443. FIG.XXX. & XXXI FIG. XXX. FIG. XXXI. l'angle des ordonnées, & par confequent celui de la tangente au fommet qui lui eft égal, eft donné ou arbitraire. PROBLEME VIII. Où l'on fait voir l'ufage des formules précedentes, & où l'on donne une maniere fimple & facile de tracer toutes les fections coniques par un mouvement continu. FAE, FBE font deux angles quelconques formés chacun par deux regles, attachés fur un plan aux points fixes A & B fur lefquels ils font mobiles; en faifant en forte que les deux côtés AE, BE pendant leur mouvement fe coupent toujours fur la ligne droite donnée ED qui rencontre la ligne AB qui joint les deux points fixes A & B en un point D diftingué de ces deux points; il faut trouver l'équation de la courbe que forment les deux autres côtés AF, BF par leur point de con cours F pendant le mouvement de ces deux angles mobiles fur les poles A & B. Il faut bien remarquer que les deux côtés AE, BE (qu'on, appellera les premiers) ou leurs prolongemens AS, BV, font toujours ceux qui doivent fe couper fur la droite donnée DE, & que les deux côtés AF, BF (qu'on nommera les feconds) ou leurs prolongemens AP, BM, font toujours ceux qui décrivent la courbe en fe coupant pendant le mouvement des angles dans les points F, qui forment la courbe. Pour réfoudre le Problême, je remarque que quand les premiers côtés fe coupent au point D, ils ne font qu'une même ligne droite qui eft la ligne AB qui paffe par les poles A & B, & que dans cette fituation les deux feconds côtés AF, BF deviennent AC, BC, & font déterminés de pofition & de grandeur; parceque l'angle BAC eft égal à l'angle donné FAE, & CBA eft égal à l'angle donne FBE. Dans la figure 31, où le point D de la ligne DE eft dans le prolonge ment de BA, lorfque les deux premiers côtés fe coupent au point D, & ne font qu'une même ligne qui eft BAD, le côté AE étant fur AD, l'angle donné EAF devient l'angle DAC, & le coté AF tombe fur AC; mais le côté BE tombant en même temps fur BD, le fecond côté BF ne peut plus être coupé par le fecond côté AF; c'est le prolongement BM devenu BC du fecond côté FB, qui eft coupé par le fecond cô té té AF devenu AC: C'eft pourquoi l'angle ABC eft égal à l'angle EBM complement à deux droits de l'angle donné FBE, & non pas à l'angle donné FBE, & le triangle ACB est entierement donné. Cela fuppofé, pour trouver l'équation de la courbe que forment les points de concours F, je prens pour la ligne des coupées la ligne droite DE déterminée de pofition, & je prens fon origine au point D où elle rencontre la don née AB, & je fais les ordonnées tirées des points F fur ED, comme l'ordonnée F1, paralleles à la donnée AB; j'en tirerai cet avantage que l'équation me fera connoître, fi les points fixes ou les poles A & B font eux-mêmes dans la courbe; puifque fi la courbe paffe par A & B, DA & DB feront les ordonnées de ces deux points; je connoîtrai auffi par la même équation que le point déterminé C eft un des points de la courbe. = Soit donc la coupée DI, l'ordonnée F1z, les données AD = a, DB = b, DN c, AN=d, DR =e, BR = = f. Pour former les équations particulieres qui me doivent donner l'équation du Problême, je remarque (fig. 30) que les deux angles CAF, DAE font égaux, puifque CAD & FAE font fuppofés égaux; & par la même raison CBF eft égal à DBE; ainfi pour faire des trian, gles femblables, je tire FG qui faffe l'angle AFG AED, & par confequent AGF = ADE, & de même FH qui faffe BFH = = BED, & BHF BDE; ainfi j'ai les triangles femblables AFG, AED, & BFH, BED. Je prolon ge BC jufqu'au point R, où elle rencontre ED prolongée, & je mene par F la ligne KFLT parallele à EDR; ces lignes me donnent d'autres triangles femblables, comme ADN, LGF, &c. Mais dans la figure 31, les angles DAC & EAF étant fuppofés égaux, en ajoutant à chacun l'angle commun CAE, les angles DAE, FAC font égaux: Je mene FG de maniere que AFG= AED, & FGA=EDA, & j'ai les deux triangles femblables AFG, AED. De même l'angle ABC eft fuppofé égal à l'angle EBM complement à deux droits de EBF; ainfi ajoutant à chacun l'angle EBC, j'aurai l'angle ABE = CBM qui est égal à fon oppofé au fommet FBH; je tire FH de maniere que BFH = BED & FHB = BDE; & j'ai les N Tome II. FIG. XXX. deux triangles femblables BFH, BED: Je mene auffi LFKT parallele à EDI, & je prolonge AC jufqu'à N, & BC jusqu'à R, ce qui me donne d'autres triangles femblables ADN, 1QN, QFL, à caufe des paralleles, & GFL, ADN; parceque AND eft égal à fon alterne GLF, & que ADN est égal par la conftruction à FGL; comme aussi BDR, BKT, à caufe des paralleles, & BDR, THF, parceque BRD = HTF à cause des paralleles, & que BDR le même que BDE est égal à FHT, le même que FHB (par la construction) BDE. Je fuppo fe à prefent l'inconnue DE = x; les triangles femblables me feront trouver deux valeurs differentes de DE (x) defquelles faisant une équation, elle fera l'équation de la courbe. be Les triangles femblables BDR, BKT, donnent DB (b). DR ( e ) :: KB ( b —z ). KT ——; ainsi FT = ="7′′; -be-ez - baz & DB (b). BR (f) :: KB (b — z). BT = b. Les trian beez - bu BT TH bf uf bf-fe gles femblables BDR, THF, donnent BR (f). DR (¢):: beu✦eez — ffx✦ bff — bee bf — b3 u ―bbez b3e f ben eez - ffx bff bee ; c'est la premiere valeur de DE ( x ). Les triangles femblables ADN, AKL, donnent AD (a), DN (c) AK (a + z. KL= accz ; d'où l'on déduit LF Ils donnent encore AD (a). AN ( d ) :: AK add. Les triangles femblables ADN, LGF, donnent auffi AN (d). DN (c) :: LF ( ac cz as (a + z). AL LG dz ac + cz — an acccc-4cu, d'où l'on déduit AG AL ad -- LG add ddz -acc- cc2 + ROU Ils donnent encore AN (d). AD (a) C'eft l'équation de la courbe pour la figure 30, qui fait voir qu'elle eft une fection conique, On trouve pour la figure 31, en fe fervant des triangles femblables marqués par les mêmes lettres, DE ( x ) = —a3u+aacz➡a3c acuccz-ddz-acc+ add - ee + ff = + ɛɛ, & cc-dd=xx, l'on a b3ubbez b3c , qui fe réduit à où fuppo • a3u + aac2 —a3e acu xxz -sxx a3bɛɛn aacɛɛzz =0; C'est l'équation de la courbe pour la figure 31, qui ne differe de la précedente que par quelques fignes. Pour connoître fi la courbe passe par les poles A & B. EN fuppofant que ID (u) = o, l'on aura le feul dernier terme de chacune des équations précedentes. Celui de la premiere étant divifé par — aacɛɛ ➡ bbxne, donne l'équation déterminée zz ➡ az abo, dont la racine pofitive ༢༢ a = AD; x=b=BD (fig. 30), & la négative z= ainfi la courbe paffe par les poles A & B. Le dernier terme de la feconde étant divifé par aacɛɛ → bbxxe, donne l'équation déterminée zz ð - azab = o, dont les deux racines - bz font pofitives, parcequ'elles font du même côté de l'origine D (fig. 31). La premiere eft za = DA; la feconde est z=b= DB; & B. Pour connoître si le point C du triangle déterminé ABC eft dans la courbe. bu FIG.XXX. EN N menant par C la ligne CB parallele à la ligne des coupées EDI, & Co parallele aux ordonnées IF, DB; fuppofant CB = Dd = 1,. u, & Cd = DB =, & nommant les autres lignes comme ci-deffus, les triangles femblables BDR) BBC, donneront DR (e). BC (u) :: DB (b). BB = } d'où l'on déduit DB (z) — DB — BB bebu. Les triangles femblables ADN, ABC, donneront auffi DN (c). CB (u) :: AD (a). Aß="; d'où l'on déduit DB (x) = AB - AD bebu, d'où l'on tire Dd (u) = aceee, & &C (2) Or l'on trouve precifément les mêmes valeurs de u & dez en fuppofant FG (4), & FH(+), chacune égale à zero; ce qui doit arriver dans la formation. de la courbe quand le point F qui la décrit fe trouve au point €; ainfi la courbe paffe au point C. с abe-abc ae bc d bu Si l'on vouloit fçavoir les points où la courbe rencontre la li gne EDR, il n'y auroit qu'à fuppofer dans les équations précedentes x = o, & les deux valeurs de a que l'on trouveroit par cette fuppofition, marqueroient ces points ; fi l'on trouvoit les valeurs de a imaginaires, ce feroit une marque que la courbe ne rencontreroit point EDR. Si on trouvoit deux valeurs égales positives ou négatives de u, cela feroit voir que ED toucheroit la courbe au point auquel a auroit ces deux valeurs égales. Pour connoître les cas où la courbe eft une parabole, ou une ellipfe ou une hyperbole, & pour en trouver le parametre من &le diametre. IL faut faire en forte que le quarré de l'une des deux incon nues, comme x, n'ait pas d'autre coéficient que l'unité, & l'équation fera pour la figure 31a. Kaabce - - a3 ε ε abbce bs xx) aabcɛɛ abbxxe abe +ab3c aacɛɛ - bb xxе |