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qu'elle foit moindre que le diametre AB, on trouvera la valeur de y qui lui répond; & de même en déterminant telle valeur de y qu'on voudra, pourvu qu'elle n'excede pas id, on trouvera la valeur de x qui lui répond, par la 76. réfolution des équations du fecond degré. Cela eft caufe qu'on nomme l'équation yy = -dxyy = o, l'équation au cercle, ou le lieu du cercle. Les abcifles x font fur le diametre BA, & B eft leur origine; & les DE (y) font les ordonnées.

290.

291.

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dx

VI.

xx, ou xx

Suppofant toujours AB d, ED=y, fi l'on fuppofe chaque CD = d, l'on aura DE' (yy) = AD × DB = d+xx dx = dd-xx; ainfi yydd

xx, ou xx

➡yydd:
ddo, eft auffi l'éqnation au cercle, ou le lieu au cer-
cle. L'origine eft au centre C; les abciffes CD (x) font fur le
demi diametre CB ou CA, & les ED (y) font les ordon-
nées.

VII.

On peut par le moyen du troifiéme Corollaire, changer l'expreffion d'un rectangle ab en un quarré cc, fans en chanBover la valeur; il n'y a qu'à mener une ligne droite AB égale

la fomme des lignes AD (a)+ DB (b), tracer une demicirconference dont AB foit le diametre, & élever au point D, où elles fe joignent, la perpendiculaire DE, qu'on nomme. ra c jufqu'à la circonference; & l'on aura DE' (cc) = AD x DB (ab). D'où l'on voit que fi l'on avoit xx=ab, on trouveroit de la même maniere la valeur de x, car faifant AD = a &DB=b, DE fera égale à x, étant moyenne prcportionnelle entre AD (a) & DB (b).

Si l'on avoit xx = aa bb, on trouveroit de même la valeur de x, en taifant AD = a + b, & DB = a— b, car DE feroit égale à x, puisque DE' (xx) =AD X DB=aa bh, & x=

Vaa

- bb.

On peut encore trouver de cette autre maniere la valeur de x dans l'équation xx = aa bb. Il faut faire AB = a, tracer un demi cercle fur le diametre AB (a); & après avoir ouvert le compas de la grandeur de la ligne AE, qu'on fuppofe égale à b, & mis une des pointes fur l'extre mité A, il faut marquer le point E où l'autre pointe coupe

la

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2

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la demi-circonference, & tirer EB, ce fera la valeur de x; car EB (xx)= AB3 (aa) · AE2 (bb), &x= = √ aabb. 192. Quand on a l'équation xx — aa➡ bb on trouvera la va leur de x, en faisant un angle droit AEB des deux lignes AE EB, dont on fuppofe la premiere égale à a, & la feconde égale à b; puis tirant l'hypothenufe AB par les extremités A, B de ces lignes, AB fera la valeur de x; car AB2 (xx) — AE2 (aa) → EB2 (bb); &x=√ aabb.

VIII.

Refolution geometrique des équations du fecond degré.
PREMIERE MANIERE.

293. TOUTES les équations du fecond degré peuvent se resou
dre geometriquement par les Corollaires précedens; c'est à di-
re, on peut trouver les deux valeurs en lignes de l'inconnue
de ces équations; car toutes ces équations peuvent fe réduire.
à cette formule xx dx ce=o; d, c, e, reprefentent
des lignes données dans les Problêmes de ces équations. Or
il faut réduire le terme connu ce à un quarré bb, & la *290.
formule fera xx + dx bb
bbo. Il faut faire évanouir le
second terme, en fuppofant x = xd; & l'on aura la
transformée z =
༢༢ dd = bb; &z=± √÷dd — bb. On
trouvera la valeur de z par le feptiéme Corollaire, à laquel
le ajoutant la ligne =d, quand le fecond terme a &
en retranchant d, quand le fecond terme a ; l'on aura la
valeur de x.

SECONDE MANIERE,

294. POUR rendre cette refolution plus diftincte, on réduira toutes les équations du fecond degré à ces quatre formules. La premiere racine.

1", xx 2o xx

x=

dx-bb-o.
dx-bbo. x

3o, xx dx+bb=0.

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La feconde racine.

4

d+d+bb x= d✓dd+bb. ·÷d+✓dd+bb. x=- ddd-bb. =d+ √dd_bb x= Ad√ dd—bb• — 1d + √ dd—bb. x: ·÷d+✓dd—bb. x—— ddd-bb. Pour trouver les valeurs geometriques des deux racines de la premiere & de la feconde formule, dont l'une eft pofiti

4°, xx+ dx++bb=0.

Tome 11.

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C

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= d.

FIG. II. ve, & l'autre négative; 1°, on tirera la ligne CD égale à la moitié de la ligne reprefentée par d dans les Problêmes exprimés par ces deux équations; c'eft à dire, on fera CD = 2o. On élevera la perpendiculaire DE b. 3°. Du centre C avec l'hypothenufe CE, on tracera la demi circonference AEB, & on prolongera CD de côté & d'autre jufqu'à la circonference, & AD fera la racine positive de la premiere formule, & DB fa racine négative. Et au contraire DB fera la racine pofitive de la feconde formule, & AD fa racine négative. AD CD (+3ď) + CA ou CE, ou √ DC2 + DE2 d + √ ÷dd +bb, & DB

Car (✔dd

bb), ainsi AD = x=

CB ou CE, ou

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DEˆ ( — √¦dd → bb) + CD

d —

( +÷d); ainsi DB — x =
feconde formule, il faut prendre la
de DA, & l'on aura x DA

ou CE ( — √dd

-

CB ou

4

dd bb; & pour la racine négative du côté DC ( — 1d) — CA

bb); & la pofitive x = DB =

CE (+√dd bb).

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CD (—d).

Pour trouver les valeurs des deux racines de la troifiéme & de la quatrième formule, 1°, il faut faire le diametre AB de la demi circonference AEB- d; ainfi CA ou CE ou CB=d; 2o. Il faut élever BF perpendiculaire fur AB à l'extremité B. & faifant BF=b, mener par F la ligne FE parallele à BA; 3°. Abaiffer par le point E où elle rencontre la demi circonference, la perpendiculaire ED au diametre qui le rencontrera en un point D; AD fera la premiere racine pofitive de la troifiéme formule; DB fa feconde racine pofitive. De même AD fera la premiere racine négative de la quatriéme formule; & DB fa 2o racine négative.

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Car x = ADAC (d) + CD ou + √ce2 - ED2 (→ √dd — bb); & x = → DB =+CB ( + d) — CD. ou √CE2 ED2 (— ✓ dd — bb). bb). Pour la quatriéme formule, la premiere racine négative eft x=— ·AD= CA

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( — d) CD ou

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feconde racine régative xDB —— CB (d)+CD

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295.

296.

REMARQUE.

Q
UAND dans la refolution des deux dernieres formules
BF (b) surpasse CB (d) la parallele FEau diametre AB (b)
ne peut pas rencontrer la demi-circonference; & dans ce
cas le Problême eft impoffibile, c'eft à dire il renferme con-
tradiction; ce qui fait voir le parfait raport de l'Analyse à
la Geometrie; car dans ce cas où b furpaffed, bb furpaffe
Idd ; & ✓dd — bb eft une grandeur imaginaire; ainfi dans
ce cas les deux racines de la troifiéme & de la quatrième
formule font imaginaires.

Dans le cas où BF (b) CD (d, la parallele FE ne
rencontre la demi-circonference qu'en ce point E, d'où
menant la perpendiculaire ED (b) elle tombe au centre C;
alors les deux racines font égales, & valent chacune AC (d);
dans ce cas dd - bb : =o; & chaque racine eft égale
à = d.

EXEMPLE II.

ABDE eft un quadrilatere infcrit dans une cercle, pour y FIG. III. trouver des triangles femblables qui faffent découvrir les proprietés qui lui conviennent; il faut tirer les diagonales AD, BE, & la ligne DF qui faffe au point D l'angle EDF égal à l'angle ADB; & l'on aura, 1°, le triangle ADB femblable au triangle EDF; car l'angle ADB eft égal par la fuppofition à l'angle EDF, & les angles DAB, DEF font égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc BD. 20. Les triangles ADE, BDF font auffi femblables, parce que les angles ADE, BDF font égaux, contenant chacun les angles BDA, EDF égaux par la fuppofition; & de plus l'angle commun FDA, & les angles DAE. DBF font auffi égaux, ayant chacun pour mefure la moitié de l'arc DE. Suppofant à prefent AE a, ABb, BD=c, DE =d, AD=e, BE= f, FEx par confequent BF BE (f) - FE (x). L'on aura à caufe des triangles femblables ADB, EDF, AD (e). DE (d):: AB (b). EF (x); d'où l'on déduira cette premiere égalité ex bd. L'on aura auffi à caufe des triangles femblables ADE. DBF, BF (ƒ— x). AE (a) :: BD (c). AD (e); d'où l'on déduira cette feconde égalité efex ac. Ajoutant ces deux ega

=

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litez, on trouve AD × BE (ef) = AE × BD (uc) + ABX DE (bd); c'est à dire qu'en tout quadrilatere infcrit au cercle, le rectangle des diagonales AD× BE (ef), eft égal à le fomme des rectangles des côtés oppofés AE × BD + AB × DE (ac + bd), qui eft une proprieté de ce quadrilatere qui fert dans la trigonometrie.

FIG. IV. PARTAGE

297.

EXEMPLE III.

ARTAGER une ligne donnée AB (a ) en deux parties AC, CB, en forte que la Partie AC foit moyenne proportionelle entre la ligne entiere AB & la partie CB.

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Soit la partie inconnue que l'on cherche ACx, ainfi CB = ax; & par les conditions du Problême l'on aura AB (a). AC ( x ) :: AC ( x ). CB ( a − x ); d'où l'on déduira l'équation aa— ax = xx, ou xx ➡ ax-aa=0. On trouvera la valeur pofitive de x 2a + V÷aa + aay ou — —a➡✓1⁄2aa, en faisant (fig. 2. ) CD=4, la perpendiculaire DEa; traçant du centre C avec l'hypothenufe CE prife pour rayon l'arc BE, & prolongeant CD jusqu'à l'arc en B, car DB fera-x=CB ou+CE(+aaaa) — CD ( — 2 a) —AC (fig. 4) que l'on cherchoit.

AVERTISSEMENT.

CES Exemples fuffifent pour faire voir l'ufage de l'Analyse dans la Geometrie fimple; il fera plus utile de faire voir l'usage de l'Analyse dans les fciences Phyfico-mathematiques qui fervent à perfectionner les Arts, & dans la Geometrie compofée, c'est à dire, dans la fcience des lignes courbes.

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