u-1, & l'on aura aprés avoir multiplié tous les termes par 1⁄2, uz ——z—žuu — Tu c'est l'équation de l'hyberbole entre les afymptotes par rap- POUR L'ELLIPSE. 434. AYANT l'équation yyxx — dpo de l'ellipse par FIG, XXIX. rapport à fon premier ou fecond diametre A1 = d ( il n'importe pas) dont le parametre eft AP =p, les coupées font les ordonnées BC=y; trouver l'équation de la même ellipfe par rapport à une ligne droite ON donnée de position fur le même plan dont l'origine eft le point fixe 0. KB x, Il faut mener par O, OM parallele au diametre Aa, prolonger CB en N qui rencontrera CM en M; mener par 0, OL parallele à CN; prendre une ligne déterminée OF qu'on nommera f; élever FG qu'on nommera g parallele à NC, elle déterminera OG qu'on nommera b; on fuppofera auffi OL BM=1,KL=i,ON=u, & NC=z, & l'on aura = On fubftituera dans yyxx-dpo, à la place de BC (y), sa valeur z — §u — 1 ; & à la place de KB (x) lą valeur ƒu — i, & l'on ́aura zz — 23 uz — 2lz + #uu + 8!u +11=0; hhp uu 2hip. - dp c'eft l'équation de l'ellipfe par rapport à la ligne ON differente Remarques fur l'équation précedente. 435. COMME les quarrés des deux inconnues doivent être dans moitié du coéficient. II. 436. Où l'on fait voir la maniere de trouver l'équation du cercle par rapport à une ligne differente de fon diametre. Quand dans l'équation de l'ellipfe d=p, & que l'angle FIG. XXIX. des ordonnées avec le diametre eft droit, l'équation de l'ellipfe devient celle du cercle, & alors l'angle OMN étant droit, OF (ff) = FG (88) → OG (bb); ainfi mettant au lieu de bb fa valeur ff-gg, & d'à la place de p, l'équation devient zx — uz 2/3 + 1/11 + 282 + 11 = 0; 2gl -- dd c'est l'équation du cercle par rapport à la ligne ON differente du diametre Aa. S'il n'y avoit que la ligne OGM parallele au diametre Aa, & que l'angle MON fût nul; alors OF (f) devient OG (b), & FG (g) devient zero; par confequent l'équation préce dente au cercle devient zz; — 2/2 ➡ uu ziu ➡ 11 = 0. - dd Remarques generales fur tout le Problème précedent, QUAND 437. Q XXIX. & fur fes ufages. UAND au lieu de l'équation par rapport à une ligne droi Fic.XXVII. te ON, qui eft oblique par rapport au diametre des fections XXVIII. coniques, on veut l'équation par rapport à une ligne droite OM parallele au diametre Aa; il eft évident que dans ce cas, FG (g) devient égale à zero, que OF (f) & OG (b) deviennent la même ligne, ainfi dans les équations précedentes il n'y aura qu'à effacer toutes les grandeurs où fe trouve g comme étant zero, & faire partout fb, & les équations deviendront selles que l'on demande.. 438. D'où l'on voit que quand le terme uz manque dans une 439. au fecond diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe, & au Dans le même cas où uz ne fe trouve pas, toutes les gran. deurs où eft g devenant zero, & ƒ devenant égale à b, la fraction qui multiplie au marque toujours le rapport du parametre au diametre dans l'hyperbole & dans l'ellipfe; car alors le terme où eft un devient neceffairement &ue, dans l'hyperbole, & dans l'ellipfe; parceque un devient zero, & huu devient fun, à caufe de bb dff Si dans le même cas uu n'a aucun coéficient, l'hyperbole ett équilatere, & dans l'ellipfe le diametre eft égal au parame tre; & fi l'angle des ordonnées & du diametre eft droit, l'équation de l'ellipfe devient l'équation du cercle. IV. =ff 440. L'ufage des équations de la parabole, de l'ellipfe, de l'hyperbole & du cercle par rapport à leur diametre & par rapport à une autre ligne que le diametre (qu'on nomme ordinai rement les lieux geometriques du premier genre ) eft, 1°, pour connoître tout d'un coup, quand en refolvant un Problême on trouve une équation qui appartient à une fection conique; pour connoître, dis-je, fi c'eft une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipfe, ou un cercle: car quand l'équation qu'on trouve eft femblable à quelqu'une des équations des fections coniques par rapport au diametre, & n'a pas plus de termes, on connoît d'abord à quelle fection conique appartient l'équation qu'on a trouvée; & quand l'équation qu'on trouve a plus de termes que n'en ont les équations fimples des fections coniques par rapport à leur diametre, on connoîtra en comparant l'équation trouvée avec les équations des fections coniques par rapport à une autre ligne que le diametre, quelle fection conique elle appartient; par exemple, fi uz ne s'y trouve pas, & qu'il n'y ait que le quarré de l'une des inconnues, c'est une parabole; fi les deux quarrés des inconnues s'y trouvent fous un même figne, c'eft une ellipfe; fous differens fignes, c'eft une hyperbole par rapport au diametre: Si les deux quarrés ont le même figne, & n'ont aucun.coéficient, & que l'angle des ordonnées foit droit, c'est un cercle. Quand uz s'y rencontre, après avoir ôté le coéficient de l'un des quarrés des deux inconnues, s'il en avoit à 441. pas un, on connoîtra que l'équation eft celle de la parabole, quand la fraction qui eft le coéficient de un est égale au quarré de la moitié du coëficient de ux; que l'équation appartient à l'hy. perbole quand elle eft moindre, & à ellipfe quand elle eft plus grande ; & que fi les deux quarrés des inconnues n'ont de coeficient & ont le même ligne, l'équation appartient au cercle. 2°. Pour tracer les courbes de ces équations, quand on a découvert, comme on vient de le dire, fi elles appar tiennent à la parabole, ou à l'hyperbole, ou à une ellipfe ou au cercle: car fi l'équation qu'on a trouvée eft fimple, & appartient à une fection conique par rapport au diametre, on la tracera par les art, 360, 361. Si l'équation trouvée ap partient à une fection conique par rapport à une autre ligne qu'au diametre, on regardera celle des équations des fections coniques par rapport à une autre ligne qu'au diametre, à qui l'équation trouvée eft femblable, comme étant la mê me équation que l'équation trouvée, & la figure de la fection conique de la premiere de ces deux équations comme étant la figure de la feconde, c'est à dire, de l'équation trouvée. On fuppofera les termes correfpondants de ces deux équations égaux entr'eux; & par les valeurs des indétermi nées f, g, i, l, d, p, que feront trouver les équations particulieres de la fuppofition des termes correfpondans égaux, on aura la valeur du diametre d & du parametre p de la seEtion conique de l'équation trouvée, & le centre de cette fe tion conique, quand elle en a un & on pourra la décrira par la methode des art. 360, 361, en faifant à l'exemple des figures 27, 28 & 29, une figure propre à l'équation trouvée. L'on remarquera que l'angle des coordonnées eft toujours donné ou arbitraire; ce qui eft cause qu'il fuffit de déterminer les valeurs des lignes OF (f), FG (g) des figures 27, 28 & 29, pour avoir la valeur de la ligne OG (b). V. Comme l'on a fuppofé dans les équations du Problême précedent les grandeurs, f, g, h, &c. pofitives, quand la comparaifon des termes correfpondants de ces équations avec ceux de l'équation qu'on trouve dans la résolution d'un Problême, fait trouver les valeurs de ces lettres négatives ou une partie ; cela marque qu'il faut tracer les lignes reprefen 442. tées par ces lettres négatives du côté oppofé à celui où on les VI. On remarquera enfin que quand on compare une équation 44 Par exemple pour comparer l'équation yy 9x-44 qui eft l'équation d'une parabole *, avec l'équation de la pa- *440. rabole z z - - «z — 2 /z + uu u 11 = 0, FIG. XXVII. ༢༢ 88 f -hp-uip 9x-44 4 a p; ainfi le eft égal à 44; & mettant la valeur de p, on aura 4 a 4a, & Ai (i) =— ‡a. Le figne - 9 i 4 a marque qu'il faudra prendre ¡A (i = |