426. les premiers diametres, & les hyperboles oppofées commen. çant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant za, 3a, &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve des va Ieurs de y, il faut mettre ces ordonnées y du côté des x néga tives. L'énoncé de cette methode paroît affez clair pour la faire clairement concevoir. PROBLEME VII. QUAND on a l'équation d'une courbe, par exemple de quel qu'une des trois fections coniques par rapport à l'un de fes diametres, trouver l'équation qui exprime le rapport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de pofition fur le même plan. ES Les équations des fections coniques par rapport à leurs diametres étant difpofées de façon que zero en foit le fecond mem bre, font: px=o, équation à la parabole. xy-px 7yyxx- ddo, équation à l'ellipfe par rapport à fon premier diametre, ou bien jy & xx - 1 dp T - xx ➡ jy — — dd = o, équation à l'ellipse par rapport fon fecond diametre, ou bien xx → yy — — dπ = 0; & quand le diametre est égal au parametre, elle devient XX-- yy - 2 dd = o, qui eft l'équation au cercle, quand les y font perpendiculaires aux x. {yy-xxddo, équation à l'hyperbole par rapport à fon premier diametre, ou bien yy- & xx+dp=0; quand d=p, elle devient yy-xxddo. xx ·yy—ddo, équation à l'hyperbole par rapport à fon fecond diametre, ou bien xx — — y y — — d π = 0 ; quand d, elle devient xx-yy-dd-o. 8 On remarquera dans ces équations, 1°, que p eft le parametre du premier diametre, deft le premier diametre, Je est parametre du fecond diametre, d'eft le fecond diametre: dans l'ellipfe & dans l'hyperbole on prend l'origine des couFIG. XVI. pécs x au centre K; mais dans la parabole l'origine des x est XVII. au fommer A. 2°. Que dans l'équation à la parabole l'une des XVIII-inconnues eft élevée au quarré, & l'autre n'est que lineaire I dans l'ellipfe, elles font toutes deux élevées au quarré avec le xy- ab=0, ou xy-aa-o eft l'équation à l'hyperbo POUR LA PARABOLE. 427. AYANT l'équation yy - px=o de la parabole AC par FIG.XXVII rapport à fon diametre AB, fur lequel font les AB (x), fon Il faut mener par O la ligne OLM parallele à AB, tirer i. Cela fuppofé; F Il faut mettre dans l'équation yy pro le quarré de ON. ff REMARQUE. 428. ON remarquera que le coeficient qui multiplie le terme 429. ff un, est toujours égal au quarré de la moitié du coéficient que ces coé Pour l'hyperbole par rapport à son premier diametre. AYANT YANT l'équation yy — xxdpo de l'hyperbole AC par rapport à fon premier diametre Aad, fur lequel FIG. XXVII. font prifes les coupées KB = depuis le centre K, fon para metre eft AP=p, les ordonnées font BC=y y faifant l'angle donné CBA avec le diametre prolongé aA; trouver l'équation de la même hyperbole par rapport à la ligne droite ON donnée de position fur le même plan, dont l'origine eft le point fixe 0. Il faut mener par O la ligne OM parallele au diametre a AB, prolonger l'ordonnée CB en N qui coupera OLM en M, tirer par le fommet A la ligne AL parallele aux ordonnées NC, prendre fur ON la ligne déterminée arbitraire OF qu'on nommera f, élever FG qu'on nommera g parallele aux ordonnées, elle déterminera OF qu'on nommera ; on menera auffi Oim par O parallele aux ordonnées NC; toutes les autres lignes de la figure 27 font ici inutiles: on fuppofera ON=u, NC; les données AL BM=1,0/= Ki =i; les triangles femblables OGF, OMN donnent comme ci-dessus NM = §u, OM=}u; ainsi l'on a l'ordonnée BC 430. BC= X — & π-1, KB—OM—Ol=jB—¡K=}; u—¡ ; Il faut mettre dans l'équation yy-xxdpo, au 14 hip → = dp Ceft l'équation à la même hyperbole AC par rapport à la li- Pour l'hyperbole par rapport à son second diametre. DKd (d) eft le fecond diametre de l'hyperbole AC, Dp (T) FIG. XXVII, eft fon parametre, BC eft l'ordonnée (x), KB (j) = BC elt la coupée, & l'équation par rapport à ce fecond diametre eft XX--- } jy — 1 ST = o. Il faut trouver l'équation à la mê me hyperbole par rapport à la ligne On fur le même plan, dont Oeft l'origine. Il faut mener par O la ligne Oim parallele au fecond diametre qui rencontre le premier diametre Aa en ;, & l'ordonnée BC en m; il faut prendre Of d'une grandeur donnée qu'on nommera f, mener fg qu'on nommera g parallele à Aa; elle déterminera Og qu'on nommera b; les autres lignes de la figure 27 font ici inutiles: on fuppofera On, nC=z, Kimẞ=1, & Oi=i, & l'on aura comme dans les cas precedens nm = = &u, Om=1B=4u, BC = z— §u — }, & KB=BC=ui; cela fuppofé, น - On fubftituera dans xxy-To, au lieu de *=BC, la valeur de BC-z-u-13 & à la place de KB ou BC (y) la valeur de Kẞ=ui; & l'on aura นน off C'est l'équation par rapport à la ligne On differente du fecond REMARQUE S. I. 431. DANS l'hyperbole equilatere où d=d=p=r, l'équa. tion du premier & du fecond diametre devient par rapport à la ligne OÑ ou On, 22—3€ uz — 2lz➡§uu+22 u+ll—o. hh ff 2 hi dd Il y add quand c'est le premier diametre, &dd quand c'est le fecond diametre. II. 432, Comme les quarrès des deux inconnues doivent fe trouver fous differens fignes dans l'équation à l'hyperbole par rapport à fes diametres; il faut que le coeficient hhe aff qui mul tiplie un foit moindre que le quarré de la moitié du coéficient -3, qui multiplie uz dans les cas même où l'expreffion ne le fait pas voir d'abord comme ici; autrement l'équation ne feroit pas à l'hyperbole, Pour l'hyperbole par rapport aux afymptotes. 433. AYANT l'équation xy — abo de l'hyperbole cPC par FIG. XXVIII. rapport aux afymptotes KB (fur laquelle font prifes des x=KB) & Kb à laquelle font paralleles les y=BC, où KQ & QP=b; trouver l'équation de la même hyperbole par rapport à la ligne ON donnée de pofition fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. Il faut mener OM parallele à KB, prolonger CB jusqu'en N qui rencontrera OM en M; mener par O la ligne OL parallele à CN, qui rencontre BK prolongée au point L; prendre OF d'une grandeur déterminée qu'on nommera ƒ, élever OG, qu'on nommera g parallele à CN; elle déterminera OG qu'on nommera h; on supposera enfuite les données KL=i, OL=1, & les inconnues ON=u, NC=z, & l'on aura comme dans les cas précedens NM-u, OM = 1⁄2u, BC = x — § u — 1, KB = LB ou OM—KL=} u — į; cela fuppofé, Il faut fubftituer dans xy ab =o, au lieu de x (KB) & dey (BC), les valeurs de KB1⁄2u — i, & de BC=Z |