275. fer AH, n'a aucune lettre commune avec l'expreffion du D'où il eft vifible que (), qui eft l'expreffion du rap port de AH à AB, eft la même chose que ᏗᎷ () ; les rapports égaux exprimant des grandeurs égales; & l'on voit auffi qu'on peut toujours fous-entendre l'unité écrite fous une grandeur entiere ou rompue, comme étant le dénominateur de la fraction dont cette grandeur eft le numerateur, fans que cela en change la valeur. N REMARQUE. 276. On doit remarquer que dans les comparaisons des lignes l'unité eft ordinairement arbitraire; c'est à dire, qu'on peut prendre une des lignes données pour l'unité, en rapportant toutes les autres à cette ligne comme à leur unité: Mais quand on a ainfi determiné l'unité, on ne doit plus dans toute la question que l'on veut refoudre, prendre d'autre FIG. I. ligne pour l'unité; ainfi fuppofant dans les deux triangles femblables AMK, AHB, que AK= a, AB =b, AH =d, AM=c; fi l'on prend la ligne AK (a) pour l'unité, l'expreffion =AH (d) marquera le produit des lignes AB (b), AM (c), qui est AH= bc a bed aa Quand on a ainfi determiné une des lignes d'une question comme a pour être l'unité, on y trouve ces deux commodités. 1°. On peut l'effacer des produits où elle fe trouve, ce qui abrege l'expreffion de ces produits, fans en diminuer la valeur, l'unité ne changeant rien dans la valeur des produits où elle fe trouve; ainfi aabc = bc, bcd. 2°. On peut dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimenfions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimenfions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainfi on rendra tous les termes de x3 → px bedo, homogenes, en écrivant 3 ➡ apx-bcd o; ou bien en divifant les termes qui ont le plus de dimenfions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque de 277. 493 de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on peut rendre homogenes tous les termes de xx - - bbcxccdd =o, en écrivant xx bbcx-ccdd Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les fignes radicaux, V, V, &c. comme ✓ ab, 'abc, &c & par les grandeurs mêmes qui font les racines, quand cela fe peut, comme a eft la racine quarrée de aa, b la racine cubique de b3, &c. font les expreffions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui font moyennes proportionnelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par exem pleab marque la ligne qui eft moyenne proportionnelle entre la ligne a & la ligne b; abc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionnelles entre la ligne qui eft prise pour l'unité, & la ligne qui eft exprimée par le produit abc des trois lignes, a, b, c, & ainsi des autres. L COROLLAIRE I. 278. Il est évident, aprés ce que l'on vient d'expliquer, que tous les calculs de l'Analyfe peuvent être reprefentés par les lignes & les figures de la Geometrie, par le moyen des triangles femblables & des proportions des lignes; & que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreffions & les calculs de l'Ana lyfe. L COROLLAIRE II. 279. Il est de même évident que l'on peut changer, pour la commodité du calcul, des expreffions compofées en d'autres plus fimples, & des expreffions embaraffantes en d'autres plus faci les, fans en changer la valeur. Par exemple, en nommant a la ligne prife pour l'unité, on peut réduire les produits les plus compofés à une feule lettre. Si l'on a bede, 1°, faifant a. b::c., qu'on fuppofera - m, l'on aura am = bc; & fubftituant am au lieu de bc, on aura amde = bcde. 2°. Faisant enfuite a. m :: d. n l'on aura an = md; & substituant cette valeur de md dans amde, on aura aane = bcde. 3°. Faisant enfin a. n:: e. p, on aura apne; & fubftituant cette valeur de ne dans aane, on aura a3p = bcde; où fupprimant l'unité a3, on aura p = Si l'on avoit une fraction dont le numerateur & le dénomi nateur fuffent complexes, c'eft à dire, continffent plufieurs produits joints par&, on pourroit abreger de même l'expreffion de cette fraction complexe. On peut auffi abreger l'expreffion des fractions dont le numerateur & le dénominateur contiennent le produit de plufieurs lettres comme bed en faifant en forte que la même lettre se trouve au numerateur & au dénominateur, ce qui la fait évanouir; car faifant a. b:: c. m, on aura am= bc, & abcd=aamd; puis faifant comme a. m :: d. n, on aura abcd aaan; faifant de même pour le dénominateur a. e::f. p, on aura ap=ef, & efg apg; faifant enfuite 8. 9, on aura aq=pg; ainfi efg = aaq, & abed = 4; enfin faifant q. a:: n. r, on aura r = Si l'on avoit bc-de, en trouvant m moyenne proportionelle entre b & c, & n moyenne proportionelle entre d&e, l'on changeroit l'expreffion be de en mm -nn qui lui feroit égale. a. p a3n aaq an = an 9 efg Il y a beaucoup d'autres manieres de changer ainfi les expreffions en d'autres, fans en changer la valeur que l'on tire des triangles femblables, & des autres figures de la Geometrie ordinaire. Seconde fuppofition on demande. 280. DANS les propofitions de Geometrie où il s'agit de la furfa ce des figures, les produits des calculs de l'Analyse expriment FIG. I. les aires des figures; par exemple nommant a la bafe GF du I quarré GH, & a fa hauteur GI, aa eft l'expreffion de l'aire du quarré GH. De même nommant a la base AB du triangle rectangle ABH, & la hauteur BH, b; ab fera l'expreffion de l'aire du triangle ABH. Suppofant auffi dans le rectangle GFBC, fa bafe GF = a, fa hauteur GC = b; le produit ab fera l'expreffion de l'aire de ce rectangle. Il en est ainsi des autres. Dans les propofitions qui regardent les corps folides, les produits des operations analytiques expriment la folidité des 495 des corps; par exemple nommant aa le quarré GH; fi L'addition & la fouftraction des produits qui reprefentent Troifiéme fuppofition ou demande fur l'usage des fignes ➡& --- 281. SUPPOSANT que les deux lignes DAE, CAB fe coupent FIG. I. B droite, ou de droite à gauche, eft la ligne DAE; le terme où commencent les pofitives qui defcendent & les négatives qui montent, eft la droite CAB. Appellant l'angle EAB le premier, DAB le fecond, CAE le troifiéme, & DAC le quatrième, les lignes du premier fe ront toutes pofitives; entre les lignes du fecond, celles qui font vers la droite font pofitives, & celles qui montent font négatives; dans le troifiéme, celles qui vont à gauche font négatives & celles qui defcendent, pofitives; & dans le quatriéme, les unes & les autres font négatives. Suppofant 40+a=+1, OL =+b; AE l'on aura dans les triangles femblables OAL, EAF, AÓ (➡a ou + 1). OL(+b):: AE(+c). EF = c; d'où l'on voit comment multiplié par, donne un produit qui a . Faifant AO+a+1, AEc, ON=-d, l'on aura dans les triangles femblables OAN, EAG, AO (a ou + 1). AE(+c) :: ON(d. EG cd Comme auffi en nommant AK, (e), on aura à caufe des triangles femblables OAN, KĀM, AO (+au+1). ON (―d) :: AK (+e). KM—— de; d'où l'on voit comment → multiplié par Ou par, donne un produit qui a-. a Suppofant encore AR =—- -f, l'on aura à caufe des triangles femblables OAL, QAR, 40 (+ a ou + 1). OL(+b):: AR(—ƒ). RQ = — ; d'où l'on voit encore comment ✈ par oupar, donne un produit qui a―. Enfin à caufe des triangles femblables OAN, RAM, l'on aura AO (++ a ou + 1 ). ON (~d):: AR ( (—ƒ. RM; d'où l'on voit comment - par-, donne un produit qui a➡. De même dans les furfaces le rectangle AF fait du produit de AE par AB, fera pofitif. Le rectangle AH fait de - AD par AB, fera négatif. AE par - AC, fera négatif. AD par AC, fera Mais le rectangle AI fait de pofitif; & du côté oppofé au rectangle négatif AH fait de DA par AB. L'on fuppofe dans tous les produits l'unité pofitive. |