font ensemble à l'origine A, font les quatre angles des deux lignes des coordonnées.

1

Divifion des courbes en differens genres:

354. Les lignes

ES

Es lignes comme CCAcc dont on peut exprimer la natu re, c'est à dire, la principale proprieté par une équation alge brique qui contienne le rapport des coordonnées changeantes x 350. &y, lefquelles coordonnées ne font que de fimples lignes droites, s'appellent Geometriques ou Algebriques, & on les diftingue en differens genres, dont chacun prend fon nom du nombre qui eft l'expofant de la plus haute puiffance de celle des deux coordonnées x ouy, qui eft élevée au plus haut degré fans mêlange de l'autre dans l'équation, ou du nombre des dimenfions du produit de l'une par l'autre dans l'équation quand ce produit a plus de dimenfions que la plus haute puif fance feparée de l'une & de l'autre.

Les lignes dont l'équation ne contient que x & lineaires fans être multipliées l'une par l'autre, comme px=dy, font les lignes du premier genre; & il n'y a dans ce premier genre que la ligne droite.

Les lignes dont l'équation contient le quarré de l'une des coordonnées x ou y, ou le quarré des deux xx & yy, ou le produit des deux xy, font les lignes du fecond genre: Mais comme elles font auffi les premieres courbes ou les courbes les plus fimples, on les appelle le courbes du premier genre.

Toutes les courbes dont l'équation contient la troifiéme puiffance de l'une ou de l'autre des coordonnées x3 ou y3, ou dé toutes les deux x3 & y3, ou un produit des deux qui a trois dimenfions xxy ou xyy, font les lignes du troifiéme genre, & en même temps les courbes du fecond genre; & ainfi de fuite à l'infini

La maniere d'exprimer par une seule équation une
infinité de courbes toutes de differens genres.

355. EN

N mettant dans l'équation à la parabole p' x'y' des expofants indéterminées m & n, on aura l'équation "x" — "x"="+n qui exprime les paraboles de tous les genres à l'infini, en concevant que m & n reprefentent tous les nombres entiers que l'on peut mettre à leur place dans cette équation. Par exem ple fi m=1,n=1, l'équation p" " fera l'équation

à la

à la parabole du premier genre p'x'=y': Sim=2, n=1,
l'équation p"x"="" sera ppx=y3, qui eft l'équation à la
premiere parabole cubique: Si m=1, n=2, l'équation
px
¿TMa=1 sera pxx =y', qui eft la feconde parabole cu-
bique: Si m = 3,
3, n = 1, l'équation pyn fera p3x
=y, qui eft la premiere parabole du troifiéme genre; & ainfi

à l'infini .

m →

==

De même en mettant dans l'équation à l'ellipse dy2 = x2 × d-x', & dans l'équation à l'hyperbole x2xd+x les expofants indéterminés m & n; l'on aura, 1°, l'équation =x" x d—x", qui exprime les ellipfes de tous les genres à l'infini, m & n reprefentant tous les nombres entiers qu'on peut mettre à leur place; & 2o, l'équation #

= x*x

d+x, qui exprime les hyperboles de tous les genres à l'infi-
par la même raison.

ni

On peut de même rendre generales les équations de toutes les courbes qu'on peut imaginer.

TROISIEME DEFINITION.

:

356. DANS les courbes du premier genre, quand la ligne des Fic. XVL coupées ABB coupe par la moitié chacune des ordonnées CBc terminées de côté & d'autre à la courbe, elle s'appelle un diametre de la courbe, & le point A où ce diametre rencontre la courbe, est nommé le fommet de ce diametre, il fuffit qu'il en coupe deux differentes par la moitié, pour les couper toutes. Quand le diametre eft coupé perpendiculairement par les ordonnées, on l'appelle l'axe de la courbe; la ligne droite donnéep dans les équations px px = yy, vy ±x × d—x, y yj =xx d+x, s'appelle le parametre du diametre qui eft la ligne des coupées x dans l'équation. Dans l'ellipfe & dans l'hy- FIG. XVII. perbole les diametres fe croifent dans un point K qu'on appel- & XVIII. le le centre. Dans l'une & dans l'autre le diametre Dd qui eft parallele aux ordonnées, s'appelle le fecond ou le diametre conjugué du premier diametre Aa qui les coupe chacune par la moitié, & on les appelle conjugués l'un de l'autre. Une li gne qui touche une courbe dans un feul point, comme CS s'appelle la tangente en ce point là qui s'appelle le point touchant ; & la partie de la ligne des coupées comme BS, qui eft interceptée entre l'ordonnée BC du point touchant C, & Tome 11. H

FIG.XIX.

. XX XXI.

le point S où elle est rencontrée par la tangente prolongée, FIG, XIX. s'appelle la foutangente une droite CD perpendiculaire à la tangente au point touchant, s'appelle une perpendiculaire à la courbe, & la partie BD de la ligne des coupées entre l'ordonnée BC au point touchant, & le point D où cette perpendiculaire coupe la ligne des coupées, fe nomme la Jouperpendiculaire.

357..

Une ligne droite fur le même plan de la courbe, dont la courbe s'approche de plus en plus à l'infini fans jamais la FIG. XXI. toucher, comme KE, s'appelle une afymptote de la courbe, Les mêmes définitions conviennent aux courbes des genres plus élevés, néanmoins comme la même courbe dans ces genres plus élevés, a d'ordinaire plufieurs branches de chacun des côtés du diametre, quand elle a un diametre; lorfque la ligne des coupées coupe chaque ordonnée de ma niere que la fomme des parties de l'ordonnée terminées aux points de chaque branche de la courbe d'un côté, est égale à la fomme des parties de la même ordonnée terminées aux branches de la courbe qui font de l'autre côté ; alors la ligne des coupées eft un diametre de la courbe, & ce diametre eft l'axe, quand les ordonnées lui font perpendiculaires.

De la formation ou defcription des courbes, furtout
du premier genre.

N

358. On peut tracer les courbes fur un plan de deux manieres 1°, par le mouvement continu d'un point, ce qui

faire de differentes manieres: par exemple, on peut faire peut mouvoir deux longues regles fur deux points fixes qu'on appelle les Poles, de façon qu'elles fe croifent pendant leur mouvement en des points dont la fuite eft la courbe que l'on veut décrire l'une des deux regles peut fe mouvoir parallelement le long d'une ligne donnée de pofition, pendant que l'autre tournera fur fon pole, & la fuite des points où elles fe croifent pendant leur mouvement fera auffi une courbe; l'on peut faire mouvoir une figure rectiligne ou courbe le long d'une regle immobile, pendant qu'une autre regle fe mouvant fur fon pole, coupera la courbe en des points dont la fuite fera une ligne courbe. On peut imaginer une infinité d'autres manieres de décrire les courbes

par

le

mouvement continu; 2°, en trouvant plufieurs points de la
courbe tres proches les uns des autres, & les joignant ensem-
ble par de petites lignes, l'on a à peu près la courbe que l'on
veut décrire.

359. De toutes les manieres que l'on a trouvées de décrire les
courbes du premier genre par un mouvement continu, la plus
commode eft la fuivante, dont M. le Marquis de l'Hospital eft
l'autheur, parcequ'elle fert non feulement à les tracer avec les
axes, mais auffi avec tel diametre de la courbe qu'on voudra ;
& de plus elle donne d'abord l'équation de la courbe la plus
fimple par rapport à fes axes ou à fes diametres.

Il faut remarquer que les courbes du premier genre fe nom-
ment ordinairement les fections coniques, parcequ'en conce-
vant deux cones égaux qui ont le même fommer, & qu'un
plan coupe l'un des deux ou tous les deux, la fection eft une
parabole, quand le plan coupant eft parallele à un côté
de la furface du cone; une ellipfe, quand le plan coupe
le côtés oppofés de la furface du cone, & ne fait
pas les
angles avec ces côtés, égaux à ceux qui font ces côtés fur la
bafe du cone; un cercle quand le plan coupe les côtés oppofés,
& fait avec eux les angles égaux à ceux que font ces côtés fur
la bafe; une hyperbole, quand le plan coupe les deux cones
oppofés au fommet: c'eft ce qui a fait appeller par les Anciens,
Sections coniques, les courbes du premier genre; mais cette ma-
niere de concevoir ces courbes comme formées par la fection
du cone, étant plus embaraffante que la maniere de les décrire
fimplement fur un plan, celle-ci étant la feule qui eft d'ufage;
on ne parlera point ici de la premiere. On fe contentera d'ex-
pliquer la feconde, d'en déduire les équations des fections co-
niques, & les principales proprietés neceffaires pour entendre
ce huitiéme livre.

La formation de la parabole.

360. 1°. IL faut tirer une droite AB indéterminée, & prenant FIG. XVI. le point A pour l'origine, mener une autre droite gAGP par A faifant l'angle BAG avec AB égal à celui que l'on veut que faffent les ordonnées avec ABb; & ayant pris AP de la grandeur que doit être le parametre du diametre AB ou d'une grandeur déterminée telle qu'on voudra, qui fera

& XVIII.

le parametre du diametre ABb de la parabole qu'on décrira, il faut mener par P la ligne indéterminée FPf parallele à. ABb.

2o. Il faut prendre une longue regle ACF, l'attacher par un clou au point A autour duquel elle puiffe fe mouvoir fur le pole A, & la mettre d'abord fur la ligne gAGP; il faut enfuite prendre une longue regle GC, & la faire gliffer toujours parallele à AB le long de la ligne AGP, & la mettre d'abord le long de ABb.

3°. Pour décrire la partie de la parabole qui eft à la droite de AB, il faut faire mouvoir en bas la regle ACF fur le pole. A, & faire en même temps gliffer la regle GC le long de AGP, faifant en forte que AG foit toujours égale à PF, & marquer avec un stile C la ligne courbe AC qui paffe par tous les points C, où les regles fe croifent dans leur mouvement & ce fera la partie de parabole qui eft vers la droite du diametre ABb.

4°. Pour décrire l'autre partie Ac de la parabole, il faut faire mouvoir la regle Af en haut au deffus de P, & faire gliffer la regle gc le long de Ag, faifant en forte que Ag foit toujours égale à Pf, & marquer avec un stile c la courbe qui paffe par tous les points c où les regles Ac & gc fe croifent dans leur mouvement continu, & ce fera la feconde partie de la parabole.

C

La defcription de Pellipfe & de l'hyperbole .

361. LA A longueur Aa du diametre ou de l'axe doit être déterFIG. XVII. minée, comme auffi la longueur AP du parametre qui con vient à ce diametre ou à l'axe; & l'on doit d'abord faire ce qui eft marqué dans les deux premiers articles de la parabole, excepté que la feconde regle aC doit être mobile autour du pole a, qui eft la feconde extremité du diametre Aa.

Pour décrire la partie de l'ellipfe ou de l'hyperbole qui eft à la droite de ABb, on fera mouvoir en bas au deffous de P la premiere regle ACF fur le pole A, & en même temps la feconde regle aC fur le pole a, faifant en forte que AG foit toujours égale à PF; & l'on marquera avec un ftile en C la courbe qui paffe par tous les points C où fe croisent les deux regles; & ce fera la premiere moitié de l'ellipfe ou de l'hyperbole AC.