487 ANALYSE COMPOSÉE, OU ANALYSE QUI ENSEIGNE A RESOUDRE les Problêmes qui se réduisent à des équations compofées. LIVRE VIII. Où l'on fait voir l'usage de l'Analyse dans la Geometrie & dans les fciences phyfico-mathematiques; c'est à dire, on explique la maniere de fe fervir de l'Analyse pour resou dre les Problemes de ces Sciences. AVERTISSEMENT. N a ajouté ce dernier Livre pour les Lecteurs qui sçavent au moins mediocrement la Geometrie ordinaire: Ils y verront comment les calculs & les operations de l'Analyse sont les expreffions de tous les rapports des lignes & des figures de la Geometrie fimple & compofée, qui en font découvrir les proprietés les plus compliquées, & refoudre les Problêmes d'une maniere fimple, facile, qui n'embaraffe pas l'imagination, & qui laiffe à l'efprit l'étendue dont il a befoin pour découvrir ailément tout ce que ces sciences peuvent contenir de plus difficile, & pour penetrer jufqu'à l'infini . Pour exciter la curiofité des Lecteurs, & pour faire voir l'utilité de l'Analyse, qui étoit regardée par ceux qui ne la fçavent pas comme contenant de pures fpeculations, on a mêlé dans ce huitiéme Livre plufieurs Problêmes des fciences A phyfico-mathematiques; comme ceux qui fervent à donner aux pendules à fecondes toute la jufteffe poffible pour les rendre la mesure exacte du temps; ceux qui fervent à l'art de jetter les bombes, pour les faire tomber exactement où l'on voudra; ceux qui fervent à faire connoître les figures que l'on doit donner aux verres pour raffembler en un point les rayons de lumiere, &c. On s'eft feulement propofé de faire connoître les ufages de l'Analyfe, & la maniere de s'en fervir dans la refolution des Problêmes qui s'expriment par des figures; & non pas de faire un corps de Geometrie dont toutes les parties fuffent liées par la dépendance mutuelle des propofitions qui feroient déduites les unes des autres. Cependant on a tâché de mettre de l'ordre dans les matieres qu'on y traite, de maniere que les plus fimples précedaffent, autant que cela fe pouvoit, les plus compofées, & qu'elles ferviffent à s'éclaircir mutuellement; & l'on a pris foin pour rendre tous les Problêmes que l'on refout clairs & faciles aux Lecteurs qui commencent, de mettre du moins en fuppofition (n'étant pas ici le lieu de les démontrer) tous les principes d'où ils dépendent, & qu'il faut avoir en vûe pour en concevoir clairement la refolution. On partagera ce huitième Livre en trois Parties. On expliquera dans la premiere la maniere de fe fervir de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes de Geometrie & des fciences phyfico-mathematiques, en n'employant dans les operations que les calculs de l'Algebre ordinaire. Dans la feconde Partie on enfeignera les ufages de l'Analyse dans la resolution des Problêmes des mêmes fciences, en y employant le calcul differentiel. On fera voir dans la troifiéme Partie comment l'Analyse fait trouver les Regles du calcul integral; & on expli quera enfuite l'ufage de ces Regles dans la refolution des Problêmes de la Geometrie & des fciences phyfico-mathemati ques. 267. 268. PREMIERE PARTIE. De l'ufage de l'Analyfe dans la refolution des Problêmes de PREMIERE SECTION. Dù l'on fait voir comment les calculs de l'Analyse expriment PREMIERE SUPPOSITION OU DEMANDE. POUR exprimer par les calculs de l'Analyfe les rapports FIG L Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les nom- Il est évident que addition & la fouftraction des lettres qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes font ajoutées ensemble, ou retranchées les unes des autres; par exemple fi AK=d, & AB : =d, & AB= a; la fouftration - d Fic marquera que AK eft retranchée de AB; par confequent a—d=KB. Il en eft de même de l'addition. 269. L'expreffion marque le rapport de la ligne AB (a) à la ligne BH (b), ce qu'il faut remarquer dans l'expreffion de tous les autres rapports des lignes. 270. La multiplication des grandeurs, par exemple de la grandeur a par la grandeur b, que l'on marque par ces lettres jointes ensemble ab, ou par a xb, eft une proportion 271. 272 dont le premier terme eft l'unité, le fecond & le troifiéme b; En fuppofant que les triangles AKM, ABH font fem. blables, que AK — 1, AB = a, KM = k, BH BH eft auffi le produit de KM (k) par AB (a); puisqu'on a cette proportion AK (1). KM (k);: AB (a). вH (b) =ak). D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM(k) & AB (a); pour trouver la ligne BH (b = ak ), qui eft leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables AKM, ABH, où AK foit =1, KM =k, AB=a, & l'on trouvera BH ak. Le produit de trois lignes aef, marque deux proportions, par la premiere, l'unité eft à la ligne a, comme la ligne e eft à la ligne ae, qui eft la quatriéme proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la feconde proportion l'unité eft à la ligne ae, comme la ligne ƒ eft au produit des trois aef, qui eft une ligne quatriéme proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f. D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aef8, marque trois proportions; le produit de cinq lignes aefgb, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'eft qu'une ligne qui refulte de toutes ces proportions. Quand les produits font compofés de lettres égales, comme 1, a, da, a3, aˆ, a3, &c. il est évident que les pro 273. 274. portions des lignes qui donnent ces produits font continues que La divifion d'une grandeur AH (ae) par une autre AM (e), D'où l'on voit que le quotient d'une divifion n'exprime De même en fuppofant les triangles AKM, ABH femblables, & que AB = a; BH=b= ak; KM = k, & AK = 1; la ligne KM (k) fera le quotient de BH (ak) divifée par AB (a); puisque AB (a). BH (ak) :: AK (1), KM(k). D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH (ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM (k). 1 qui eft le quotient de BH (ak) divifée par AB (a), il n'y a qu'à faire les deux triangles femblables ABH, AKM, où BH—ak ou b, AB=a, AK = 1, & la ligne KM (k) fera le quotient. L'on voit auffi que fi la ligne à divifer étoit representée par le produit de plufieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne eft le dernier terme d'une proportion précedée de plufieurs autres, l'on pourroit par la divifion en repaffant par toutes ces proportions, revenir à la premiere, dont le dernier terme ne feroit exprimé que par deux lettres comme ac. Quand l'expreffion de la grandeur ou de la ligne à divi FIG. I. |