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ANALYSE COMPOSÉE,

OU

ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations

compofées.

LIVRE

VIII.

Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie & dans les fciences phyfico-mathematiques; c'est à dire, on explique la maniere de fe fervir de l'Analyse pour resou dre les Problemes de ces Sciences.

AVERTISSEMENT.

N a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui sçavent au moins mediocrement la Geometrie ordinaire: Ils y verront comment les calculs & les operations de l'Analyse sont les expreffions de tous les rapports des lignes & des figures de la Geometrie fimple & compofée, qui en font découvrir les proprietés les plus compliquées, & refoudre les Problêmes d'une maniere fimple, facile, qui n'embaraffe pas l'imagination, & qui laiffe à l'efprit l'étendue dont il a befoin pour découvrir ailément tout ce que ces sciences peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jufqu'à l'infini .

Pour exciter la curiofité des Lecteurs, & pour faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures fpeculations, on a mêlé dans ce huitiéme Livre plufieurs Problêmes des fciences

A

phyfico-mathematiques; comme ceux qui fervent à donner aux pendules à fecondes toute la jufteffe poffible pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui fervent à l'art de jetter les bombes, pour les faire tomber exactement où l'on voudra; ceux qui fervent à faire connoître les figures que l'on doit donner aux verres pour raffembler en un point les rayons de lumiere, &c.

On s'eft feulement propofé de faire connoître les ufages de l'Analyfe, & la maniere de s'en fervir dans la refolution des Problêmes qui s'expriment par des figures; & non pas de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fuffent liées par la dépendance mutuelle des propofitions qui feroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de maniere que les plus fimples précedaffent, autant que cela fe pouvoit, les plus compofées, & qu'elles ferviffent à s'éclaircir mutuellement; & l'on a pris foin pour rendre tous les Problêmes que l'on refout clairs & faciles aux Lecteurs qui commencent, de mettre du moins en fuppofition (n'étant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où ils dépendent, & qu'il faut avoir en vûe pour en concevoir clairement la refolution.

On partagera ce huitième Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de fe fervir de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes de Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l'Algebre ordinaire. Dans la feconde Partie on enfeignera les ufages de l'Analyse dans la resolution des Problêmes des mêmes fciences, en y employant le calcul differentiel. On fera voir dans la troifiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expli quera enfuite l'ufage de ces Regles dans la refolution des Problêmes de la Geometrie & des fciences phyfico-mathemati ques.

267.

268.

PREMIERE PARTIE.

De l'ufage de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes de
La Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, en
fe fervant des feuls calculs de l'Algebre ordinaire.

PREMIERE SECTION.

Dù l'on fait voir comment les calculs de l'Analyse expriment
tous les rapports des lignes & des figures, en font découvrir
les proprietés, & refoudre les Problêmes .

PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE.

POUR exprimer par les calculs de l'Analyfe les rapports FIG L
& les proprietés des figures de la Geometrie, il faut mar-
quer les lignes de ces figures par les lettres de l'alphabet;
par exemple dans la premiere figure on nommera a le côté
AB du triangle ABH; b, le côté BH; c, le côté AH, &
de même des autres figures. On marque ainfi ces dénomi-
nations, AB = a; BH = b; AH = c; ou bien AB
(a) &c.

Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les nom-
mera par une même lettre, de même quand une ligne eft
double, triple, &c. d'une autre ligne déja exprimée par la
lettre, on la nommera 2a, 3a, &c. quand elle en est la moi-
tié, le tiers, &c. par a, a, &c.

Il est évident que addition & la fouftraction des lettres qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes font ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres; par exemple fi AK=d, & AB : =d, & AB= a; la fouftration - d Fic marquera que AK eft retranchée de AB; par confequent a—d=KB. Il en eft de même de l'addition.

269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB (a) à la ligne BH (b), ce qu'il faut remarquer dans l'expreffion de tous les autres rapports des lignes.

270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur b, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par a xb, eft une proportion

271.

272

dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme
font les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre, & le
le quatrième terme eft le produit ab de ces grandeurs; ainfi
chaque produit dans les operations de l'Analyfe exprime une
ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion, dont les
trois premiers termes qui font connus, font l'unité & les deux
grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la
premiere figure, fuppofé que AK foit l'unité; ainfi AK=1;
que AB-a, AM
= a, AM=e; l'on a, en supposant KM & BH pa-
ralleles, cette proportion AK (1). AB (a):: AM (e).
AH, ae=
ou fimplement ae = AH; parcequ'on peut tou-
jours fous-entendre l'unité fous un produit, ou fous une gran-
deur fans la marquer. L'on voit donc que le produit de deux
lignes AB (a) & AM (e) eft une autre ligne AHae, qui
eft la quatriéme proportionelle à l'unité AK & à ces deux li-
gnes AB(a) & AM, (e).

b;

En fuppofant que les triangles AKM, ABH font fem. blables, que AK — 1, AB = a, KM = k, BH BH eft auffi le produit de KM (k) par AB (a); puisqu'on a cette proportion AK (1). KM (k);: AB (a). вH (b) =ak).

D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM(k) & AB (a); pour trouver la ligne BH (b = ak ), qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où AK foit =1, KM =k, AB=a, & l'on trouvera BH ak. Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions, par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatriéme proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité eft à la ligne ae, comme la ligne ƒ eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatriéme proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f.

D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aef8, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgb, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions.

Quand les produits font compofés de lettres égales, comme 1, a, da, a3, aˆ, a3, &c. il est évident que les pro

273.

274.

portions des lignes qui donnent ces produits font continues
& qu'ainfi tous ces produits pris de fuite font une progres-
fion geometrique de lignes, dont la premiere aprés l'unité
eft representée par la lettre a, qui eft la racine de tous ces
produits, ou de toutes ces puiffances.

que

La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM (e),
ainfi, ou fimplement a,
l'on marque
eft une
proportion inverfe de la multiplication, dont le premier
terme eft AH (ae) ou la grandeur à divifer; le fecond ter-
me est le diviseur AM (e); le troifiéme terme eft le quotient
AB (a); le quatriéme terme eft l'unité AK (1); ou
bien, en faisant en forte que les trois premiers termes de la
proportion foient les trois termes donnés, la division est
une proportion dont le premier terme eft le diviseur AM (e),
le fecond terme eft la grandeur à divifer AH (ae); le troi-
fiéme terme eft l'unité AK (1); le quatrième eft le quotient
AB(a)

D'où l'on voit que le quotient d'une divifion n'exprime
qu'une ligne qui eft le quatriéme terme d'une proportion
dont le divifeur eft le premier terme, la grandeur à divifer
le fecond, & l'unité le troifiéme.

De même en fuppofant les triangles AKM, ABH femblables, & que AB = a; BH=b= ak; KM = k, & AK = 1; la ligne KM (k) fera le quotient de BH (ak) divifée par AB (a); puisque AB (a). BH (ak) :: AK (1), KM(k).

D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH (ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM (k). 1 qui eft le quotient de BH (ak) divifée par AB (a), il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables ABH, AKM, où BH—ak ou b, AB=a, AK = 1, & la ligne KM (k) fera le quotient.

L'on voit auffi que fi la ligne à divifer étoit representée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plufieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres

comme ac.

Quand l'expreffion de la grandeur ou de la ligne à divi

FIG. I.

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