greffion geometrique; la courbe BDFH, &c. qui paffe par me de l'unité est zero. Avertissement. Ce que l'on vient de dire des courbes mechaniques fuffit DES COURBES QU'ON APPELLE exponentielles 461. Les grandeurs comme a*, **, **, **, &c. qui font des conf- x2, tantes comme a, ou des changeantes x, y, &c. élevées à des Par exemple, en nommant les abfciffes AC, AE, &C.FIG.XXXVI. depuis l'origine A, & y les ordonnées CD, EF, &c. & une grandeur conftante a; fuppofé que la courbe BDFH, &c. s'exprime par cette équation a*=y, quelques-uns la nomment exponentielle, d'autres parcourante; de même x* =y, ou x=y, x2=y, font des équations des courbes parcou rantes. y Pour fe former une idée diftincte de ces courbes, fi a2 = eft l'équation de la courbe BDF, il faut concevoir que la premiere ordonnée CD (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance dont l'expofant eft l'abfciffe correfpondante AC (x). La feconde EF (y) eft égale à la conftante a élevée à la puiffance de la feconde abscisse AE (x); & ainsi des ordonnées fui vantes. Sixy eft l'équation de la courbe, il faut concevoir que CD (y) AC (x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AC (x), que EF (y)= AE (x) élevée à la puiffance dont l'expofant eft AE (x), & ainfi des autres. D'où l'on conçoit aisément la courbe dont y feroit l'équation: Mais quand l'équation eft, par exemple, x2=y, dans la quelle l'expofant x eft une changeante differente dex & dey, l'on conçoit une autre courbe Adpe, dont l'une des coordonnées, ACE, &c. eft commune avec celle de la courbe parcou rante, & dont on fçait le rapport de chacune des ordonnées co, Ep, &c. qui font les z, avec les abfciffes correfpondantes communes AC, AE, &c. qui font les x . ༢ Les équations exponentielles peuvent avoir plufieurs termes, comme x* + x2 = y3 ➡y. Les expofants changeants x,y, &c. des grandeurs exponentielles peuvent eux-mêmes être élevés à des puiffances dont les expofants foient auffi changeants, ce qui fait diftinguer ces grandeurs exponentielles & leurs courbes en plufieurs genres, dont celles qui précedent font le premier: Le second est, par exemple, ***, & ainfi à l'infini. X SECTION De l'usage que fait l'Analyse des courbes pour résoudre les équations déterminées, & les Problêmes des Sciences Phyfico-Mathematiques. Ufage que l'Analyfe fait des courbes geometriques, pour réfoudre les équations déterminées. N Principe d'où l'Analyse déduit cet usage. 462. En fuppofant que les équations à la ligne droite & à toutes les courbes geometriques de tous les genres ont leurs coupées representées par la même inconnue, par exemple x ou น &c. & leurs ordonnées auffi exprimées par la même inconnue, comme y ou z, &c. fi en se servant de deux de ces équations quelconques, on fait évanouir l'inconnue de la couFée, de maniere que la troifiéme équation que l'on formera de ces deux autres, n'ait que la feule inconnue y de l'ordonnée; les deux lignes dont on a pris les équations pour faire évanouir, fe peuvent couper en autant de points que l'inconnue y a de dimenfions dans le premier terme de la troifié me équation dont y eft la feule inconnue. Par exemple, fi l'on prend la valeur de x dans l'équation à la ligne droite x = ty, & qu'on la fubftitue dans une équation de laquelle on voudra des fections coniques, comme dans px yy, qui est l'équation à la parabole; on aura la troifiéme équation yyyo, dans laquelle y étant au fecond degré, marque qu'une ligne droite peut couper une parabole en deux points; & comme il y a une valeur dey=0, cela marque que les coupées de l'équation à la ligne droite commençant au même point où commencent les coupées de l'équation à la parabole, auquel point yo; le premier point où la ligne droite coupe la parabole eft au fommet, c'est à dire à l'origine des x & des y, puifque y s'y trouve égal à zero. Mais fi l'origine des coupées de l'équation de la ligne droite étoit à un autre point qu'à l'origine des x & desy, y auroit deux valeurs réelles dans la troifiéme équation qu'on trou veroit en faisant évanouir par les deux autres. Tome II. Р FIG. XIX. pa De même prenant la valeur de x dans l'équation de la rabole px = yy, qui eft x = 77; ; & la fubftituant dans l'é. quation par exemple du cercle, qui eft yy = dx xx, on trouve la troisième équation yyyyo, dans laquelle y a quatre dimenfions; ce qui fait voir que le cercle peut couper la parabole en quatre points, dont il y en a deux de confondus au fommet de la parabole où eft l'origine des * & des y, parceque y a deux valeurs égales à zero dans la troifiéme équation précedente: mais quand l'origine des cou. pées eft differente dans la parabole & le cercle, y a quatre valeurs réelles dans la troifiéme équation que l'on trouve par le moyen des deux équations à la parabole & au cercle. On trouvera de même qu'en prenant deux équations de deux fections coniques quelconques, aura quatre dimen fions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par leur moyen; ainfi deux fections coniques peuvent fe couper en quatre points; que y aura fix dimenfions dans le premier terme de la troifiéme équation qui naîtra de l'évanouiffement de x par le moyen de deux équations, l'une d'une fection conique quelconque, & l'autre d'une courbe du fecond genre ; & qu'ainfi une courbe du premier genre en peut couper une du fecond ep fix points. On peut de la même maniere trouver en combien de points une courbe geometrique quelconque peut être coupée par une ligne droite, par une courbe du premier genre, par une cour be du troifiéme, &c. EXEMPLE. LA ay ab aura la troifiéme équation yy apy+alpo, dans laquelle bole. Cet exemple fuffit pour faire clairement concevoir le prin- Ufage que l'Analyse fait du principe précedent, pour for 463. IL fuit du principe précedent, que pour trouver les lignes |