BF, décriroit une courbe du fecond genre, c'est à dire, dont on trouveroit l'équation, comme on a fait celle des fections coniques, dans laquelle les inconnues auroient trois dimenfions; & fi l'on faifoit décrire au point de concours E la courbe du fecond genre qu'on viendroit de tracer, le point de concours F décriroit une courbe d'un genre plus élevé, & ainfi à l'infini.

Avertisement.

On ne porte pas ici cette matiere plus loin, parcequ'il faudroit faire un traité entier de ces courbes; & on s'eft propofé feulement de faire voir ici quelques ufages de l'Analyse par rapport aux courbes geometriques, & furtout aux fections coniques, & ce que l'on en a dit fuffit pour entendre ce que l'on dira dans la fuite qui y aura rapport, fans avoir befoin d'autres ouvrages.

DES COURBES QUI NE SONT PAS GEOMETRIQUES.

449. OUT

UTRE les courbes geometriques dont les coordonnées font de fimples lignes droites par le moyen defquelles on exprime un rapport commun à tous les points de chacune de ces courbes par une équation algebrique, où les inconnues ont un nombre déterminé de dimensions; il y a une infinité d'autres courbes dans chacune defquelles il y a, comme dans les courbes algebriques, un rapport commun à tous leurs points que l'Analyfe exprime par une équation; mais ce ne peut pas être en y employant de fimples lignes droites pour coordonnées qui ayent entr'elles un commun rapport, qui puiffe être exprimé par une équation algebrique, ce feroient des courbes geometriques; mais dans quelques-unes on fe fert pour l'une ou l'autre des coordonnées, & quelquefois pour toutes les deux, de lignes courbes, comme d'arcs de cercle, ou d'arcs d'autres courbes; ou bien l'on fe fert de lignes droites pour coordonnées; mais que l'on fuppofe éga les à des arcs de cercles ou d'autres courbes; dans quelquesunes les abfciffes partent d'un même point, & les ordonnées font des arcs de courbes; dans quelques autres les coordon. nées quoiqu'elles foient des lignes droites où des arcs de courbes, elles fuppofent encore la quadrature de quelques courbes, c'est à dire l'expreffion des coordonnées dans l'équation de ces courbes, contient l'expreffion de la quadrature de quelque courbe divifée par quelque ligne. Il y en a

dont on ne connoît le rapport commun de tous les points, ou
de toutes les lignes infiniment petites dont leur contour eft com-
pofé, que par des lignes infiniment petites qui font des trian-
gles infiniment petits qui donnent chacun une même équation,
qui devient par le moyen des grandeurs changeantes x,y,
l'équation de la courbe.

&c.

Quelques-uns appellent ces lignes mechaniques; d'autres
pour prévenir le préjugé que donneroit ce nom de mechanique
aux Lecteurs, en les portant à croire que ces courbes n'ont
pas des proprietés & des ufages qu'on puiffe démontrer auffi
exactement que celles des courbes geometriques, aiment
mieux les appeller tranfcendentes. Il n'importe quel nom
leur donner, & on peut les appeller mechaniques; mais il
eft certain que depuis l'heureuse découverte du calcul differen-
tiel & integral, on en démontre les proprietés auffi exacte-
ment que celles des courbes geometriques, & qu'on en fait
prefque autant d'ufage dans la Geometrie & dans les fcien-
ces phyfico-mathematiques, & que la plupart des plus belles
découvertes & des plus beaux Problêmes refolus par les Sça-
vans de notre temps, regardent les proprietés & les ufages de
ces courbes.

Quoiqu'on puiffe exprimer les principales proprietés de
plufieurs courbes mechaniques par des équations où il ne
faut que
le calcul ordinaire de l'Algebre; on ne peut gueres
cependant découvrir les proprietés & les ufages des courbes me-
chaniques, qu'employant dans leurs équations les expreffions
du calcul differentiel & integral, & en fe fervant de ce cal-
cul; c'eft pourquoi on fe contentera ici de donner feulement
l'ideé de quelques courbes mechaniques.

DES LIGNES SPIRALES.

450. Si l'on imagine que le rayon GA prolongé à l'infini, du FIG.XXXIV. cercle AED, fe meut en tournant autour du centre C, en commençant au point A, & allant de A vers E, D, A, & qu'en même temps un point C parte de C, & fe meuve fur le rayon CA de maniere qu'il arrive au point A en même temps que CA; la ligne CBA que décrit le point C par ce mouvement, s'appelle Spirale. Sa proprieté principale fe déduit de fa formation, qui eft que la circonference AEDA cft à un arc quelconque AED pris depuis l'origine A jul

qu'au point D où se trouve le rayon CD quand le point mo bile C fe trouve en même temps au point B de la fpirale, comme le rayon CD que parcourt le point mobile C pendant que le rayon CD ou CA parcourt la circonference entie re, eft à la partie CB du même rayon que parcourt le même point C pendant que le rayon CA ou CD parcourt l'arc

AED.

Ainfi nommant le rayon r; fa partie CB prise pour abfciffe, x; la circonference AEDA, c; & chacun des arcs AED pris pour ordonnées, y; la proportion précedente s'exprimera ainfi, c.y::r.x; ce qui donne l'équation à la spirale cx=ry,

451. On remarquera que quand le point mobile C est arrivé

N

en A, il peut continuer de fe mouvoir; & dans une seconde revolution, il décrira une feconde partie de la fpirale; dans une troifiéme revolution, une troifiéme partie de la fpirale, & ainfi à l'infini; ce qui eft caufe que le rayon prolongé CA rencontre la spirale en une infinité de points; & que l'abfciffe x peut avoir une infinité de valeurs par rapport à tous ces points.

II.

452. On peut encore concevoir que le point mobile C peut se mouvoir de C jufqu'à A, de maniere que le rapport de la cir conference AEA (c) à l'arc AED (y), foit le même que celui d'une puiffance quelconque m (m reprefente un nombre quel. conque entier ou rompu) du rayon CA (r) à une femblable puissance de l'abfciffe CB (x); & l'on aura pour l'équation de ces fpirales à l'infini cxy, ou xTM ——y.

453.

III.

Outre ces fpirales, l'on en peut encore imaginer d'autres d'une infinité de fortes, parmi lefquelles on fera feulement ici remarquer la fpirale logarithmique, dont la proprieté est que la tangente BT à un point quelconque B, fait toujours le même angle au point B avec le rayon BC. Mais l'équation neceflaire pour exprimer cette fpirale, employe le calcul differentiel dont on ne parlera que dans la partie qui fuit..

454.

On remarquera feulement que cette fpirale ne commence pas
au centre C d'où partent les rayons CA, CD, comme les pré-

cedentes.

DES CYCLOÏDES.

Si l'on imagine que le cercle AFE roule fur la droite ED, & FIG.XXXV,

fi l'on conçoit que le point A décrit en même temps une cour-
be AfD fur le même plan où eft la ligne ED & le cercle
AFE qu'on appelle generateur, cette courbe fe nomme cyclot
de. Si l'on tire par tous les points F de la demi-circonference
AFE, une droite Ff parallele à la bafe ED, jusqu'à la cy-
cloïde en f, la droite Ff eft toujours égale à la longueur de
l'arc AF, & la base ED est égale à la demi-circonference.
AFE. Car il est évident que quand le point A eft arrivé au
point D, tous les points de la demi-circonference AFE, à
commencer du point E, ont été appliqués fucceffivement fur
les points de la base ED, & qu'ainfi toute la demi circonferen-
ce EFA a été, pour ainfi dire, mefurée par la base ED, qui
lui eft par confequent égale; & que quand le point A est arri-
vé au point ƒ de la cycloïde, fi l'on trace le demicercle genera-
teur afe par ce point f, en faisant ae perpendiculaire fur ED,
Ee eft la mesure de l'arc qui en roulant s'eft, pour ainfi dire
mefuré fur Ee, lequel arc est visiblement égal à l'arc AF, ou
af qui eft celui qu'a décrit pendant ce mouvement le point A
depuis A jufqu'en F, ou depuis a jufqu'en f, en tournant fur
fon centre, pendant qu'en avançant, le cercle generateur rou-
lant toujours, le même point A a décrit la partie de cycloïde
Af. Or Bb étant égale à Ee, & BF à bf, il est évident que Ff
Ee à l'arc AF ou af.

=

Ainfi prenant la demi-circonference AFE pour la ligne des coupées, & les droites Ff pour les ordonnées, & nommant la demi-circonference AFE (C), la base ED (b), chaque coupée AF (z), l'ordonnée Ff (y), l'on aura c. b:: z.), ce qui donnera l'équation à la cycloïde y b, ou bien, parceque cb,

l'équation fera y=z..

455. Si l'on prolonge fF jufqu'à B, & qu'on nomme Bf (y), AE
(a), AB (x), AF (x), il est évident que l'ordonnée Bf est
égale à l'arc AF (2), & de plus à la perpendiculaire BF, qui
est égale à ✔AB × BE =
core y = z + √ax-xx pour l'équation à la cycloïde.

✓ax

xx; ainfi l'on aura en- * 287.

416. C'est encore une proprieté de la cycloïde, qu'on démontrera dans la feconde partie, que chacun des arcs de la cycloïde, comme Af, eft double de la corde AF de l'arc correfpondant AF; ainfi nommant toujours AE (a), AB ( x ); l'arc Aƒ (5); la corde AF fera égale *vax, & l'on aura pour une troifiéme équation de la cycloïdes 2 ax.

288.

457

458.

459.

460.

REMARQUES.

I.

LA cycloïde a beaucoup de proprietés & d'ufages qui ont été découverts de notre temps; & de plus l'on a diftingué trois fortes de cycloïdes à qui convient l'équation y; 1, quand b=c, c'est la cycloïde ordinaire; 2°, quand b surpasse c, c'est la cycloïde allongée; 3o, quand b est moindre que c, c'est la cycloïde racourcie.

II.

Il y a même une infinité d'autres fortes de cycloïdes, qui ont pour base ED une courbe; elles fe forment en concevant que le cercle generateur roulant fur une circonference ou fur une autre courbe, un point pris dans la circonference du cercle generateur, ou dans un des rayons au dehors ou au dedans du cercle, décrit fur le plan où eft ce cercle une efpece de cycloïde, qu'on appelle epicycloide. On doit bientôt voir un fçavant traité de toutes ces cyloïdes compofé par M. Nicale.

III.

On peut concevoir que le cercle generateur fait une infinité de tours fur fa base prolongée à l'infini; ainfi chaque cycloïde peut s'étendre à l'infini, excepté une efpece d'epicycloïde autour de la circonference pour bafe, qui revenant aux mêmes points, eft bornée à n'avoir qu'un nombre déterminé de parties toutes femblables, & elle eft geometrique.

DE LA COURBE LOGARITHMIQUE.

SOIT une droite AL prolongée de côté & d'autre à l'infini FIG. XXXVI.& conçue partagée en parties égales les plus petites qu'on puiffe imaginer, AC, CE, EG, &c. & qu'il y ait fur les divifions les droites paralleles AB, CD, EF, &c. qui faffent une pro