341. FIG. XIII. FIG. XIV ni, afin que les durées de chacune des vibrations foient égales, & le moyen de faire décrire cette courbe à ce point là dans les horloges. L'Analyse fait trouver l'une & l'autre de ces deux choses. Voici la premiere. DEFINITION. UN pendule fimple eft une ligne inflexible SC, qu'on confidere comme n'ayant aucune pefanteur, qui eft fufpendue à un point S, qu'on appellera le point de fufpenfion, au bout de laquelle eft un poids C, & l'on conçoit que le poids C est comme réuni au point C qui eft l'extremité de la ligne. La distance SC du point de fufpenfion jufqu'à ce point C, est la longueur du pendule fimple. Si l'on retire un peu le pendule de la fituation verticale, il fera de petites vibrations qui feront fenfiblement d'une égale durée. Un pendule compofé eft celui où il y a plufieurs poids enfi& XV. lés par la même ligne inflexible, & l'on confidere ici chacun de ces poids comme fi ce n'étoit qu'un point. La diftance depuis le point de fufpenfion S d'un pendule compofé jufqu'au point C (fig. 14.), & jufqu'au point K (fig. 15.), que l'on fuppofe égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone, c'est à dire, qui feroit fes vibrations dans le même temps que le pendule compofé, s'appelle la diftance du centre d'ofcillation ; & le point C ou K s'appelle le centre d'ofcillation. DANS PREMIERE DEMANDE. 342. ANS un même pendule compofé, qu'on fuppofe inflexiFIG. XIV ble, les poids differents comme A, L, (fig.14.), & A, B, L, & XV. (fig. 15.), ne fçauroient fe mouvoir qu'ils ne décrivent dans le même temps des arcs femblables AQ, LP; par confequent le temps étant le même, les viteffes des poids font neceffairement entr'elles comme ces arcs; & ces arcs comme leurs rayons SA, SL: ainfi les viteffes des poids A & L font comme leurs distances AS, LS du point de fufpenfion. SECONDE DEMANDE. 343. L'EFFORT de la pefanteur fur les corps pefants leur imprime au premier inftant de leur chute à chacun un même petit degré de viteffe, qu'on nommera 1. Ainfi le produit de 344. chaque poids par 1, par exemple A x 1, L x 1, &c. ou PROBLEME I. TROUVER la diftance du centre d'ofcillation d'un pen- T PREMIER CAS. 299. 299. Lorfque le pendule compofe a deux poids A&L. Sort le poids Aa, le poids L=1, la distance SA=ẹ, F1G. XIV. la diftance SL =f; la longueur inconnue SC du pendule fimple ifochrone, ou la diftance du centre d'ofcillation du pendule compofé foitz. Soit auffi le mouvement inconnu du poids A (a) dans le pendule compofé au premier inftant de la defcente = y; le divifant par le poids * A (a), on aura * la viteffe du poids A (a) dans le pendule compofé. Mais dans le premier inftant la viteffe 2 du poids A dans le pendule compose, est à la viteffe du poids C dans le pendule fimple ifochrone, ou du point C dans le compofé qui eft à la même diftance SC, laquelle viteffe eft 1 dans le même premier instant par la feconde demande, comme la distance SA (e) est à la distance SC (2) par la premiere demande: Donc SC (x) Ainfi il ne s'agit plus que de trouver la valeur de y pour avoir celle de SC (z). Voici comment on la trouve. ac La pefanteur au premier inftant de la defcente des poids A (a) & L (1) du pendule compofé, leur imprime à chacun la même vitesse 1 (par la feconde demande) ainfi leur quan tité de mouvement est a x 1, 1 x 1, ou a & l: mais le poids A (a) à caufe du pendule inflexible, ne peut pas dans ce même instant parcourir une longueur qui foit égale à celle que parcourt le poids L (1), mais il eft neceffité par le pendule à parcourir une longueur AQ moindre que celle que parcourt / qui eft LP; le poids a perd donc une partie du mouvement a × I que lui donne la pefanteur, & il retient feulement la partie y de ce mouvement laquelle nous cherchonss & l'autre partie qui eft axi-y, où a―y, eft celle de-ey qu'il perd. Cette partie perdue a- y se distribue au point 335. de fufpenfion S & au poids L (1) *; la partie de cette perte a- qui fe communique au point de fufpenfion, doit s'y perdre entierement, parceque ce point eft immobile. L'autre partie de la perte ay qui fe diftribue au poids 1, fe trouve 335. ainfi * SL (f). SA (e) :: a — y. ""; par consequent la quantité de mouvement que reçoit de la pefanteur au premier inftant le poids 1, qui eft / x 1, eft augmentée de ""; ainfi la quantité de mouvement du poids / dans le pendule 299. compofé eft fl; la divifant par le poids 1, l'on aura * la viteffe du poids / dans le pendule compose fr fl+ Or cette vitesse + eft * à la viteffe 2 du poids a dans le même instant, comme SL (ƒ) à SA (e). L'on a donc f fy; d'où l'on déduit y = eey; 342. pour eflace ey te valeur toute connue de y à fa place eeaffl aefl aace f ey a. Mettant cetdans SC (z) = &; l'on trouve SC (z) = aff; c'eft la longueur du pendule ifochrone, ou la diftance SC du centre d'ofcillation que l'on cherchoit, SECOND CA S. Lorfque le pendule compofé a trois poids A, B, L. 345. AJOUTANT aux deux poids a & I un troifiéme poids B, FIG. XV. qu'on nommera b, & fa distance SB g; il faut trouver la nouvelle distance inconnue SK, qu'on nommera encore %, du centre d'ofcillation qu'on fuppofe en K, & qui étoit auparavant en C. Soit x la quantité du mouvement du poids B (b) dans le 299. pendule compofé, par confequent * eft fa viteffe; mais la viteffe du poids b dans le pendule compofé qui eft, eft à la viteffe du poids qui eft au bout du pendule fimple ifochrone; ou, ce qui revient au même, du point K qu'on fuppose être le centre d'ofcillation du pendule compofé de trois poids, la* 343. quelle vitesse est 1 *, comme la distance SB (g) eft à la lon342. gueur z du pendu le ifochrone *, ou à la distance SK (z) du centre d'ofcillation que l'on cherche. Donc SK (2)=4& Pour avoir la valeur de SK (z), il ne faut plus que trouver la valeur de x de la maniere fuivante : Par la 2 demande la quantité de mouvement que reçoit & de fa pefanteur dans le x, ou b. 535 le premier inftant, eft b x 1; ainfi ne lui reftant à caufe du eabgbfgleag-fglx à la partie de la perte b-x du mouvement de b qui se diftribue au centre C d'ofcillation des deux poids A & L, où tout leur mouvement eft conçu comme réuni. Ainfi on conçoit à ce point C la fomme des mouvements des poids A & Ĺ, qui eft ( par le premier cas de ce Problême, en mettant dans yfi, la valeur de y aefl sace aefl+aace + fl+ae-eX aefl+aace 441024eflffll; & de plus l'on Ace+ffl are+ffl y conçoit la partie de la perte b aceffl aceffl -x du mouvement de b qui eft diftribuée à ce point, & qu'on vient de trouver = abeg+bfg!-acgx-fglx Ainfi le mouvement entier qu'on conçoit acc+ffl au point C, est use ✦ 2acf 1 ✦ff1 1✦abeg✦bfg! — aegx == fg 1x aex bg ace+ffl Mais la diftance SB (g) eft à la diftance SA (e), comme la viteffe du poids & dans le pendule, eft à la viteffe du poids a dans le même premier inftant; ainfi la viteffe de a dans le pendule de trois poids eft; la multipliant par le poids a, l'on aura pour la quantité de mouvement du * poids a dans le pendule à trois poids, De même SB (g) eft à SL (f), comme la viteffe du poids b eft à la viteffe du poids, laquelle eft par confequent fx ; la multipliant par le poids /, l'on aura pour la quantité de mouvement du poids / dans le pendule à trois poids; leur fomme est donc égale à la quantité de mouvement qu'on a trouvée en concevant leur mouvement réuni au point C; ainfi l'on a l'équation dexflx aace ✦zaefl ✦ff11✦abeg✦lfglaegx-fglx; d'où l'on dé duit x aabeeg ✦ zabefgl✦bffgll ✦ abbegg ✦ lbfggl aac3 ✦ æcefl ✦ aeffl✦ fill✦abegg✦bfggl Pour avoir la distance SK () du centre d'ofcillation du pendule à trois poids, ou la longueur du pendule ifochrone, il ne faut plus que fubftituer cette valeur de x dans SK (2) b, & l'on aura aprés avoir divifé le numerateur & le par eea+ggbffl dénominateur qu'on trouvera enfuite de la fubftitution COROLLAIRE. 2 346. EN continuant cette Analyse pour les pendules à quatre poids, à cinq poids, &c. on trouvera toujours que la distance du centre d'ofcillation est égale à une fraction dont le nu merateur contient la fomme des produits des poids chacun par le quarré de fa diftance du point de fufpenfion, & le dénominateur contient la fomme des produits des mêmes poids chacun par la fimple distance où il eft du point de fufpenfion. AVERTISSEMENT. L'ON met d'ordinaire au pendule d'une horloge deux poids connus, l'un qui eft le plus pefant eft attaché fixement au bout du pendule, l'autre eft petit, qu'on appelle la lentille, & l'on peut le faire couler le long du pendule en le hauffant ou l'abbaiffant, pour retarder ou pour avancer l'horloge felon le befoin; & on peut par une vis l'arrêter au point qu'il faut pour faire marquer les fecondes à l'horloge. A PROBLEM E II, Qui eft l'application du précedent à la pratique. 347. AYANT un pendule à deux poids A & L, comme l'on vient de dire, trouver l'endroit du pendule où il faut arrêter la lentille ou le petit poids A, afin que le pendule faffe fes vibrations chacune dans une feconde ou dans une autre partie de temps déterminée. FIG.XIV. IL eft clair que la question fe réduit à trouver la distance SA du point de fufpenfion S, où il faut mettre le petit poids A, afın que le pendule compofé ait fa distance SC du centre d'of cillation égale à la longueur d'un pendule fimple ifochrone c'est à dire du pendule fimple qui fait fes vibrations chacune dans une feconde. Il faut donc apprendre de l'ufage qui eft maintenant affés connu, quelle eft la longueur SC d'un pendule fimple qui fait fes vibrations chacune dans une feconde. On fuppofe cette lon gueur, que l'on fçait être de trois pieds huit lignes & demie, |