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D'où l'on voit que les aires qui font dans les côtés oppofés de la ligne qu'on a prife pour terme entre les grandeurs pofitives & les négatives, font l'une pofitive, & l'autre négative.

: On peut aifément appliquer ceci aux produits qui expriment la folidité des corps.

COROLLAIRE.

282. LEs deux mêmes lignes DAE; CAB fe coupant au FIG. L point A à angles droits, ou en faifant ensemble au point A tel angle aigu qu'on voudra; qu'on tire la ligne FAI, faifant au point A avec l'une ou autre tel angle aigu OAL qu'on voudra: Concevant ces lignes prolongées à l'infini, & que par tous les points de DAE on mene des lignes comme DI, RQ, OL, EF, &c. paralleles à la ligne CAB, jufqu'à la rencontre de FAI, & de même par tous les points de CAB des paralleles à DAE, jusqu'à la rencontre de la même ligne FAI, comme PQ, CI, KL, BF, &c. On supposera la ligne AO =+a, a, OL = b; on nommera auffi + x chacune des lignes comme AE depuis A en defcendant prifes fur AOE, jufqu'à la rencontre de chaque parallele, comme EF; on nommeray chaque ligne comme EF menée par ce point E parallele à AB; mais on nommera x chacune des parties AR, AD de la ligne AD, qui vont en montant, & qui fe terminent aux paralleles RO, DI, à CBA, & ces paralleles RQ, DI feront nommées ―y.

Cela fuppofé, il eft évident, à caufe des paralleles, que
AO (a). OL (+b):: AE (→+x). EF (y) & par
confequent + bx=ay,
=+ay, & + y + : Et de même

bx

a

AO (+ a). OL(+b):: AD (— x ). DI (—y); d'où
l'on aura-bx——ay, &—y

bx

a

Il eft évident que l'équation y convient à chacune
des paralleles menée de chacun des points de AOE jusqu'à
la ligne ALF; de forte qu'en déterminant la grandeur de
chaque x, comme AE, la grandeur de EF (y) qui lui ré-
pond est déterminée. Il faut entendre la même chofe de
l'équation -y=—
par rapport aux paralleles RQ, DI

de l'autre côté.

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دو

D'où l'on voit que l'équation indéterminée yx, convenant à toutes les paralleles y par rapport aux x qui leur répondent, & en exprimant la grandeur par rapport à ces ≈ correfpondantes; elle détermine le lieu de tous les points de la ligne droite AF qui paffe par toutes les extremités des & elle détermine ce lieu de la ligne droite AF par rap-~ port à la ligne AOE. Cela eft caufe qu'on nomme l'équation y le lieu à la ligne droite, on l'équation à la liy= gne droite; & la ligne droite AF eft la ligne à qui convient cette équation, qui étant prolongée en Al eft auffi la ligne à qui convient l'équation —y —— bx, qui eft la même que la précedente.

les

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しょ

Dans un lieu, par exemple, exprimé par y=x, & conftruit geometriquement par la figure EAF, DAI, on nomme le point A où commencent les x pofitives prises fur AE, & les x négatives fur AD, l'origine: la ligne AE & AD fur laquelle fe prennent les x, fe nomme la ligne des coupées ou des abciffés: les lignes AE, AD, nommées x, s'appellent les coupées ou les abfciffes : les paralleles EF, OL, &c. qui font fe nomment les ordonnées, & encore les appliquées; chaque abciflex & fon ordonnée correfpondante y, fe nomment les coordonnées: la ligne CAB menée par l'origine A parallele aux ordonnées, s'appelle la ligne des ordonnées; & l'on peut concevoir que les y fe prennent fur cette ligne, & rapporter le lieu IAF à cette ligne CAB par le moyen des paralleles KL, PQ, &c. à la ligne DAE; car l'on aura AK =OL (+b). KL AO (a):: AB=EF (y). BF=AE (x); d'où l'on déduira BF ( x ) = 7; l'on trouvera de même PQ ou CI ( x ) = - 4.

-

=

Dans une équation comme y bx, qui exprime le lieu d'une ligne les x, & de même les y marquant des lignes qui vont en croiffant fucceffivement, ou en diminuant fucceffivement; on les appelle grandeurs changeantes ou variables, & les grandeurs déterminées, comme 40 (a), OL, (b), se nomment grandeurs conftantes.

D'où l'on voit que dans les Problêmes de Geometrie, il faut diftinguer les grandeurs variables, les inconnues, les indéterminées, & les déterminées ou connues. Les variables font celles qui dans une figure vont en croiffant ou en diminuant fucceffivement, aufquelles convient un même rapport,

& elles font marquées par des inconnues x,y, &c. Les inconnues font les grandeurs qu'on cherche pour la réfolution d'un Problême. Les indéterminées font les grandeurs qu'on met pour en representer d'autres; comme dans ", l'expofant n reprefente les grandeurs qu'on peut mettre à la place de cet expofant, comme 1, 2, 3,,, &c. on avertit quand les grandeurs font indéterminées; l'on a vu dans les livres precedens des exemples des indéterminées. Les grandeurs déterminées, qu'on nomme auffi données & connues, & qu'on nomme conftantes dans les Problêmes où il a des variables, font les lignes ou figures déterminées, comme font les trois côtés d'un triangle donné, comme font des angles donnés, des triangles, des quarrez connus, &c.

Quand une ligne eft fuppofée tracée fur un plan, fi elle est indéterminée, on dit qu'elle eft donnée de pofition; & fi de plus fa longueur eft déterminée, on dit qu'elle eft donnée de grandeur.

Exemples de l'ufage des calculs de l'Analyse pour découvrir les proprietés des Figures.

AVERTISSEMENT.

L'ANALYSE fuppofe les plus fimples proprietés des figures démontrées par la Geometrie, comme les proprietés des perpendiculaires, des paralleles, des angles, & celles qui ne contiennent pas de rapports ou de proportions; mais elle fert à démontrer toutes celles où entrent les rapports & les proportions, fi ce n'eft la feule propofition qui eft le principe de toutes les proportions des lignes & des figures, fçavoir que dans tous les triangles femblables, les côtés oppofés aux angles égaux, qu'on nomme côtés relatifs ou homologues, font proportionels.

EXEMPLE I. SUR LES TRIANGLES RECTANGLES.

le fom

AEB eft un triangle rectangle en E, fon hypothenufe BFIG. II. est le diametre de la circonference AEB qui paffe par met E de l'angle droit; ED eft une perpendiculaire tirée du fommet E fur AB. Pour découvrir les proprietés de ce triangle, on fuppofera AE a; EB = b; AB=d; BD = x; ce qui donnera AD=d—x.

=

283.

284.

1o. Les triangles semblables AEB, AED, donneront AB (d). AE (a) :: AE (a). AD (d — x); d'où l'on aura la premiere équation dd-dx=aa. Par les triangles femblables AEB, EDB, l'on aura AB (d). BE (b) :: BE (b). BD (x); d'où l'on déduira la feconde équation dx —bb. Ajoutant ensemble la. premiere & la feconde équation, l'on trouvera ddaa + bb, c'est à dire, le quarré de l'hypothenuse est égal à la somme des quarrés des côtés, qui eft la proprieté des triangles rectangles. 2o. Les triangles femblables ADE, EBD, donnent auffi, en fuppofant DE = c, AD (d — x). DE (c) :: DE (c). DB DE(c). (x); d'où l'on aura dx - xxcc; c'est à dire le quarré de DE, qui eft moyenne proportionelle entre les deux parties AD, DB de l'hypothenufe ou du Diametre AB, coupées par la perpendiculaire DE, est égal au rectangle des deux parties du diametre, qui eft une autre proprieté des triangles rectangles.

Corollaires qu'il faut fe rendre familiers.

I.

285. L'HYPOTHENUSE AB (d) d'un triangle rectangle, peut s'exprimer ainsi AB (d)=√ √E + BE√aa+bb.)

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xx);

287. La perpendiculaire ED (c)=√AD × DB (√dx & fuppofant que le milieu de AB (d) eft au point C, & que

288.

CD

ᎠᏴ

= x, = BC

l'on aura AD

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CD

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-

dx,

AC+ CD = & x; ce qui donnera ED (c)

√ADxDB = √ dd -xx. Si l'on fuppofe AD=e, DB=f,
EDc,
c, l'on aura ED' (cc) = AD × DB = ef, &c=

IV.

Il est démontré dans la Geometrie qu'en tout cercle AEB, fi l'on tire de l'extremité A du diametre AB une corde à un point quelconque E de la circonference, & une autre

corde EB de ce point E à l'autre extremité B du diametre,
le triangle AEB eft toujours rectangle en E; ainfi les ex-
preffions précedentes conviennent à ces lignes du cercle;
fçavoir AB (dd) == AE'➡ BE = aabb; & AB (d)
Vad - bb; &

=√
= √ aabb; & AE (a) = √ AB2 BE -

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A£= ✓dd-aa. De même ED2 (cc)

xx, & ED (c)=vdx xx ; mais
= dx - xxxx=dx; c'est

ED2+ DB2

pourquoi l'on aura BE =

dx.

D'où il fuit que fi deux cordes égales BE, Be font en deux differens cercles, nommant dans l'un le diametre AB d, & DB, x, & dans l'autre le diametre è, & la ligne qui répond à BD, E, l'on aura √dx = d; & par confequent dx = d'où l'on déduira d. d :: §. x. ♪

Si l'on fuppofe CD=x, l'on aura ED (c) = 'AD × DB =√ { d+xx÷d—x=√dd—xx,& AD (d+x)=ED Ꭰ

CC

(d-x)

Si l'on fuppofe EB

DB

=m, AB=d, & DB = x, l'on aura DB (x). EB (m) :: EB (m). AB (d); d'où l'on

2

déduira DB (x) = EB (mm), & AB (d)

ΕΒ
B

EB2 DB

(mm). 11

faut se rendre toutes ces expreffions familieres.

V.

L'on peut concevoir de tous les points E de la demicirconference BEA, en commençant au point B & allant de fuite de B par E jufqu'à l'extremité A, des perpendiculaires comme ED fur le diametre AB; & fuppofant AB =d, d, chaque perpendiculaire ED=y, & chaque distance BD du point B, jufqu'à la rencontre D de chaque perpendiculaire, égale à x; il est évident que chaque DE (yy) fera égale au rectangle qui lui répond des deux parties du diametre BD x DA= dxxx; ainfi l'équation yy dx - xx convient à chacune de ces perpendiculaires DE: Les extremités E de toutes ces perpendiculaires ED font dans la circonference; c'est à dire, la circonference passe par tous les points E; ainfi l'équation yy dxxx marque le lieu de la circonference par rapport au diametre AB; & en déterminant la valeur de telle qu'on voudra, pourvu

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289.

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