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275.

fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du
divifeur AB, que AH eft, par exemple, exprimée par c,
& AB par a,
la divifion fe marque ainfi ; & fuppofant
que AK eft l'unité, l'on a toujours la même proportion
AB(a). AH(c):: AK(1). AM.

D'où il eft vifible que (), qui eft l'expreffion du rap

port de AH à AB, eft la même chose que

ᏗᎷ
AK

()

; les

rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur eft le numerateur, fans que cela en change la valeur.

N

REMARQUE.

276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes l'unité eft ordinairement arbitraire; c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi determiné l'unité, on ne doit plus dans toute la question que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK= a, AB =b, AH =d, AM=c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion =AH (d) marquera le produit des lignes AB (b), AM (c), qui est AH=

bc

a

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bed

aa

Quand on a ainfi determiné une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi aabc = bc, bcd. 2°. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimenfions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 → px bedo, homogenes, en écrivant 3 ➡ apx-bcd o; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque

de

277.

493

de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx - - bbcxccdd =o, en écrivant xx

bbcx-ccdd

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Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux, V, V, &c. comme ✓ ab, 'abc, &c & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b3, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionnelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exem pleab marque la ligne qui eft moyenne proportionnelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionnelles entre la ligne qui eft prise pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes, a, b, c, & ainsi des autres.

L

COROLLAIRE I.

278. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être reprefentés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Ana lyfe.

L

COROLLAIRE II.

279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'autres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faci les, fans en changer la valeur.

Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bede, 1°, faifant a. b::c., qu'on fuppofera - m, l'on aura am = bc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faisant enfuite a. m :: d. n l'on aura an = md; & substituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faisant enfin a. n:: e. p, on aura apne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura a3p = bcde; où fupprimant l'unité a3, on aura p =

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Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénomi nateur fuffent complexes, c'eft à dire, continffent plufieurs produits joints par&, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe.

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On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme bed en faifant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: c. m, on aura am= bc, & abcd=aamd; puis faifant comme a. m :: d. n, on aura abcd aaan; faifant de même pour le dénominateur a. e::f. p, on aura ap=ef, & efg apg; faifant enfuite 8. 9, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, & abed = 4; enfin faifant q. a:: n. r, on aura r = Si l'on avoit bc-de, en trouvant m moyenne proportionelle entre b & c, & n moyenne proportionelle entre d&e, l'on changeroit l'expreffion be de en mm -nn qui lui feroit égale.

a. p

a3n

aaq

an

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=

an

9

efg

Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire.

Seconde fuppofition on demande. 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furfa

ce des figures, les produits des calculs de l'Analyse expriment FIG. I. les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du

I

quarré GH, & a fa hauteur GI, aa eft l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & la hauteur BH, b; ab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, fa bafe GF = a, fa hauteur GC = b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en est ainsi des autres.

Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité

des

495

des corps; par exemple nommant aa le quarré GH; fi
l'on conçoit le cube dont ce quarré eft la base, a3 fera l'ex-
preffion de la folidité de ce cube; de même abc fera l'expref-
fion d'un prifme dont la base est representée par
le produit
des lignes a & b, & la hauteur par c; abc fera l'expreffion
d'une piramide qui aura la même base & la même hauteur
que le prime précedent. Il en eft ainfi des autres.

L'addition & la fouftraction des produits qui reprefentent
des furfaces, expriment que ces furfaces font ajoutées les
unes aux autres, ou retranchées les unes des autres : C'est la
même chofe des produits qui expriment des folides.

Troifiéme fuppofition ou demande fur l'usage des fignes ➡& ---
par rapport à la Geometrie.

281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent FIG. I.
à angles droits au point A, & que les lignes paralleles à
l'une & à l'autre qui font dans les quatre angles droits
comme RM, KM, OL, AO, KL, ON, PN, RQ, QP, &c.
foient comprises dans un Problême, quand on a befoin de
diftinguer entre les parallales à AB, celles qui vont vers la
droite de celles qui vont vers la gauche, & entre les paral-
leles à DAE, celles qui defcendent de celles qui vont en
montant, on nomme parmi les premieres qui vont vers la
droite ou vers la gauche, les unes pofitives & l'on met au
devant le figne, & les autres négatives & l'on met au
devant le figne; on fait la même chofe pour diftinguer
entre les paralleles à DAE, celles qui defcendent de celles
qui montent. Il eft libre au commencement de l'operation
de prendre pour pofitives lefquelles on voudra entre celles
qui vont de gauche à droite, ou de droite à gauche; & de
même entre celles qui defcendent & celles qui montent :
Mais fi l'on fe détermine à mettre le figne devant celles
qui vont de gauche à droite, comme AB, DH, EF; celles
qui vont de droite à gauche, comme AC, D1, EG, &c.
doivent avoir le figne De même fi l'on fe détermine à
mettre le figne devant celles qui defcendent, comme AE,
BF, CG, &c. on doit écrire le figne devant celles qui
vont en montant, comme AD, BH, CI, &c. Le terme
où commencent les pofitives & les negatives de gauche à

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B

droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB.

Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier fe ront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatriéme, les unes & les autres font négatives.

Suppofant 40+a=+1, OL =+b; AE l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF,

(➡a ou + 1). OL(+b):: AE(+c). EF =

c; d'où

l'on voit comment multiplié par, donne un produit qui a .

Faifant AO+a+1, AEc, ON=-d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO

(a ou + 1). AE(+c) :: ON(d. EG

cd

Comme auffi en nommant AK, (e), on aura à caufe des triangles femblables OAN, KĀM, AO (+au+1). ON (―d) :: AK (+e). KM—— de; d'où l'on voit comment → multiplié par Ou par, donne un produit

qui a-.

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a

Suppofant encore AR =—- -f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, 40 (+ a ou + 1). OL(+b):: AR(—ƒ). RQ = — ; d'où l'on voit encore comment ✈ par oupar, donne un produit qui a―.

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Enfin à caufe des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura AO (++ a ou + 1 ). ON (~d):: AR ( (—ƒ. RM; d'où l'on voit comment - par-, donne un produit qui a➡.

De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de AE par AB, fera pofitif.

Le rectangle AH fait de - AD par
Le rectangle AG fait de

AB, fera négatif.

AE par

- AC, fera négatif. AD par

AC, fera

Mais le rectangle AI fait de

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pofitif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait

de DA par AB. L'on fuppofe dans tous les produits l'unité pofitive.

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