greffion geometrique; la courbe BDFH, &c. qui paffe par
toutes les extremités de ces droites proportionelles, s'appelle la
logarithmique, dont les coupées font fur la droite AL, & les
ordonnées font AB, CD, &c. Cette courbe a plusieurs proprie-
tés de grand ufage; mais comme l'on ne peut gueres les expri-
mer que par le calcul differentiel, on fera feulement remar-
quer ici que comme les parties de la ligne des coupées font
une progreffion arithmetique, & les ordonnées correspondantes
une progreffion geometrique; & que quand tous les termes
d'une progreffion arithmetique font correspondants pris de fui-
te aux termes d'une progreffion geometrique auffi pris de fui-
te, les termes de la progreffion arithmetique s'appellent les loga-
rithmes des termes de la progreffion geometrique; la courbe lo-
garithmique contient les uns & les autres, & c'eft delà qu'elle
tire fon nom. Ainfi prenant AB pour l'unité, & A pour le point
où commencent les logarithmes, la partie ABML contient les
nombres qui furpaffent l'unité & leurs logarithmes correfpon-
dants; & l'autre partie AghB contient les nombres moindres
que l'unité & leurs logarithmes correfpondants, & le logarith-

me de l'unité est zero.

Avertissement.

Ce que l'on vient de dire des courbes mechaniques fuffit
pour en donner ici une idée aux Lecteurs; & pour n'oublier
aucune des courbes qu'on a imaginées jufqu'à prefent: on va
expliquer en peu de mots les courbes qu'on appelle exponen-
tielles & parcourantes.

DES COURBES QU'ON APPELLE exponentielles
ET parcourantes.

461. Les grandeurs comme a*, **, **, **, &c. qui font des conf-
LE

x2,

tantes comme a, ou des changeantes x, y, &c. élevées à des
puiffances, dont l'expofant x, y, z, eft une grandeur changean-
te, s'appellent exponentielles ou parcourantes. Les équations
qui contiennent de ces fortes de grandeurs, ont le même nom;
comme auffi les courbes dont le rapport commun à tous les
points de leur contour s'exprime par ces fortes d'équations.

Par exemple, en nommant les abfciffes AC, AE, &C.FIG.XXXVI. depuis l'origine A, & y les ordonnées CD, EF, &c. & une

grandeur conftante a; fuppofé que la courbe BDFH, &c. s'exprime par cette équation a*=y, quelques-uns la nomment exponentielle, d'autres parcourante; de même x* =y, ou x=y, x2=y, font des équations des courbes parcou

rantes.

y

Pour fe former une idée diftincte de ces courbes, fi a2 = eft l'équation de la courbe BDF, il faut concevoir que la premiere ordonnée CD (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance dont l'expofant eft l'abfciffe correfpondante AC (x). La feconde EF (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance de la feconde abscisse AE (x); & ainsi des ordonnées fui

vantes.

Sixy eft l'équation de la courbe, il faut concevoir que CD (y) AC (x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AC (x), que EF (y)= AE (x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AE (x), & ainfi des autres. D'où l'on conçoit aisément la courbe dont y feroit l'équation: Mais quand l'équation eft, par exemple, x2=y, dans la quelle l'expofant x eft une changeante differente dex & dey, l'on conçoit une autre courbe Adpe, dont l'une des coordonnées, ACE, &c. eft commune avec celle de la courbe parcou rante, & dont on fçait le rapport de chacune des ordonnées co, Ep, &c. qui font les z, avec les abfciffes correfpondantes communes AC, AE, &c. qui font les x .

༢

Les équations exponentielles peuvent avoir plufieurs termes, comme x* + x2 = y3 ➡y.

Les expofants changeants x,y, &c. des grandeurs exponentielles peuvent eux-mêmes être élevés à des puiffances dont les expofants foient auffi changeants, ce qui fait diftinguer ces grandeurs exponentielles & leurs courbes en plufieurs genres, dont celles qui précedent font le premier: Le second est, par exemple, ***, & ainfi à l'infini.

X

SECTION

De l'usage que fait l'Analyse des courbes pour résoudre les équations déterminées, & les Problêmes des Sciences Phyfico-Mathematiques.

Ufage que l'Analyfe fait des courbes geometriques, pour réfoudre les équations déterminées.

N

Principe d'où l'Analyse déduit cet usage. 462. En fuppofant que les équations à la ligne droite & à toutes les courbes geometriques de tous les genres ont leurs coupées representées par la même inconnue, par exemple x ou น &c. & leurs ordonnées auffi exprimées par la même inconnue, comme y ou z, &c. fi en se servant de deux de ces équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la couFée, de maniere que la troifiéme équation que l'on formera de ces deux autres, n'ait que la feule inconnue y de l'ordonnée; les deux lignes dont on a pris les équations pour faire évanouir, fe peuvent couper en autant de points que l'inconnue y a de dimenfions dans le premier terme de la troifié me équation dont y eft la feule inconnue.

Par exemple, fi l'on prend la valeur de x dans l'équation à la ligne droite x = ty, & qu'on la fubftitue dans une équation de laquelle on voudra des fections coniques, comme dans px yy, qui est l'équation à la parabole; on aura la troifiéme équation yyyo, dans laquelle y étant au fecond degré, marque qu'une ligne droite peut couper une parabole en deux points; & comme il y a une valeur dey=0, cela marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel point yo; le premier point où la ligne droite coupe la parabole eft au fommet, c'est à dire à l'origine des x & des y, puifque y s'y trouve égal à zero. Mais fi l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & desy, y auroit deux valeurs réelles dans la troifiéme équation qu'on trou veroit en faisant évanouir par les deux autres.

Tome II.

Р

FIG. XIX.

pa

De même prenant la valeur de x dans l'équation de la rabole px = yy, qui eft x = 77; ; & la fubftituant dans l'é. quation par exemple du cercle, qui eft yy = dx xx, on trouve la troisième équation yyyyo, dans laquelle y a quatre dimenfions; ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points, dont il y en a deux de confondus au fommet de la parabole où eft l'origine des * & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troifiéme équation précedente: mais quand l'origine des cou. pées eft differente dans la parabole & le cercle, y a quatre valeurs réelles dans la troifiéme équation que l'on trouve par le moyen des deux équations à la parabole & au cercle.

On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux fections coniques quelconques, aura quatre dimen fions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par leur moyen; ainfi deux fections coniques peuvent fe couper en quatre points; que y aura fix dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une fection conique quelconque, & l'autre d'une courbe du fecond genre ; & qu'ainfi une courbe du premier genre en peut couper une du fecond ep fix points.

On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une cour be du troifiéme, &c.

EXEMPLE.

LA
A parabole ACc dont l'axe eft ABb, le parametre AP
=p, les x = AB, Ab; les y BC, bc, a pour équation yy
pxo. La ligne droite SCc, en fuppofant SA= a; AT
parallele à BC menée par A égale à b; & prenant les x fur
AB du même point A d'où l'on prend les de la parabole,
aura pour abfciffe SB = a+x, & pour ordonnée BC=y,
& pour équation ab ✦ bx =y; d'où l'on tire xa; fi
l'on met cette valeur de x dans l'équation de la parabole, on

ay ab

aura la troifiéme équation yy apy+alpo, dans laquelle
y a deux valeurs pofitives, * qui font celles des deux ordon-
nées BC (y), bc (y), menées des deux points C, c où la droi-
te SCc, dont l'équation eft, coupe la parabole ACc,
dont l'équation eft yy pxo; lefquelles deux ordonnées
communes à la droite & à la parabole, font devenues déter-
minées par
la commune intersection de la droite & de la para-

bole.

Cet exemple fuffit pour faire clairement concevoir le prin-
cipe, & pour
faire voir en même temps qu'elle en eft la rail
fon; avec quelle jufteffe l'Analyfe s'accorde avec la Geome
trie, & comment elle fait découvrir avec le feul calcul les pro-
prietés des figures les plus compofées jointes les unes avec les
autres, & comment reciproquement la Geometrie exprime
par les figures les refolutions des Problêmes découvertes par
l'Analyfe; c'est ce qu'on verra mieux par l'ufage que l'Ana-
lyfe fait de ce principe.

Ufage que l'Analyse fait du principe précedent, pour for
mer la methode de trouver exactement, par les figures
de la Geometrie, les lignes qui font les valeurs des ra-
cines des équations déterminées qui donnent la réfolution
des Problemes déterminés de quelque degré que puiffent
être ces équations. C'eft cette methode qu'on nomme la
confiruction des équations.

463. IL fuit du principe précedent, que pour trouver les lignes
qui font les valeurs des racines d'une équation déterminée
quelconque, c'est à dire de quelque degré qu'elle puiffe être,
dont l'inconnue eft par exemple ; 1°, il faut trouver deux
équations dans chacune defquelles l'une des inconnues, par
exemple celle qui marque les ordonnées, foit z; & l'autre
qui exprime les coupées, foit une autre inconnue comme u
auffi commune à ces deux équations; & que ces équations
comprennent auffi, non chacune, mais les deux enfemble,
toutes les grandeurs connues de l'équation qu'on veut refou-
dre, & enfin qu'elles foient telles qu'en faifant évanouir l'in-
connue u par leur moyen, la troifiéme équation qui en viendra
foit precifément l'équation propofée à refoudre.