point O qui eft dans la verticale ONM où la bombe est pendant le jet au point le plus élevé. 2°. Trouver la distance horizontale AK depuis le point A jufqu'au point K où la bombe retombera fur l'horizontale AK. Pour refoudre ce Problême, je remarque, 1°, que la forcedu jet étant donnée, HA (d) eft connue; & concevant HA divifée en 400 parties égales, elle reprefentera la force du jet. Prenant une inclinaifon du mortier déterminée comme l'angle CAK que fait le mortier avec l'horizon AK, la pofition de la corde AC eft donnée, & par confequent le point Coù elle rencontre la demi-circonference; ainfi le côté vertical AB (b), l'horizontal BC (√db bb,) l'hypothenufe AC (db) du triangle rectangle ACB, font donnés. 2o. Que la viteffe par l'oblique AC eft ✔HA (vd), qui demeure uniforme pendant le jet; que la viteffe par l'horizontale BC ou ✓db — bb, eft √HA -BA (vd—b); & que la viteffe par la verticale AB ou b, eft AB (✓b). 3°. Que la moitié T du temps T que la bombe employeroit à defcendre AB par le mouvement acceleré, ou à monter AB dans le mouvement retardé, cette moitié, dis-je, T eft le temps pendant lequel dans le mouvement uniforme ces trois lignes du triangle rectangle ABC font parcourues par les viteffes qui leur conviennent; ainfi dans le temps entier T de la montée de la bombe à l'endroit le plus haut du jet, les mêmes viteffes feront parcourir le double de ces trois li gnes par le mouvement uniforme; & dans le temps 2T de la montée & de la defcente de la bombe au point K de l'horizontale, elles feront parcourir le quadruple de ces trois lignes. Refolution. Soit la distance inconnue AOz, & la distance inconnue AK; l'on aura, 1°, la longueur horizontale inconnue AO (z) eft à la verticale 2BA (2b), toutes deux parcourues par un mouvement uniforme dans le temps entier T, qui eft celui où la bombe doit monter au point le plus élevé du jet; comme la viteffe par l'horizontale qui est ✓d—b, est à la viteffe par la verticale qui eft b. L'on aura donc 2b2b√d-b; par confequent AO (x)=2dbbb *2BC. L'on aura, 2°, la distance horizontale inconnue * 288.. AK (1) est à la verticale 4AB (4b) parcourues l'une & l'autre #288. d'un mouvement uniforme pendant 2T qu'il faut à la bombe pour monter & enfuite retomber au point K; comme la viteffe par la premiere qui eft db, eft à la vitesse par la feconde qui eft b. Donc svb=4bvd — b, &s=4v db — bb 4BC. - En marquant AB par une indéterminée x, on aura AO (z)· = 2√ dx xx & AK (5) = 4√dx xx. COROLLAIRES. 325. D'où l'on voit que la distance horizontale AK depuis le mortier A jufqu'au point K où tombe la bombe de chaque jet (ce qu'on nomme l'étendue du jet) eft toujours quadruple du côté horizontal BC, ou DE, ou FG, &c. du triangle rectangle qui répond à ce jet; & que la diftance AO fur la même horizontale jufqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut de chaque jet, eft double de ce même côté ho rizontal. II. 326. Par confequent dans le demi cercle HGECA, le diametre FIG. VIII. HA étant pris pour une force de poudre quelconque, toutes les perpendiculaires CB, ED, GF, &c. ménées des cordes AC AE, AG, &c. qui marquent toutes les directions du mortier; ces perpendiculaires, dis-je, feront chacune le quart de l'éten due du jet qui lui convient par rapport à cette même force de poudre, & elles feront la moitié de la diftance horizontale qui eft depuis le mortier jufqu'à la verticale qui paffe par le point le plus haut du jet. II. 45 327. Comme le demi diametre DE eft plus grand qu'aucune des perpendiculaires BC, FG, &c. & que DE convient au jet fuivant la corde AE qui fait l'angle d'inclinaifon EAK de degrés; de tous les jets qui fe peuvent faire par la même force de poudre, celui qui fe fait, le mortier étant incliné de 45 degrés fur l'horizon, a la plus grande étendue, c'est à dire, a la plus grande portée : & cette étendue étant quadruple du demi diametre, eft double du diametre, c'eft à dire, la force HA du jet est la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés. Et Et comme les perpendiculaires FG, BC, qu'on fuppofe également éloignées du centre D, font égales; tous les jets poffibles qu'on peut faire avec la même force de poudre, ont deux à deux une égale étendue, l'un au deffous de 45 degrés, & l'autre autant au deffus de 45 degrés que le premier eft au deffous. Il n'y a que le jet de 45 degrés qui à la plus grande étendue, qui foit unique. PROBLEME III. 328. UN mortier ou un canon étant pointé de but en blanc, c'est FIG. VIII. à dire dans une direction BC horizontale au deffus d'une tour tée La viteffe du jet, c'eft à dire la viteffe de la bombe par Les Problèmes fuivants contiennent la pratique de l'art A PROBLEME IV. 329. TROUVER par un feul jet de bombe, à telle inclinaiJon du mortier qu'on voudra, la force du jet, & par con Jequent l'étendue ou la portée de tous les jets poffibles par cette même charge de poudre. 288. FIG. VII. * IL I. CAS. Quand on eft dans une plaine. L faut donner au mortier l'inclinaison CAK qu'on voudra, & lui donner auffi la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, & la remarquer; & aprés avoir jetté une bombe, remarquer le point K fur l'horizontale AK où elle fera tombée, & mesurer la diftance horizontale AK, qu'on fuppo fe, par exemple, de 1000 toifes, le quart de la portée AK, qui eft dans l'exemple 250 toifes, fera le côté horizontal BC d'un triangle rectangle ABC qui convient à ce jet: Ainfi l'on connoît dans ce triangle rectangle ABC, le côté horizontal BC de 250 toifes ou parties égales, l'angle ACB égal à l'angle d'inclinaifon du mortier qu'on a choifi, & l'angle droit ABC; le côté vertical BA & l'hypothenufe AC feront donc connus par la trigonometrie, ou en faisant un triangle rectangle femblable; & cela fuppofé, La figure feule fait voir qu'il n'y a qu'à faire AB. AC:: 322. AC. AH, & AH fera la force du jet *. Mais pour faire voir l'ufage de l'Analyse, voici la refolution analytique. 320. 304. FIG. VIII. Soit z la force du jet que l'on cherche, AB = b, BC=c, AC = e. * BA La viteffe par AC (e) eft vz *; la viteffe par AB (b) eft vb. L'on aura donc, vz. vb :: AC (e). AB (b); par confequent bv2 = evb, &z====AH; ainfi mettant le nombre des toifes, qui font les valeurs de b & de e, à leur place, on aura le nombre des toifes de HA qui eft la force du jet que l'on cherchoit. Et tirant par C la perpendiculaire CH à AC jufqu'à la rencontre H de BA prolongée, HA fera la ligne qu'on cherchoit qui exprime la force du jet. Faifant HA le diametre d'un demi-cercle, & menant à tous les degrés les cordes AC, AE, AG, &c. & tirant les perpendiculaires horizontales CB, ED, GF, &c. les cordes marqueront les directions de tous les jets poffibles par cette force; les horizontales marqueront le quart de l'étendue de ces jets; & le diametre HA fera la moitié de l'étendue du jet de 45 degrés. Ce qu'il falloit trouver. II. CAS. Quand on eft fur un terrain inégal, & que la bombe tombe fur une hauteur ou dans un lieu plus bas que le mortier. FIG. IX. LE mortier foit en Al'horizontale qui paffe par A est ARK, on donnera au mortier telle inclinaifon CAK qu'on voudra, mais quand on l'aura choifie, elle eft déterminée & connue; on donnera auffi au mortier la charge quelconque de poudre dont on voudra trouver la force, il faudra la remarquer ; il faudra enfuite jetter une bombe avec cette charge; & fuppofé qu'elle tombe fur le lieu plus élevé que le mortier, ou au lieu q plus bas que le mortier en A, il faudra mesurer la diftance AQ ou Aq, l'angle QAR ou qAR, ce qui donnera l'angle PAQ ou PAq; il faudra trouver par la Geometrie pratique la verticale QR ou qR, l'horizontale AR & PR; ce qui donnera auffi PQ ou Pq. Ces chofes fuppofées, on trouvera ainfi l'étendue du jet qu'on fuppofe être AK ou Ak, aprés avoir tiré la verticale KS ou k jufqu'à la rencontre de AC prolongée. Soient les connues AR=r, QR ou qR=q, PR=p, P2=1- -q, ou Pq=p+q; l'inconnue AK ou Ak = x; c aura, à caufe des triangles femblables, ARP, AKS, ou Aks, AR (r). PR (p) :: AK ou Ak (z). KS ou ks = £2. La viteffe de la bombe, fuivant la direction inclinée ACPS, eft uniforme, comme auffi la viteffe fuivant l'horizontale ARK, ainfi cette vitesse horizontale demeurant la même, les temps employés à parcourir AR, AK ou Ak, font comme ces longueurs AR (r) & AK ou Ak (z), & on les peut prendre pour marquer ces temps; mais dans le temps que la bombe auroit parcouru AR(r), la viteffe qu'elle a perdue par fa pesanteur fuivant la direction verticale, l'a empêchée de parcourir PQ ou Pq (p+q), puifqu'on fuppofe qu'elle est tombée en 2 ou en q; & dans le temps qu'elle auroit parcouru l'étendue AK ou Ak (z), la viteffe perdue l'auroit empêchée de parcourir la verticale SK ou sK (P3), ce qui donne P2(p-q) ou Pq * 309: * (p+q). SK ou sk :: AR2 (rr). AK2 ou Ak2 (2%); d'où l'on 13 ĀK2OU 2 déduira AK ou Ak (z) = ; c'eft à dire Pou Pq (p➡9). PR(p) :: AR(r). AK ou Ak⇒x=. Ce qu'il falloit trouver L'étendue AK du jet étant connue, on trouvera la force HA du jet, & l'étendue de tous les jets poffibles par cette force de poudre, comme dans le premier cas. |