SECTION II. Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe dans les Sciences Ufage de l'Analyse pour refoudre les Problêmes de l'art Principes que l'on fuppofe pris des traités du mouvement. DEFINITIONS. I. =m, = v, la 298. ON fuppofera la maffe du mobile — m, fa vitesse longueur parcourue, le temps employé à parcourir cette longueurt. Quand il y aura differentes maffes, viteffes, longueurs, temps, on marquera les maffes differentes par des m differentes, & de même les viteffes, les longueurs & les temps. 299. II. La quantité du mouvement eft le produit de la maffe par la viteffe, c'est à dire mu; mais pour ne pas multiplier les difficultés, on ne confiderera dans la fuite qu'un même mobile; ainfi la quantité ou la force du mouvement fera fa viteffe. III. 300. Le mouvement égal ou uniforme eft celui dont la viteffe demeure la même pendant la durée du mouvement. Le mouvement acceleré eft celui qui à chaque inftant de fa durée reçoit une nouvelle augmentation de viteffe; le mouvement retardé, celui qui perd à chaque inftant une partie de la viteffe qu'il avoit Le mouvement uniformement ou également acceleré ou retardé, celui qui à chaque inftant reçoit une égale augmentation ou perd une égale quantité de fa viteffe. Comme on ne parlera ici que du mouvement acceleré ou retardé de cette derniere maniere, on le nommera fimplement mouvement acceleré ou retardé. SUPPOSITIONS QU'IL FAUT SE RENDRE FAMILIERES. I. Pour comparer ensemble les mouvemens uniformes. 501. DANS les mouvemens uniformes la viteffe est égale à la longueur parcourue divifée par le temps employé à la rir, u = ; par confequent t= ,&l=tu. 302. 303. 304. parcou Par confequent quand les mouvemens uniformes font differens, V. u ::.:: Lt. IT; & T. t. 1 L V L T T IV :: † . ; ; & L. 1 :: TV, tu :: 7. V :: Lu. u; = = ÷, & L. 1:: т Il fuit de là, 1 t que Lt Lt= IT. 2°. Que quand T=t; L. IV. u, ce qu'il faut bien remarquer, & que Lu IV. 305. 3°. Que quand L Sur la pefanteur. fe 306. LA pefanteur, dont on n'examinera point ici la cause, fait qu'un corps pefant en defcendant librement depuis le repos, acquiert à tous les inftans de la chute des degrés égaux de viteffe. L'on n'aura ici nul égard à la refiftance de l'air, l'expe rience faifant connoître qu'elle n'apporte pas de changement confiderable à un corps tres pefant comme l'eft une bombe. C'est pourquoi on fuppofera que les degrés de viteffe que le corps pefant acquiert pendant chaque inftant de fa chute, confervent entiers dans les inftans fuivans de la chute, pendant lefquels le même corps en acquiert toujours de nouveaux. De forte que partageant la durée de la chute en trois temps égaux, dont chacun foit=t, le premier degré de viteffe s'acquiert depuis le repos jufqu'à la fin de it, & il est tout acquis à la fin de it, & il demeure entier dans les deux temps fuivans; pendant le fecond temps le corps pefant acquiert un fecond degré de viteffe égal au premier, & ce fecond degré eft tout acquis à la fin de 2t; & le mobile a deux degrés de viteffe acquife à la fin de 2t. Le troifiéme degré de vitefle s'acquiert pendant le troifiéme temps, & il eft tout acquis à la fin de 3t, & alors le corps pefant a trois degrés de viteffe acquife. 307. LES longueurs parcourues par un même corps qui defcend librement, prifes chacune depuis le repos, font entr'elles comme les quarrés des temps employés à les parcourir; elles font auffi entr'elles comme les quarrés des viteffes acquifes à la fin des temps employés à parcourir ces longueurs. Par exemple un corps pefant tombant librement depuis le FIG. V. repos A, parcourt AB pendant it AC pendant 2t; AD pendant 3t; AE pendant 4t. La viteffe acquife à la fin de it eft u; à la fin de 2t, elle est 2u; à la fin de 3t, elle est 34; à la fin de 4t, elle est 4u. AB. AC:: xtt. 4tt :: 1un. 4uu. De même AC. AD::4tt. 9tt: 4uu. 9uu. De même AD. AE:: 9tt. 16tt :: 9uu. 16uu. De même AC. AE :: 4tt. 16tt: quu. 16uu, &c. Ainfi nommant L une longueur parcourue depuis le repos ; T, le temps employé à la parcourir; V, la vitelle acquife à la fin de ce temps; & I une autre longueur parcourue depuis le reposit, le temps employé à la parcourir; z, la viteffe acquife à la fin de ce temps; on aura cette expreffion generale de la troifiéme fuppolition L.l:: TT.tt ::VV.uu. COROLLAIRE. u VL 308. D'où il fuit que dans les mouvemens accelerés V. » :: ✔L V:: T. t. Par confequent dans les mouvemens accelerés on peut exprimer les viteffes par les racines des longueurs parcourues depuis le commencement, ou depuis le repos; on peut auffi exprimer les temps par les racines des mêmes longueurs puifque ces viteffes font entr'elles, & ces temps entr'eux comme les racines de ces longueurs; ainfi V✓ L; a=vl, & de même T✓L,t=vl. 309. UN IV. Sur les mouvemens retardés: N corps pefant qui eft pouflé verticalement de bas en haut avec une viteffe quelconque toute acquife, perd à chaque inftant de la montée un degré de fa viteffe égal à celuiqu'il acquiereroit à chaque inftant en defcendant, jusqu'à 310. 311. ce que l'action de la pefanteur lui ait fait perdre au dernier instant de la montée le dernier degré de la viteffe avec laquelle il avoit été pouffé en haut; après quoi il retombe librement par l'action de la pefanteur. Les longueurs que les viteffes qu'il perd ( en partageant en temps égaux la durée de la montée) l'empêchent de parcourir, prifes depuis le commencement font entr'elles comme les quariés des temps, & auffi comme les quarrés des viteflès perdues; c'est à dire, nommant L la longueur prife depuis le commencement de la montée, qu'empêche de parcourir la vitesse perdue V au corps pefant pouffé en haut, pendant le temps T, eft à une autre longueur 7 prife auffi depuis le commencement qu'empêche de parcourir la viteffe perdue - pendant un autre temps t, comme TT à tt, & comme VV à uu, ainfi — L. — l ; : TT . tt :: VV. uu; &—VL. -Vl::— V. -u:: T. t.: - V. -- Pour comparer les mouvemens acceleres & retardés avec UN corps pefant étant defcendu depuis le repos pendant COROLLAIRES. I. POUR réduire les mouvemens accelerés ou retardés aux uriformes, il faut prendre les viteffes des mouvemens accelerés toutes acquifes, & les concevoir comme demeurant uniformes, & fi l'on prend les mêmes temps, il faut doubler les longueurs parcourues par la vitefle qui s'acquieroit dans le mouvement accele é. Ainfi dans le mouvement acceleré la viteffe V qui s'acquieroit faifoit parcourir la longueur L dans le temps T; Pour le réduire à l'uniforme, il faut concevoir que la même vitefle V toute acquise fera parcourir 2L dans le même tems T, II. 312. Par confequent la même viteffe V toute acquife fera parcourir la même longueur L dans le mouvement uniforme dans la moitié du temps T; c'est à dire, dans le temps T; elle fera, dis-je, parcourir la même longueur L qu'elle feroit parcourir dans le mouvement acceleré pendant qu'elle s'acqueroit dans le temps entier T. Car puisque la vitesse acquife V dans le temps T feroit parcourir 2L dans le mouvement uniforme; dans le même mouvement uniforme, elle fera parcourir L moitié de 2L dans T, qui n'eft que la moitié du temps T, pendant lequel la même longueur L feroit par courue dans le mouvement acceleré pendant que la vitesse v s'acquiert. 313. 314. embaraffé Il faut s'appliquer à concevoir clairement ce fecond Corol- III. FIG Si un corps pefant en descendant librement depuis le repos F-16 V. au point A, & parcourant la longueur AE (L), acquiert la viteffe V dans le temps T, & qu'il foit repouffé en haut de E vers A avec la même viteffe toute acquife V, il est évident que fa pefanteur lui fera perdre dans un temps égal au premier İfa viteffe V, & que cette viteffe V fera détruite par l'action de la pefanteur precisément à la fin du temps T. IV. Suppofé qu'un corps étant defcendu par le mouvement Fic. V. acceleré de fa pefanteur depuis le repos en A, & ayant parcouru la longueur AE (L) en acquierant la viteffe V dans le temps T, foit repouflé de E vers A avec la même vitesse toute acquife V, & remonte par un mouvement retardé à caufe de fa pefanteur, il remontera precifément à la même hauteur dans le même temps T qu'il avoit employé à defcendre, c'est à dire, il parcourera en remontant precisément la même hauteur EA (L) dans le même temps T, & il ne fçauroit remonter plus haut. Car avec la viteffe V toute acquife il remonteroit 2Z dans le temps T*, fi elle demeuroit * 319. uniforme, & que le mouvement ne fût pas retardé par la pesanteur; mais la viteffe V dans le temps T étant entierement détruite par le Corollaire précedent, la viteffe perdue Tome 11. D |