III. CAS. Quand on eft fur une bauteur comme une tour ou un FIG. VIII. ON donnera au mortier, qu'on fuppofe en B sur la hauteur AB, dont la direction eft fuivant l'horizontale BC, la charge de poudre dont on voudra trouver la force, & il faudra la remarquer, comme auffi le point O où l'on fuppofe que tombera la bombe fur l'horizontale AO; & mefurer la hauteur AB qu'on nommera b, & l'horizontale AO, qu'on nommera a. 330. Pour trouver la force du jet HA, qu'on nommera x on fera ce raisonnement: La viteffe acquife par la chute de HA (x) qui eft vx, eft à la viteffe acquife par la chute de AB (b) qui eft b; comme la longueur horizontale AO (a) parcourue par la premiere d'un mouvement uniforme, eft à deux fois la hauteur BA ou 2BA (2h) que la feconde auroit fait parcourir à la bombe d'un mouvement uniforme dans le temps qu'elle est descendue par fa pefanteur d'un mouvement acceleré de la hauteur AB ou NO; d'où l'on déduira 2bx= avb, & x ; ce qui donne, BA (b). AO ({a) :: AO ({a). AH Ce qu'il falloit trouver. 44 x aa 46. La force du jet étant découverte, on trouvera, comme dans le premier cas, l'étendue de tous les jets poffibles par cette force. REMARQUE. ON PROBLEME V. I. CAS. Quand l'endroit où l'on veut faire tomber la bombe eft fur le plan borizontal qui passe par le mortier. LA c'est à dire dans une plaine. A question fe réduit à trouver l'inclinaison CAK qu'il FIG. VIIM faut donner au mortier, afin qu'avec la force qu'on a choifie, qu'on fuppofe reprefentée par HA, la bombe foit jettée à l'endroit K de l'horizontale AK qui paffe par le mortier qu'on fuppofe en A; on fuppofe auffi cette diftance horizontale AK connue par la Geometrie pratique. Pour trouver l'inclinaison CAK, il eft évident qu'il fuffit de trouver le côté vertical BA du triangle BAC. l'on cherche 325: * 320. Soit la force connue du jet HA=d, la distance horizon. tale auffi connue AK = b; par confequent le côté horizontal BC = AK b. Soit le côté vertical que BA= x, d'où l'on aura HBd-x. ВА Refolution. La vitesse par l'horizontale AK (b), qui èst vd. -x, fera parcourir cette horizontale AK (b) par un mouvement uniforme dans le temps que la bombe montera à la plus grande hauteur du jet qui eft égale à AB ( x ), & descendra de la même hauteur jusqu'à l'horizontale à l'endroit K, c'est à dire, dans le temps que la viteffe par la verticale AB (x) qui eft *, lui feroit parcourir d'un mou- *329, vement uniforme 4AB (4x); par confequent vd-x. vx :: AK (h). 4AB (4x); d'où l'on déduira xx dx + bb =o. Les deux valeurs de x dans cette équation font pofitives; la premiere eft *x=1d+v / dd —— bb; la seconde, x=÷d—v÷dd—bh; ce qui fait voir qu'il y a deux inclinaisons du mortier par lesquelles on feroit tomber la bombe au même endroit K de l'horizontale AK, & on les trouvera en mettant dans ces valeurs de x à la place de d & de b, les nombres de toifes qui leur font égaux; car HA & BA étant Fic. VIII, connues, le triangle rectangle ABC eft connu & la pofition de la corde AC qui eft la direction du mortier. I 6 REMARQUES. I. ་ I 16 On trouveroit la même refolution par la feule proprieté de N le 8 figure; car HB (d-x) BC (b) :: BC (b). BA (x); d'où l'on déduit la même équation xx — dx+1bb0, 769 Quand d=b, c'est à dire quand la force du jet HA (d) eft égale à la moitié de l'étendue AK (b), les valeurs de BA(x) font la feule grandeurd, c'est à dire ¦ HA, ce qui convient à l'inclinaifon de 45 degrés. III. Il eft évident que le Problême eft poffible dans tous les cas où heft moindre qued, ou est égale à d; ou, ce qui 144 14 eft la même chose, quand best moindre que d ou égale à d; & qu'il eft impoffible dans tous les cas oùb furpaffe d c'est à dire, quand le point K eft hors de la plus grande portée ou 327. de la plus grande étendue du jet qui eft égale à 2d. * FIG. IX. 288. 325. A SECOND CAS DU CINQUIEME PROBLEME. Quand l'endroit fur lequel on veut jetter la bombe eft plus éle vé ou plus bas que l'horizentale quipaffe par le mortier, com« me quand on veut la jetter fur le flanc d'un baftion, fur une tour, fur quelqu'endroit d'un fort qui eft fur une montagne § ou quand le mortier eft lui même fur une montagne. LA A question fe réduit, comme au premier cas, à trouver le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe, avec la force de poudre HA qu'on fuppofe connue, fur l'endroit Q, qu'on fuppofe élevé fur l'horizontale ARK qui paffe par le mortier A, ou fur l'endroit q plus bas que le mortier. Pour trouver BA, il faut mefurer l'angle QAR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique AQ, la verticale QR ou qR, & l'horizontale AR; & fuppofant HA=d, AQ ou Aq= =a, AR=r, QR ou qR & l'inconnue AB qu'on cherche = x; l'on aura BC=* -xx l'étendue du jet AK ou Ak, qui eft quadruple * de BC= 4 dx. -xx; la verticale KS ou ks 4BA=4x, & à caufe des triangles femblables KAS, PAR, on aura ✓ dx AK (4 dx -xx. KS (4x) :: AR (r), PR= d'où l'on déduira PQ=PR—QR = Vdxxxx On se contentera de donner la refo Vdx. -xx lution du Problême par rapport à P2; le Lecteur pouvant facilement l'appliquer à Pq. Refolution. La bombe qu'on fuppofe jettée fuivant la direction ACPS, rencontre la hauteur 2 dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouru AR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur 2, elle feroit tombée au point K fur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l'horizontale AK; ainfi la viteffe étant uniforme, c'est à dire la même par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AK *, peuvent *303. s'exprimer par ces longueurs. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la viteffe verticale que la pefanteur a fait perdre à la bombe, l'a empêchée de parcourir PQ; & dans le temps du mouvement uniforme par AK, la vitefle verticale que la pefanteur lui auroit fait perdre, l'auroit empêchée de parcourir SK; par consequent * AR (rr ) . * 309. AK2 ( 16 x dx -xx):: PQ rx- qdx 1xx Cette équation a deux racines pofitives, ainfi il y a deux *29. valeurs de BA (x) qui donnent deux angles d'inclinaifon Cor. 8. pour le mortier , par chacune defquelles on lui fera jetter. la bombe fur l'endroit 2; ces deux valeurs font AB (x) drr2dqqrrq drr+2dqq rrq 2.xrr+qq 2 x rr ✈ 992 14 2 dq rr+qq Mais à cause du triangle rectangle AQR, AQ (aa)=AR2 (rr) → QR (99); ainfi mettant aux dénominateurs aa à la place derr 99, & aux numerateurs aa -99 à la place de rr, les deux valeurs de AB feront AB (x) = ÷ d+ ÷ y+d. 99 + d + 12/29 + d — 2/1 q x 22 2 2 44 Par exemple, fuppofé que la force de la poudre HA(d) foit de 300 toifes; l'éloignement A2(a) de 320 toiles; la hauteur QR (9) de 83 toifes; en fubftituant ces valeurs de d, 4, 4, à leur place dans les valeurs de AB (x), on trouvera que la plus petite eft de 85 toifes, & la plus grande de 273 toifes. Ainfi partageant le diametre HA du demi cercle en 300 parties égales prenant, 1°, AB de 85 parties, & tirant la perpendiculaire BC, la corde AC fera la premiere direction qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe en 2. 2o. Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpendiculaire FG, la corde AG fera la feconde direction qu'il faut donner au mortier pour le même effet. REMARQUES. I. LE Problême est toujours poffible quand la quantité négative qui eft dans les deux valeurs de x fous le figne, eft moindre que la pofitive qui eft fous le même figne ou *78. quand elle lui est égale; & il est impoffible * quand elle est plus grande. II. Si l'angle d'inclinaifon du mortier CAK étoit donnée, & qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'eft à dire, la force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit 2; FIG. IX. dans cette fuppofition l'angle PAR eft connu, & l'on trouvera par la Geometrie pratique les lignes A2(a), AR (r), QR(q), PR, qu'on nommera p; nommant auffi l'étendue inconnue du jet AK (z), on trouvera par le fecond cas du quatriéme Problême l'étendue AK (2), BC ( — AK Ł༢)》 enfuite on trouvera la force du jet HA (d) que l'on cherchoit, comme dans le quatriéme Problême. 531. Ufage de l'Analyse pour trouver le centre de pefanteur Principes que l'on fuppofe pris des traités de Méchanique. UN N levier eft une ligne droite comme AB, qu'on fuppose FIG. IV. inflexible, & que l'on confidere, pour l'exactitude des démonftrations, comme n'ayant aucune pefanteur. On y diftingue trois choses, 1°, un de fes points, foit à l'une ou l'autre de fes extremités A ou B; ou entre les extremités comme C, |