courbes, leurs tangentes, foutangentes, perpendiculaires, fouperpendiculaires, & les autres lignes qui y ont raport; la maniere de retrouver les équations des courbes quand on en a les tangentes données, ou les foutangentes, ou les perpendiculaires ou les fouperpendiculaires, &c. eft ce qu'on appelle la metbode inverfe des tangentes. Cette methode étoit inconnue avant la découverte des nouveaux calculs; M de Beaune propofa un Problême sur cette methode à M Descartes, qui fit bien connoître le befoin que l'on avoit de calculs differents de ceux de l'Algebre ordinaire pour refoudre ces fortes de Problêmes. On a donné quatorze Exemples de cette methode pour la rendre familiere; le Problême de Mr de Beaune fait le quatorziéme; le premier, le fecond, le septiéme, le huitiéme, le onziéme & le treiziéme contiennent chacun une infinité d'autres Exemples; le douzième, le treiziéme & le quatorziéme ne faifant découvrir que des équations differentielles des courbes que l'on cherche, on donne la construction de ces courbes, pour apprendre aux commençants la maniere de conftruire les courbes dont on n'a que des équations differentielles. On a mis dans la feconde partie de cette derniere Section fix Exemples Phyfico-mathematiques, pour faire voir l'ufage de l'Analyse dans la refolution des Problêmes Phyficomathematiques en employant les nouveaux calculs. M Defcartes, pour faire voir l'utilité de fes découvertes pour ces fortes de Problêmes, a mis dans le fecond Livre de fa Geometrie la conftruction des courbes dont il faut donner les figures aux verres, afin qu'ils raffemblent en un point donné les rayons qui partent d'un autre point donné, par le moyen des refractions de ces rayons à l'entrée ou au fortir de ces verres. Ces courbes, qui font devenues celebres parmi les Geometres, s'appellent les Ovales de M2 Defcartes; il a caché l'Analyfe qui lui a fait découvrir & conftruire ces ovales. On les a prifes pour le premier Exemples l'on y verra combien l'invention en eft facile par les nouveaux calculs; que les regles les plus fimples de ces calculs font trouver d'abord la conftruction de ces ovales; & que l'Analyse fait découvrir par un calcul tres fimple & tres facile que ces ovales deviennent des ellipfes quand les rayons y entrent paralleles, & des hyperboles, quand ils fe prefentent paralleles pour en fortir. Ce celebre Auteur propofe un autre Problême vers la fin du même second Livre, & il laiffe à fes Lecteurs à en trouver la refolution: le voici. L'une des furfaces d'un verre étant la figure formée par la revolution de laquelle on voudra des Sections coniques fur leur axe, trouver la conftruction de la figure qu'il faut donner à l'autre surface de ce verre, afin que les rayons qui partent d'un même point donné, ou qui font paralleles, foient difpofés par les deux refractions qu'ils doivent fouffrir à l'entrée & au fortir du verre à fe réunir à un point donné. On prend pour second Exemple ce Problême, fans le borner aux feules Sections coniques, mais l'étendant à toutes les courbes, c'eft à dire, fuppofe que l'une des furfaces d'un verre ait la figure de telle courbe qu'on voudra, (qui foit feulement fuppofée connue,) il faut trouver la construction de la figure qu'on doit donner à la feconde furface du verre, afin que les rayons qui partent d'un point donné, ou qui font paralleles, foient difpofés par les refractions qu'ils doivent fouffrir à l'entrée & au for tir du verre, à se réunir à un point donné. On a pris pour troifiéme Exemple le Problême fameux où l'on cherche la courbe formée par une chaîne compofée de petits aneaux égaux lorfqu'elle eft attachée par fes deux feules extremités fur un plan vertical. L'illuftre Auteur des nouveaux calculs a donné la construction & de beaux ufages de cette courbe dans les Journaux des Sçavans & dans les Actes de Lipfic, mais il a fupprimé l'équation de la courbe & l'analyfe de fa conftruction. On fait découvrir dans ce troifiéme Exemple l'équation de cette courbe, l'on en donne trois conftructions, dont la troifiéme eft celle de Mr Leibnits, & on les fait découvrir toutes trois par l'Analyse. Les trois derniers Problêmes ont été propofés par M Bernoulli à prefent Profeffeur à Bafle. Les Mathematiques lui ont de grandes obligations, & à feu Mr Bernoulli fon frere, des nouvelles découvertes qu'ils ont faites fur les nou veaux calculs, & de l'émulation qu'ils ont excitée parmi les Sçavants en leur propcfant des Problêmes qu'ils avoient refolus, mais dont ils tenoient les refolutions cachées, afin que les autres euffent le plaifir de les trouver eux-mêmes: ce qui nous a donné la refolution d'un grand nombre de Problêmes nouveaux & utiles. M' le Marquis de l'Hofpital est celui qui a le plus enrichi les Mathematiques des refolutions completes de ces Problêmes, quelques difficiles qu'ils fuffent il a donné celle des trois Problêmes qui finiffent cette Section, mais il a entierement fupprimé l'Analyse du premier, & il a fupprimé une grande partie de celle des deux autres, par les mêmes motifs que M" Bernoulli. Le quatriéme Exemple eft le Problême où il s'agit de trouver la courbe fur laquelle il faut qu'un corps pesant se meuve librement pour aller le plus promptement qu'il foit poffible d'un point donné à un autre point donné, en fuppofant que ces deux points donnés ne font pas dans une même ligne verticale. On fait découvrir par l'Analyse fans y mêler aucune fynthefe, que la cycloïde eft la courbe qui refout le Problême. Le cinquiéme Exemple est le Problême où il faut trouver la courbe dont la revolution autour d'une ligne droite donnée, forme la furface courbe qu'il faut donner à la partie d'un Vaiffeau qui eft dans l'eau, afin qu'il rouve en voguant dans la mer la moindre refiftance de la part de l'eau qui foit poffible. On fait découvrir par l'Analyse l'équation de cette courbe, & la conftruction que l'on en donne. Enfin l'on cherche dans le fixiéme Exemple quelle eft la courbe fur laquelle un corps pefant defcendant par le feul mouvement qu'il recevroit de fa pefanteur, il la prefferoit en chaque point avec une force precifément égale à celle de fa feule pefanteur lorfqu'il eft en repos, où avec laquelle il tireroit un fil auquel il feroit attaché en repos. On fait auffi découvrir par Analyse l'équation de cette courbe, que l'on trouve être une courbe geometrique. Mais ce Problême fuppofant les propofitions qui regardent la chute des corps par le feul mouvement qu'ils reçoivent de leur pefanteur, au lieu de les mettre en fuppofition, on les a démontrées, tant celles qui regardent les chutes perpendiculaires, que celles qui font fur les chutes inclinées, & fur les chutes qui fe font par des courbes; afin que les commençants viffent clairement la refolution que l'on donne en la deduifant des premiers principes, fans avoir besoin d'aucun autre ouvrage pour entendre à fond celui-ci. **** ij Ils auront dans les fept premiers Livres, dans la premiere Section de la feconde Partie du huitiéme où eft expliqué le calcul differentiel, & dans les trois premieres Sections de la troifiéme Partie du huitiéme Livre où l'on a mis les Regles du calcul integral, les methodes qui leur font neceffaires pour refoudre les Problêmes des Mathematiques; & ils trouveront dans le huitiéme Livre entier ce qu'il leur faut fçavoir de Geometrie compofée. Car on leur fait connoître toutes les courbes que peut contenir cette fcience. On leur fait découvrir par Analyfe les principales proprietés des courbes les plus fimples qui font les Sections coniques. On leur apprend à reduire les courbes aux équations qui en expriment la nature. On leur enfeigne à tirer de ces équations les propriétés de ces courbes, & on leur a mis des formules generales qui leur feront découvrir celles de ces proprietés qui font les plus confiderables & les plus utiles, par de fimples fubftitutions. On leur a auffi appris par beaucoup d'Exemples la maniere d'appliquer les metho des de l'Analyfe à la refolution des Problêmes Phyfico-mathematiques. Enfin on a eu foin, dans tout l'Ouvrage, & dans les refolutions les plus compofées, de marquer jufqu'aux moindres démarches de l'efprit pour arriver à ces refolutions afin qu'ils ne fuffent arrêtés nulle-part, & qu'ils devinffent en état d'entendre toutes les nouvelles découvertes, & de faire eux-mêmes celles qu'ils voudront entreprendre. ANALYSE |