comme auffi APF, Abc; c'eft pourquoi AP (p). PF (f) :: BĊ (y). AB (x); d'où l'on tire f: Mais les deux triangles AaG, BaC étant auffi femblables, l'on a Aa (d). AG (ƒ) :: aB ( d — x ). BC (y); d'où l'on déduit f=d, qui fe réduit à #yy=dx xx = d − x × x, qui eft l'équation de l'ellipfe, où l'on voit que AP (p). Aa ( d) :: BC2 (y)). AB × Ba (dx xx), ce qui convient aux ordonnées y de tous les points de l'ellipfe. DEFINITION. 378. La ligne Aa (d) est le premier diametre ; le point du milieu K du diametre eft le centre; la ligne Dd parallele aux ordonnées par le centre K, & terminée des deux côtés à l'ellipfe, eft le fecond diametre, ou le diametre conjugué du premier diametre Aa. Ces diametres s'appellent l'un le premier axe, & l'autre le fecond axe, quand les ordonnées leur font perpendiculaires. Le parametre p d'un diametre Aa (d), dont on fuppofe le diametre conjugué DKd=d, est toujours la 3a proportionelle au premier diametre d & au fecond &; ainfi d. ♪ :: d. p, &p=. Le parametre du fecond diametre Dd (d), eft de même la 3° proportionelle à ♪ & d; ainfi d. d :: d. π, & T = d; d'où l'on voit que d. p (:) dd. 88; & d. π (dd) :: dd. dd. Autre expreffion de l'équation à l'ellipfe. 379. EN prenant le centre K pour l'origine des coupées, & nommant chaque KB (x), BC (y), Aa (d), AP (p), il est évident que KA= d; ainfi AB=d-x. Mettant d au lieu de x dans l'équation #yy=dx il vient cette Fax, qui donne AP (P). Aa (d) :: BC (y). AB x Ba 380. Puifque # dd on peut mettre dans chacune de ces équations de l'ellipfe ddau lieu de é, & la premiere y = dx -xx, deviendra dyy=dx. -xx; & la feconde #yy=dd deviendra dd yy=dd- xx. Multipliant cette derniere par, elle deviendra yy=88 dd xx ; & tranf pofant & mettant Corollaires de la formation de l'ellipfe. 382. 383. 384. lipfe. VI. = On peut voir par l'équation dyy=4dd VII. Les quarrés de deux ordonnées BC, bc, font entr'eux comme les produits des fegmens AB x aB, Ab x ba, dans lef quels ces ordonnées partagent le diametre. VIII. Si l'on décrivoit un cercle fur le diametre Aa, & qu'on prolongeât les ordonnées BC jufqu'à la circonference, les quarrés des ordonnées du cercle étant égaux chacun au produit des fegmens du diametre dans lefquels ces ordonnées le partagent *, les quarrés des ordonnées BC, bc à ⋆ 289. l'ellipfe feroient entr'eux comme les quarrés des ordonnées au cercle par les mêmes points; d'où il fuit, en prenant les racines de ces quarrés, que les ordonnées à l'ellipfe font entr'elles comme les ordonnées au cercle par les mêmes points. 385. MENER PROBLEME II. une tangente SC par un point donné C de l'el FIG. XX. lipfe dont Aa (d) eft le premier diametre, Dd (8) le fe cond diametre, BC (y) l'ordonnée au point donné C, KB (x) la coupée ; & l'équation eft yy L 0. dd dd xx Il faut trouver la foutangente BS =s, & fuppofer * x=x &y=y; parceque les KB (x) croiffant, les BC (1) diminuent ; & mettre dans l'équation ces valeurs dex & dey, & faifant comme dans la parabole, on trouvera dyyyy deeyy = 0; dd 2dd 20x+ ce dd dd d'où l'on déduira y=x, & (en mettant pour yy fa valeur dd - xx) dd — xx— sx, & BS (1) cette proportion KB (x). KA (1⁄2d) :: KA(žd). KS (s + x) 387. Si l'on vouloit fe fervir de l'équation par rapport au second diametre Dd qui eft xx-ddyyo, l'on trouve roit la foutangente ef (~) = 1288 d_— II, & Kf= 4 ; ce qui donneroit Ke ou BC (y). KD (d) :: KD (¦ð). Kƒ (~+y) 388. Si l'on tire le diametre CKC, & qu'on prenne ce diametre FIG. XX. pour AKA ( fig 17 ), & la ligne fCS (fig. 20) pour la ligne & XVII. PGAg (fig 17), & qu'on prenne auffi pour le parametre AP (p) (fig. 17), la 3 proportionelle au diametre CKC (fig. 20), & à fon diametre conjugué GKg qui eft la parallele à la tan361. gente SCf par le centre K; & qu'on forme l'ellipfe * comme P 361. dans la figure 17, l'on tracera la même ellipfe de la figure 20; dont l'équation fera, en tirant AI parallele à CS, cx AP =C1x lc; d'où l'on voit que tous les diametres de l'ellipfe paffent par le centre K, & qu'ils font partagés à ce centre K en deux parties égales KC, Kc; ce que l'on vient de dire du diametre CKC convenant à tous les autres. 389. Soir le parametre AP = ?, chaque coupée AB, FIG. XVIII. chaque ordonnée BC=y, le diametre Aad, PF=ƒ. A caufe des triangles femblables APF, ABC, comme auffi APƒ, Abc, l'on a, AP (p). PF (ƒ) :: BC (y). AB (x) d'où l'on déduit f; les triangles femblables AaG, BaC, donnent auffi, Aa (d). AG= PF (f) :: aB (d+x). BC (y), d'où l'on tire f=4, ce qui donne l'équation à l'hyperbole yy dx + xx = d + x x x = aв x AB; ainsi aB dans l'hyperbole AP (p). Aa (d) :: BC2 (yy). aB × AB (dx+xx). = 390. Si au lieu de AB = x, on suppose KB = x (K est le milieu du diametre Aa, & fe nomme le centre), alors aB d+x, & AB=KB—KA=x-d, & l'on aura cette feconde expreffion de la même équation y 391. 4 yy=xx pa ± dd. Autre expreffion de l'équation à l'hyperbole . 392. IL fuit de là dd ठळ que 2/ en mettant dans au lieu de p fa valeur; ainfi on peut mettre dans les équations précedentes à l'hyperbole au lieu de, & elles feront changées en enyy dd dxxx; = dd & dd 393. б dd dd do dd On peut auffi rapporter l'hyperbole immédiatement à fon fecond diametre Dd (d), en fe fervant de la feconde équation; car puifque yy=xx-dd, en multipliant le tout par & tranfpofant l'on aura xx=yy➡ —♪♪ ; & mettant encore, fi l'on veut, au lieu de fa valeur, puisque dd, l'on aura xxyy➡dd, c'est à dire le parame tre du second diametre 7. Dd (d):; bC2=KB2 (xx). Kь3 ➡ KD2 ( jy + — ♪♪). da COROLLAIRES. 394 LES cinq premiers Corollaires de la parabole conviennent auffi à l'hyperbole. VI. 395. L'EQUATION de l'hyperbole ACC convient auffi à l'hyFIG. XVIII. perbole oppofée ax, & on peut la déduire de la même maniere de la formation de l'hyperbole; car nommant aß (x) Sx (1), Pp (f), Aa (d), AP (p), les triangles femblables APO & Aẞx donneront AP(p). Po (ƒ) :: B× (j). Aß (d+x); d'où l'on aura f= px. Les triangles femblables Aay & aßx donneront auffi Aa (d). Ay=P¢ (f) (par la fuppofi*361. tion *):: aß (x). ẞx (y); d'où l'on aura f=4 qui fe réduit à yy, dxxx, qui eft la même équation qu'on avoit trouvée pour l'hyperbole ACC; par laquelle on voit que quand aẞ (x) = AB (x), ẞx (1) fe trouve neceffairement — BC (y); ce qui fait voir que ces deux hyperboles font égales de maniere qu'on peut les ajufter l'une fur l'autre. = VII. pXdx 396. Il est évident par cette équation que plus les x augmentent, plus les y augmentent auffi, ce qui fait voir que l'hyperbole s'écarte à l'infini de fon diametre. PROBLEME III. 397. MENER une tangente SC par un point donné C de l'hyperbole FIG. XXI. dont le premier diametre eft Aa (d); le fecond Dd (8); le parametre du premier diametre Aa (p); la coupée KB (x); l'ordon néeBC (y); la foutangente BS (s), & l'équation #yy➡dd |