388. 557 x, & 371. * Il faut mettre dans l'équation ➡e à la place de x, P de dee 2ex ee d'où l'on tire * y=x, & (en mettant au lieu de yy fa dd qui eft la valeur de la foutangente BS (s) que l'on cherchoit, puifque BK (x) D'où l'on déduit KSKB - BS ( x − s) = ± dd ; par x consequent KB (x). KA(žd) :: KA({d). KS (x—s); Ce 399. LON 400. 'ON peut déduire de ce Problême le même Corollaire COROLLAIRE II. Où l'on trouve la maniere de tirer les afymptotes de l'hyperbole. AYANT trouvé que KS (≈—s) dd x 371. ; fi l'on fuppo- FIG. XXI. fe KS-o, l'on aura, 1°, x-so, & par confequent la foutangente = x, quand KS = o; & AS qui eft la distance du fommet A au point S de la foutangente devient KA (¦d); dd 2o, =o dans ce cas: or quand une fraction est égale à zero, que il faut le dénominateur foit infiniment grand par rapport au numerateur; ainfi quand KS=o,&s=x, il faut que la coupée KB (x) foit infinie par rapport à dd. Mais les x croiffant, les y croiffent auffi; c'eft pourquoi quand x eft infi nie, y l'eft auffi: d'où l'on voit que quand KS = o, c'est à dire, quand la foutangente commence au centre K, la tangente SC ne touche l'hyperbole qu'à une distance infinie; & c'eft ce qu'on appelle l'afymptote de l'hyperbole : & la feconde branche Acc de l'hyperbole ayant une femblable tangente, étant entierement égale à la premiere, elle a auffi fon afymptote, & ces deux afymptotes le font auffi des deux branches de l'hyperbole oppofée acc. L'on a déja un point des afymptotes au centre K; voici la maniere de trouver le fecond point. L'équation y Р xx ddo par rapport à KB (x) infinie, & à BC (1) auffi infinie, c'est à dire, par rapport au point C infiniment éloigné de K où l'afymptote touche l'hyperbole, devient yy-xx o; car dd s'évanouit de l'équation, étant zero par rapport aux deux autres termes où font y & x; l'on a donc dyy=pxx &yvd=xvp, ce qui donne x.y::d.vp. Or en menant tAT par le fommet A parallele aux ordonnécs BC, l'on a deux triangles femblables KAT, KBC, dont le dernier eft infiniment grand, & cependant l'efprit peut l'appercevoir & le fuppofer; l'on a donc, KB (x). BC (y) :: KA. AT: mais 1/2 dvp x.y::Vd.vp, donc d. ✓p :: KA (≥d). AT = vd =dp; par confequent fi l'on fait ATV dp, c'est à dire, égale à la moitié de la moyenne proportionelle entre le premier diametre Aa & fon parametre p( laquelle moyenné 391. proportionelle eft auffi le fecond demi-diametre *), & qu'on tire la droite KT, elle fera l'afymptote de la branche ACC;& tirant de même Kt, ce fera l'afymptote de la feconde branche Acc; & les prolongeant du côté de l'hyperbole oppofée acc, elles en feront auffi les afymptotes. On trouve par une femblable methode les afymptotes des courbes des autres genres plus élevés qui en ont.. THEOREME THEOREM E. Des proprietés de l'hyperbole par rapport à fes afymptotes. 401. UNE hyperbole ce ACC & fon oppofée étant tracée fur un FIG. XXI. plan avec un de fes diametres quelconque donné Aa, fon fecond diametre dKD, & la tangente tAT à l'extremité de ce diametre, qui est toujours parallele au fecond diametre ; fi l'on fait AT, At chacune égale à la moitié du fecond diametre dKD, qu'on tire KT, Kt, & qu'on les prolonge à l'infini du côté de A & du côté de a; ces lignes feront les afymptotes de l'hyperbole CAC & de fon oppofée; c'eft à dire, que chacune des quatre branches des hyperboles oppofées s'approchera toujours de plus en plus de fon afymptote fans pourtant la rencontrer, fi ce n'eft à une distance infinie. DEMONSTRATION. NOMMANT KA(d), KD (28), KB (x), BC (y), l'on 4 dd 1 x x - xx aura à caufe des triangles femblables KAT, KBE, KA (d) I PREMIERE PROPRIETE. 402. Si l'on tire des paralleles ecBCE à la tangente #T; ou, ce qui eft la même chose, au second diametre dD, qui se terminent de part & d'autre aux afymptotes; CEx Ce=AT? dd, KD'; car, par ce qui précede, CE=xx —√xx- - dd x-xxxx dd Il est évident qu'on prouvera de même que ce × cE—At2 = Kd2. 403. Si l'on mene auffi des paralleles Ce ex au premier dia Fic. XXII. metre, qui fe terminent aux hyperboles oppofées, & qui coupent les afymptotes en e, ɛ; Ce x CɛKA; car les *401. triangles semblables KBE, Kbe donneront BE (*). KB (x) :: Kb (y=xx-dd). be xxdd; d'où l'on Vxx dd, & Cε Cb + bɛ xx-dd; donc Ce x Cedd — KA. SECONDE PROPRIETE. 404. Si l'on tire par un point quelconque C de l'hyperbole ou de Fic. XXII. son oppofée, des lignes droites comme GCg, EC, &c. qui cou pent chacune l'hyperbole en deux points C, c; C, i, & qui se terminent aux afymptotes en E, e, en G, g; les deux parties de chacune de ces lignes droites comprifes entre l'hyperbole & l'afymptote, comme CE, ce, ou CG, ig, &c. font égales. Si l'on en tire de même aux hyperboles oppofées, comme Ce εx, CLIx, les parties Ce, xe, font égales, comme auffi CL, xl feront égales. 1o. Cette proprieté est évidente par rapport aux lignes droites paralleles au demi-diametre dD; car la partie BE, par exemple de ECBce, est égale à Be; & de plus l'ordonnée BC à l'ordonnée Br; ainfi CE ce. Il en eft de même des paralleles Ce Ex au premier diametre. =ce. = be ). 2o. Voici la démonftration pour les autres ligne comme GCig; il faut démontrer que CGig. Pour le faire on menera par C& par iles paralleles au fecond diametre ECce, Hqib, & on nommera CE ce (e), Ce=cE (c), qH= ib (i), ¿H=qb (b), iC (b); & les lignes qu'on veut prouver égales CG (z), ig (u). Les triangles femblables HGI, EGC donneront iH (b) ·CE (—e).ČE (e) :: ¿C (b). CG (z = 7=0 De même les triangles femblables Cge, igb, donneront Ce (c) bi ib (—i). ih (i) :: iC (b). ig (u= Il reste à démontrer que CG (z=1). = ig (u= Il n'y a qu'à les réduire au même dénominateur, & l'on aurax, &u=i; effaçant dans chacune - bei, & divifant chaque reste parx, il reste d'un côté ce, & de l'autre ih. Or ce-Ce x CE, & ihiH x qH; & ces deux be ·). bi bce-bei produits font égaux * chacun à AT = KD*; ainfi ils font *402. égaux; donc CGig. Ce qu'il falloit démontrer. On démontrera de même que CLxl en menant par L & / des paralleles au premier diametre KA. N COROLLAIRE. Où l'on donne une defcription facile de l'hyperbole. 405. On trouve par cette proprieté tous les points qu'on veut d'une hyperbole & de fon oppofé, dont on a les afymptotes & un feul point C; car il n'y a qu'à mener par C tant de lignes droites qu'on voudra, comme Cg, CG, Cx, &c. & prendre.fur chacune, par exemple fur GCg la partie ig= CG, & le point ifera un des points de l'hyperbole: il en eft de même des autres, & chaque point qu'on trouve, peut fervir de même à en trouver tant d'autres qu'on voudra. TROISIEME PROPRIETE. Où l'on explique l'équation de l'hyperbole per rapport 406. Si l'on tire par le fommet A du diametre Aa, AF parallele FIG. XXII. 1°. Il est évident que la tangente tAT étant partagée également en A, Af parallele à la base KT du triangle KIT partage auffi Kt en deux parties égales en f; ainfi Kf, ft, & AF qui eft parallele à Kƒ, font trois lignes égales. Par la même raifon KF, FT, Af font égales. 2°. Menant par c, ecCE parallele à la tangente, on nommera les connues AT =At=KD ( d ); KF=FT=Aƒ (a); Kf=ft=AF (b); les inconnues KM Nc (x), Mc KN (J); & l'on aura à cause des triangles femblables AFT, CNE, AF (b). At (d) :: Nc (x). ¢E= =*; de même les triangles b x femblables Aft, cMe, donneront Af (a). At (d) :: Mc (y) a 288xy ab |