K; on fuppofe le gros poids connu L=1, fa distance SL auffi connue =ƒ; le petit poids A connu = a; fa distance * 344SA inconnue = x. Ayant trouvé * que la diftance du centre d'oscillation d'un pendule à deux poids efteafft; il faut fuppofer que e étant à present indéterminée, reprefente x, l'on aura, en mettant à la place de e, axfl K, ce qui donne l'équation du fecond degré xx — Kx —

axx ffl

fkl

&

➡ ff!

a

29.

ò, dont les deux racines font x=KVKK+ fKl-ffl * 76. Ces deux racines font pofitives * quand K eft moindre que fi cor. 8. parcequ'alors le dernier terme fkff eft pofitif. Ainfi l'on

aura deux points dans le pendule compofé, dont les distances
du point S font déterminées, étant les valeurs de qu'on vient
de trouver; & mettant la lentille A auquel on voudra de ces
deux points, les vibrations du pendule compofé fe feront cha-
cune dans une seconde.

Suppofant donc que SL (f) surpasse SC (K=3 pieds 8lig.) par exemple que f= 3 pieds 1 pouce, que /=3 livres, que la lentille A (a = 1 once), en mettant ces nombres à la place des lettres dont ils font les valeurs dans chacune des valeurs dex, on aura deux distances du point S; & mettant la lentille à laquelle on voudra, les vibrations du pendule marqueront les fecondes. Ce qu'il falloit trouver.

REMARQUE.

Où l'on fait voir l'étendue des refolutions des Problêmes
que l'Analyse fait découvrir.

348. 1°. Si l'on vouloit que les vibrations du pendule à deux poids FIG.XIV.
se fiffent dans une autre partie du temps qu'une feconde,il n'y
auroit qu'à apprendre de l'experience la longueur du pendule
fimple dont les vibrations fe feroient chacune en cette partie
du temps; & mettre cette longueur à la place de K, & l'on
auroit la distance du point S où il faudroit mettre la lentille
A, afin que le pendule compofé fît les vibrations chacune pen-
dant cette même partie du temps.

2o. Si on vouloit que le pendule compofé fit fes vibrations chacune en une feconde, & qu'on voulut auffi que la diftance SA (x) de la lentille A fût déterminée, & toujours

K

il n'y auroit qu'à supposer dans SA = K√÷KK +fKl—ffl

fKl—ffl

a

a

que KK + =o, & prendre la distance du plus gros poids L, qui eft f, pour inconnue, & l'on auroit l'équation du fecond degré ff — Kƒ '— =o, dont la racine pofiti

1

aKK

4/

K

ve ƒ =÷K+√÷KK➡a** =÷K+~ √1+†, marque roit la distance SL (f) qu'il faudroit donner au gros poids L afin que le pendule compofé dans lequel la diftance de la lentille SA est K, fît ses vibrations chacune dans une feconde. Ainfi mettant dans cette valeur de SL (f) les nombres repre fentés par a, K, I, l'on aura la distance SL du gros poids L propre à cet effet.

3°. On peut trouver par la valeur de SA (x) = K →☀ √÷KK➡flffl, les cas où le fecond Problême est poffible,

a

& ceux où il eft impoffible. Car fuppofant √KK → fKl-ffl =o, on aura l'équation KK

4 fl K-4ffl

4ffil

aa

a

4ffl

A

dont la ra

+ als ce qui fait voir que quand K surpasse lal, le Problême eft poffible; parceque les grandeurs pofitives qui font fous le figne dans la valeur de x, furpaffent la négative: mais quand K eft moindre 2 fl of x Vilal, la négative furpaffe les pofitives, & les valeurs de SA (x) font imaginaires.

4°. On peut appliquer la refolution du fecond Problême aux pendules compofés de plus de deux poids, en fuppofant la distance inconnue du feul petit poids qui tiendroit lieu de len

Où l'on fait voir l'ufage de l'Analyfe dans la Geometrie
compofée, c'est à dire, l'usage de l'Analyse par rapport
à toutes les lignes courbes, pour en découvrir les proprie-
tés & les ufages.

AVERTISSEMENT.

C'EST dans la Geometrie compofée, c'est à dire dans la

fcience des lignes courbes, que paroît furtout l'ufage, & mê-
me la neceffité de l'Analyfe; depuis qu'on l'a appliquée à cer-
te science, on y a fait des progrés furprenants; & fi elle n'étoit
pas infinie, on auroit dans l'Analyse, en employant le calcul
differentiel & integral (inventé de notre temps) le moyen
de l'épuifer. Comme la fcience des lignes courbes fert à la Phy-
fique & à toutes les fciences Phyfico-Mathematiques, d'où
dépend la perfection des arts; c'eft dans cette fcience que pa-
roît évidemment l'utilité de l'Analyfe.

On applique l'Analyse aux lignes courbes, en réduisant
chaque courbe à une équation qui en exprime une des prin-
cipales proprietés; & enfuite on découvre par le feul calcul
de l'Analyfe, en fe fervant de cette équation, tout ce que l'on
peut defirer de fçavoir de cette courbe. L'Analyfe même four-
nit le moyen d'exprimer une infinité de courbes par une mê-
me équation par le moyen des lettres indéterminées, & de
découvrir par le même calcul les proprietés de toutes ces cour-
bes. C'eft ce que l'on va expliquer dans cette section.

PREMIERE DEFINITION.

XVIII.

339. QUAND deux lignes données AB, BC, font un angle Fic. XVI. quelconque ABC, & que la premiere AB ou une de fes XVII. & puiffances, comme AB, AB3, &c. ou le produit de la premiere AB, ou de quelqu'une, ou de plufieurs de fes puiffances par d'autres lignes données; quand, dis je, cette premiere ligne AB, où ce produit eft égal à la feconde BC ou à quelques unes de fes puiffances, ou au produit de BC, ou des puiffances de BC par des lignes connues; on dira que cette égalité ou équation exprime le rapport des lignes AB

350.

FIG. XVI.

& BC. Ainfi fuppofé AB = a, BC=b, & une autre ligne
donnéep; fuppofé auffi que ap= bb, ou aap b3 → pbb;
on dira que cette équation exprime le rapport de AB à BC.

Explication de la maniere dont l'Analyse réduit les courbes
à des équations qui en expriment la nature, c'eft
à dire les principales proprietés.

CAC eft une ligne foit droite foit courbe fur un plan; ABbest une ligne droite donnée de pofition, dont le point fixe ou l'oriXVII. & gine A eft déterminée, mais la ligne eft indéterminée de côté XVIII. & d'autre; foit gAG une ligne droite qui coupe AB au point A en faifant avec elle un angle quelconque BAG; foient auffi de tous les points de CAc des lignes droites CB, cb, &c. tivées fur AB, paralleles entr'elles & à gAG; fuppofé que l'équation qui exprime le rapport de la premiere parallele BC avec la premiere AB, foit la même que celle qui exprime le rapport de la feconde be avec la feconde ligne Ab correfpondante, de la troifiéme bc avec la troifiéme Ab qui lui répond, & ainfi de toutes les autres, de maniere qu'en mettant chaque bc dans la premiere équation à la place de la premiere BC, & la correfpondante AB de chaque nouvelle BC à la place de la premiere AB, ce foit la même équation; on peut faire une équa tion qui convienne à tous les points de la ligne droite ou cour be cAC, en nommant la changeante Ab, x; la changeante BC, y, & mettant dans la premiere équation x à la place de AB, & yà la place de BC, & l'on a l'équation de la ligne droite ou courbe CAC.

35.

EXEMPLES.

Si l'on a les deux lignes droites données p & d, & que l'équation qui exprime le rapport de chaque BC (1) à chaque 282 AB(x), foit px= dy; la ligne ACC eft droite.

Si l'équation qui exprime le rapport de chaque BC ( 1 ) à chaque AB (x), eft pyy, la ligne ACC eft courbe, & fe nomme la parabole, & px=yy, eft l'équation à la parabole. Si l'équation eft yy = dx. xx, la courbe ACC fe nom..

me l'ellipfe.

Si l'équation eft yy = 289. circonference du cercle *. Si l'équation eft yy

me l'hyperbole

Si l'équation eft ppx=y3, la courbe ACC fe nomme la premiere parabole cubique.

Si l'équation eft pxx=y3, la courbe ACC se nomme la seconde parabole cubique.

Si l'équation eft = dyy - xyy, la courbe ACC se nomme la ciffolde.

Comme il y a une infinité de courbes differentes, il y a auffi une infinité d'équations differentes qui les expriment; & il est inutile d'en faire ici une longue énumeration; ce que l'on vient de dire fuffit pour faire concevoir comment l'Analyse reduit chaque courbe à une équation qui exprime fa principale proprieté, d'où l'on déduit le autres.

Si l'on tire des points CCcc de la ligne CCAcc des paralle. FIG. XVI. lesCG, cg, &c. à la ligne AB qui fe terminent à la ligne gAG qui eft fuppofée parallele aux lignes BC, Bc, bc, &c.il eft évident qu'à caufe des paralleles, les lignes AG, Ag, &c. font égales aux lignes BC, bc, &c. chacune à fa correfpondante; ainfi chaque AG=y; & que de même les lignes GC, gc, &c. font égales aux lignes AB, Ab, &c. chacune à celle qui lui répond, ainfi chaque GCx. D'où il eft clair qu'en rapportant les points de la ligne ACC à la ligne droite gAG, par le moyen des paralleles CG, cg, &c. l'on aura la même équation l'on avoit de la même ligne CCAcc, en rapportant tous fes points à la droite ABb par le moyen des paralleles BC, bc, &c.

que

353. DANS

SECONDE DEFINITION.

ANS toutes les courbes qu'on peut réduire à une équa. FIG. XVI. tion qui en exprime la proprieté, la ligne droite AB à la quelle on rapporte tous les points de la courbe, s'appelle Ta ligne des coupées ou des abfciffes, & la changeante AB, Ab, &c. s'appelle la coupée ou l'abfciffe; le point fixe A s'appelle l'origine. Les paralleles BC, bc, &c. s'appellent les or doncés ou les appliquées: & comme l'on a vû qu'on pouvoit prendre auffi les coupées fur AG parallele aux ordonnées, & les ordonnées fur ABB, chaque AB & fa correfpondante BC s'appellent les coordonnées ; & les deux lignes ABB, AG qui fe coupent à l'origine A, les lignes des coordonnées; & l'angle GAB qu'elles font enfemble, l'angle des coordonnées; & les quatre ang les GAB, GAH, gÃH, вAg, qu'elles