pofée auffi les fommets aux deux extremités Aa de l'axe prin- = = Pour trouver le rapport de Aa à Ff, l'on a déja Oa. aF:: OA. AF, en faisant le changement alterne, Oa. OA :: aF. AF, en divifant OaOA Aa. OA:: aF AFFf. AF; donc Aa. Ff::OA. AF: dans l'hyperbole on trouvera OάOA =Aα. Oæ ¦ αF AF = Fq. AF; par consequent A∞. FQ :; OA:: OA AF. Pour trouver la valeur de KO ou ko, foit Aa ou Aaa, Ff ou Fo=f. On fera cette proportion pour l'ellipfe, KF (ƒ). KA (a) :: AF (¦a — ¦ƒ). OA : ainfi KO OA+AK = žaa — saf Dans l'hyperbole on aura kF (f). que KO & KO= f Laa ƒ Laa & ko KA ; donnant cette proportion KF & k F (ƒ). KA & kĄ (‡a) :: KA & kA (ža). KO & Tome 11. L 1 l'ordonnée FH au foyer F. Ces chofes fuppofées, on trouve, ra l'équation de la courbe de la maniere fuivante. P Soit KB ou kB = x, BC=y, KA ou kA = a, KF ou kF = ±ƒ, OB — KO — KB dans l'ellipse ; & dans l'hy. perbole kB - 10 10 = =ㄓ x. ➡ FB (dans l'ellipfe aa of =KF — KB; (dans l'hyperbole) =kBkF=± ¦ƒ OB (+ aa f FC2 dans le triangle rectangle FBC, FC — FBa — BC2 c'eft - 2ff → fx — xx=yy, qui fe ré duit à faa)) = xx- aa, qui eft l'équation de l'hyper bole, parceque Fo (f) furpaffe Ad (a); mais dans l'ellipfe où Aa (a) furpasse Ff(f), il faut transposer les membres de Téquation, & l'on aura) aa — xx, qui est l'équation à l'ellipfe. = Dans l'une & dans l'autre fi l'on prend, 1°, une ligne Jaa 2 Ff aa -ƒƒ = √ Ãa2 — Fƒˆ =√2AF × 2aF dans l'ellipfe, -ff •Aa2 = √2AF × 20F dans l'hyperbole, fera le second axe, & l'on aura y=xx± 4aa 2°. Si l'on fait add. p, p fera le parametre du grand axe, & l'équation fera yy ==xx aa. a COROLLAIRE I. 419. LA fomme FC →fC des deux lignes menées des deux foyers, FIG. XXIII. F,fà un point quelconque C de l'ellipfe, ett égale à l'axe Aa, & la difference C FC des deux lignes menées des deux foyers à un point C de l'hyperbole, est égale à l'axe A«. & XXV. DEMONSTRATION. Si l'on prend dans l'ellipfe Kb—KB, qu'on mene bcd & Fc, 420. 421. ➡fC=a= Aa. x). BD a. if :: Ob Fc, où FC On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole OA. ÁG ON & de l'hyperbole. N déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé- Fic. XXIII crire l'ellipfe & l'hyperbole, l'axe Aa ou Az étant donné, &XXV. & les points F, f, ou F, o des foyers étant auffi donnés : en prenant dans l'ellipfe avec le compas un fegment quelconque AB de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon AB tirant un arc de cercle, & décrivant enfuite de l'autre foyer f pour centre un autre arc avec l'autre fegment Ba pour rayon, l'interfection des deux arcs C fera un point de l'ellipfe; de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre F avec le fegment quelconque AB de l'axe A prolongé, & enfuite de l'autre foyer pour centre décrivant avec l'autre fegment &B de l'axe a prolongé un fecond arc, le point d'interfe ction C de ces deux arcs fera un point de l'hyperbole.. COROLLAIRE II Si l'on mene des foyers F, f par un point quelconque C de Fic. XXV, 419. DEMONSTRATION. IL faut mener LN parallele à Ff, & par le centre K tirer KN qui fera auffi parallele à FLM; car LN partageant MF en deux parties égales en L, partage auffi Mf en deux par ties égales en N; ainfi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, & fM en deux parties égales en N, eft parallele à FM. Mais puifque Mf FC Cf Aa (a), MN Nfa, CN* = fx, LN eft la moitié de Ff; ainsi LNf. Soit SB, les deux triangles femblables CLN; CSf donnent cette proportion CN ( ). Cf (I* + {a) :: LN (}ƒ). Sƒ = ¦ƒ + *385. l'on aura SB (§) = de l'ellipfe. x = retranchant Bf (f➡x) de Sf, D'où il est évident que les angles FCS, fCs font égaux, COROLLAIRE III 422. Si l'on mene des foyers F, de l'hyperbole à un point quel Fic.XXVI. conque, C, les lignes FC, C, & ayant pris CM CF, & mené FM, on tire CLS par le milieu L de FM bafe du trian gle ifocele FCM, CLS eft la tangente au point C'. DEMONSTRATION. AYANT mené par L milieu de MF, LN parallele à FkO, fo & tiré kN qui fera parallele à MP, il est évident, comme dans le fecond Corollaire, que Mo — œA — a, NL kF 419.ƒ CM=CF=a*, ainfi CN= fx, &C ФС ➡a. Soit SBs, les triangles femblables CNL, COs don neront cette proportion CN (). Co (fa) :: NL (f) ; ôtant øk (f) de 4S, l'on aura kS Zaa 398. 423. kB Laa SB, qui eft la valeur de kS, c'est à dire la distance du centre k au point S de la foutangente. Il est évident que les angles CS, FCS font égaux. 424. 425. Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant I 1°. L faut d'abord tirer les lignes des coordonnées qui * REMARQUE. UAND ya plufieurs valeurs pofitives, la courbe a plufieurs branches du côté ou l'on a fuppofé lesy pofitives: quand ya des valeurs négatives, il faut les tirer du côté des y né gatives. Quand on trouve que la valeur de y eft zero, c'eft une marque que la courbe joint le diametre des x à l'endroit de la valeur de x qui a donné yo; quand on trouve des valeurs imaginaires, c'eft une marque qu'il n'y a aucune partie de la courbe fur la partie du diametre à qui conviennent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe fur l'axe ni fur 293. & |