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Pour décrire l'autre moitié, on fera mouvoir en haut la premiere regle Af au deffus de P toujours fur le pole A, & l'autre regle ac du côté gauche de ABb, faifant en forte que Ag foit toujours égale à Pf, & l'on marquera avec un ftile en c la courbe Acc, qui paffe par tous les points c où ces regles fe croifent; & ce fera la feconde partie de l'ellipse ou de l'hyperbole.

L'hyperbole ayant en particulier une autre hyperbole ax
à l'extrémité a du diametre Aa entierement égale & fembla-
ble à la premiere AC; on décrira cette feconde hyperbole ax
en faifant mouvoir la premiere regle AC en Ax fur le même
pole A, & en même temps la feconde en a x fur le pole a,
faifant en forte que Ay foit toujours égale à Po; & traçant
avec un stile en x la courbe qui paffe par tous les points x où
fe croifent les deux regles, elle fera la feconde hyperbole ax
femblable & égale à la premiere AC.

La maniere dont on déduit des formations précedentes les équa-
tions de la parabole, de l'ellipfe & de l'hyperbole.

POUR LA PARABOLE.

362. Soir le parametre AP = p, chaque PF ou Pf=f, cha- FIG.XVI; que coupée AB, Abx, chaque ordonnée BC, bc=y. Les triangles APF, ABC font femblables, comme auffi APƒ, Abc, à caufe des paralleles AGP, BC, & ABb, ƒPF: par confequent AP (p). PF (f) :: BC (y). AB (x); d'où l'on déduit px fy: Mais à caufe des paralleles BC (y) = AG PF (f) par la conftruction: ainfi mettant y à la place de f, l'on a l'équation à la parabole px = yy, c'est à dire, chaque ordonnée BC (1) eft moyenne proportionelle entre la coupée AB (x) & le parametre AP (p); ou bien le produit px du parametre par la coupée eft toujours égal au quarré de l'ordonnée yy.

Il est évident que la même équation convient à la feconde moitié de la parabole Ac.

COROLLAIRES.

I.

363. Si l'on prolonge chaque BC vers la gauche jusqu'à ce qu'elle

rencontre la parabole en c, l'on aura Bc BC; car mettant
la regle f Ac dans la fituation où elle faffe fP=FP, l'on au

ra AG=ƒP; par confequent Ag fera égale à PF — AG
&
go fera égale à ABGC; mais Bc eft toujours égale à
Ag à caufe des paralleles: ainfi quand fe FP, Ag eft
égale à AG, & gc AB GC ainfi dans l'équation px
=yy, qui convient à BC & à Bc, y = y, & x = x, &
p eft la même grandeur.

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D'où l'on voit que fi l'on plioit la parabole de façon que le pli fût dans la ligne AB, la partie ACC de la parabole s'ajusteroit fur l'autre partie Acc, quand les ordonnées y font perpendiculaires aux coupées.

II.

364. La ligne PGAg touche la parabole au feul point A qui est le fommet du diametre ABb; car il faut que la regle AC ou Ac faffe un angle avec GAg au point A, pour donner chaque autre point C, c de la parabole, & GAg eft feule tangente au point A; car toute autre ligne AC ou Ac paffant par A, & faifant un angle avec GAg au point A, donne un point de la parabole, & par confequent elle paffe par deux points de la parabole; d'où l'on voit que la tangente par le fommet A, est parallele aux ordonnées du diametre ABb.

III.

365. La parabole ACC eft concave à l'égard du diametre ABb car chaque corde AC, Ac, eft entre l'arc qu'elle foutient, & le diametre ABb.

IV.

366. Quand l'angle BAG eft droit, fes ordonnées CB font perpendiculaires au diametre AB; ainfi dans ce cas ABb eft l'axe dont AP eft le parametre: dans tout autre cas AB eft fimplement un diametre dont AP eft le parametre, qui n'est pas alors le même que celui de l'axe ou d'un autre diametre.

V.

367. L'angle GAB que fait la tangente GA au fommet A avec le diametre AB, eft celui que fait en ce point A la courbe même avec fon diametre AB.

368.

VI.

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;

Dans la parabole, les coupées AB, Ab, (fig. 19) font entr'elles comme les quarrés des ordonnées; car nommant AB (x), Ab (u), BC (y), bc (z), l'on aura 2 & par confequent les ordonnées BC (y), be (z) font entr'elles comme les racines des coupées AB (x), Ab (u): puifque yy. ZZ:; *. ; & J. Z::Vx, Vu.

369.

VII.

-

549

BC
Bb

Le parametre p eft à la fomme de deux ordonnées be BC FIG. XIX. (zy), comme la difference des mêmes ordonnées bc =ec (xy) eft à la difference des coupées Ab AB ou Ce (ux); car px = yy, & pu=zz : px=yy, donc ри =xx — yy; d'où l'on déduit p. zy :: z —) u — x. VIII.

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-

-px

370. L'équation yy=px fait voir que les x augmentans, les y augmentent auffis ainfi la parabole s'écarte de plus en plus à l'infini de fon diametre.

PROBLEME I

Où l'on donne une methode generale pour mener les tangentes
des courbes geometriques.

371. UNE parabole ACc étant décrite fur un plan avec son Fig.XIX.
diametre ABb & fon parametre AP mener la tangente
SC par un point donné C, dont l'ordonnée eft BC.

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IL eft évident qu'il fuffit de trouver la foutangente BS, car
il n'y aura plus qu'à tirer la droite SC, & elle fera la tangen-
te. Entre toutes les methodes pour trouver les tangentes des
courbes, on a choifi la fuivante qui convient à toutes les cour-
bes geometriques, comme ayant le plus de rapport à la me.
thode de les trouver par
le calcul differentiel.

Réfolution. 1°. Il faut concevoir une fecante SCe qui paffe par
le point donné C, & coupe la parabole en un autre point c;
& mener l'ordonnée cb; & nommant AP (p), AB (x), BC
(y), BS (s), Bb ou Ce (e); l'équation pour le point C eft
Jy - px = 0. 2°. Il faut trouver la valeur de ce, par le
moyen des triangles femblables SBC, Cec, qui donneront
SB (s). BC (y) :: Ce (e). ce= 3. Pour avoir l'équation
par rapport au point c, il faut mettre dans l'équation à la
courbe, Ab (x+e) à la place de AB (x), & bc (j + ) à la
place de BC (y), & ordonner la nouvelle équation de ma-
niere que tous les termes de la premiere foient le premier
terme de la feconde; le fecond terme contienne toutes les
grandeurs où e eft lineaire; le troifiéme terme contienne
toutes celles où fe trouve ee, & ainfi de fuite; & l'on aura
JJ 2013 cero. 4°. Il faut ôter le premier terme
-px-ep

eeyy

de cette équation qui eft égal à zero par la fuppofition, puif-
que
c'eft l'équation de la courbe; & le refte doit par confe-
quent être auffi égal à zero. 5. Il faut divifer cette équation
restante par e, ce qui laiffera le premier terme fans e. 6o. Il
faut fuppofer la distance Bb ou Ce (e) des deux ordonnées BC,
bc égale à zero, ce qui détruira tous les termes excepté le pre-
mier, qui eft égal à zero. 7°. Enfin il faut trouver dans ce ter-
me la valeur de l'inconnues, & mettre au lieu de y fa valeur
en x prise de l'équation de la courbe, & ce fera la foutangen-
te qu'on cherchoit; car il est évident que la difference Bb entre
les ordonnées devenant zero ou s'anéantiffant, que les deux
points C, c deviennent le feul point C, & que la fecante SCC
devient la tangente au point C, & par consequent BS ( s ) de-
vient la foutangente.

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Dans notre exemple, ayant ôté le premier terme, terme, divifé l'équation par e, & fuppofé enfuite e o, l'équation reftante fera yy — p=o; ou mettant px à la place de yy, ra 3px - p=0, d'où l'on déduit BS (1):

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2x.

l'on au

Ce qui fait voir qu'en prenant AS = AB, le point S fera celui où la tangente CS rencontre le diametre.

REMARQUE.

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732. S'IL arrivoit, lorfqu'on cherche la tangente des differents points de la courbe, qu'en mettant dans le terme où e est lineaire, des valeurs déterminées de x & de y, cela rendît le numerateur & le dénominateur de la fraction qu'on trouve ordinairement pour la valeur de s, chacun égal à zero, il faudroit prendre le troifiéme terme où se trouve ee le divi. fer par ee; fuppofer enfuite eeo, ce qui rendroit tous les termes fuivants égaux à zero & l'on trouveroit par le feul terme reftant où étoit ce qui feroit lui feul l'équation, la va leur des qui donneroit la foutangente qu'on cherche; & ainfi de fuite, c'eft à dire, fi le terme où eft ce donnoit une valeur de, dans laquelle le numerateur & le dénominateur fe trouvaffent égaux chacun à zero par la fuppofition de quelques valeurs déterminées de x & de y mifes à leur place dans cette fraction ou valeur de s, il faudroit paffer au terme où se trouve e3, & ainfi de fuite; & l'on remarquera que quand il faut paffer au terme ee, l'on trouve d'ordinaire deux valeurs' des; quand il faut paffer au terme e3, on trouve trois valeurs

de

de ; ce qui fait voir dans le premier cas que la courbe a deux
s;
foutangentes au point déterminé dont on cherche les foutan-
gentes; qu'elle en a trois dans le fecond cas, & ainfi de fuite;
c'eft à dire, cela arrive ordinairement.

Corollaires de ce Problême pour la parabole.

I.

373. Si l'on mene par le point touchant C une perpendiculaire CD FIG. XIX. à la tangente fuppofant que ABD eft l'axe, la fouperpendicu laire BD eft toujours égale à la moitié du parametre de l'axe p: Car SB (2x). BC (y) :: BC (y). BD

374.

375.

376.

en mettant au lieu de yy fa valeur px.

II.

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2:

Si aprés avoir trouvé la tangente SC au point C, on tiroit FIG. XIX. C1 parallele à l'axe ABb, AI parallele à la tangente, qui feroit égale à SC, & qu'en nommant la coupée CI (x), l'ordonnée Al (y), on prît une ligne p telle que CI (x). IA ou CS (y) :: CS (1).p; cette ligne p feroit le parametre du diametre C1, car px

yy ainfi l'on pourroit décrire la même parabole par la formation (fig. 16.) * en prenant C1 (fig. 19.) pour AB (fig. 16.) * 360. CS pour GAg; la grandeur p qu'on vient de trouver pour le parametre AP.

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yy

x

pa

D'où l'on voit que tous les diametres de la parabole font ralleles à l'axe & entr'eux: Ce que l'on vient de dire du diametre CI pouvant être appliqué à tous les autres: Et que AS =* AB = CI= Ct, à caufe des paralleles.

IV.

D'où l'on peut trouver en toute parabole tracée l'axe & fon parametre, lorfqu'on n'a qu'un diametre & le parametre de ce diametre, en menant deux perpendiculaires cBC, cbc à ce diametre, qui fe terminent des deux côtés à la parabole, les tageant chacune par la moitié en B, b; & tirant bBA par les points B, b, ABb fera l'axe; BC, bc fes ordonnées, enfin faifant AB (x). BC (y) :: BC (y). p, la ligne p fera le parametre dé

l'axe.

POUR L'ELLIPSE.

par

371.

377. Soir le parametre donné AP = p, chaque coupée AB FIG.XVII. =x, l'ordonnée BC=y, le diametre Aa qui eft donné

d

& PF=f=AG; les triangles APF, ABC font femblables,

Tome 11,

I

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